2.3.2 圆的一般方程（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦“圆的一般方程”核心知识点，系统梳理从确定圆的几何要素回顾，到圆的标准方程过渡，再到一般方程的探索过程，涵盖方程形式、D²+E²-4F的三种情况、与标准方程转化及点与圆位置关系等内容，搭建完整知识支架。 该资料通过随学随练即时巩固、分层题型示例（如已知方程求参数、以直径求圆方程）及基础到迁移创新的练习设计，培养学生用数学思维分析问题，结合复数、动点轨迹等实际问题提升数学应用意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺。

第二章 平面解析几何 2.3.2　圆的一般方程 课标要点 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 学习重难点 重点： 圆的一般方程的探求过程及其特点． 难点： 根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题． 知识点一　 圆的一般方程 (1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点． (3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． 特别提醒 (1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆要满足以下条件：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0. (2)圆的标准方程和一般方程的相互转化 随学随练 1．（25-26高二下·四川成都·期中）圆的半径为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 知识点二　点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0 随学随练 3．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 4．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 题型圆的一般方程的定义 ▌例1（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________． 题型求圆的一般方程　 ▌例1（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高二下·上海·期中）设，且过点作圆的切线有两条，则的取值范围是__________. 2．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 3．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·期末）圆的半径为______． 5．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）方程表示圆，的取值范围为_____ 6．（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 7．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）若圆的半径为1，则___________． 8．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知圆的面积为，则实数__________. 9．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）若方程表示圆，则m的取值范围为__________. 10．（25-26高二上·全国·期中）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 素养提升 11．（25-26高一下·广东江门·期中）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 12．（25-26高二下·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 13．（25-26高一下·北京·期中）已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 迁移创新 15．（25-26高二上·北京·阶段检测）经过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·上海·阶段检测）对给定的两点和，用以下方式定义“直角距离”：．已知，点N在圆C：上运动，若点P满足，则的最大值为______． 17．（2025·湖南益阳·模拟预测）在中，为的中点，为平面内一点，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 18．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 19．（23-24高二上·上海青浦·阶段检测）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是__________． 20．（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆． (1)求直线到直线 的距离； (2)若 三个点在圆上，求圆的圆心和半径 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.3.2　圆的一般方程 课标要点 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 学习重难点 重点： 圆的一般方程的探求过程及其特点． 难点： 根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题． 知识点一　 圆的一般方程 (1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点． (3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． 特别提醒 (1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆要满足以下条件：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0. (2)圆的标准方程和一般方程的相互转化 随学随练 1．（25-26高二下·四川成都·期中）圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程通过配方法由一般形式化为标准形式即可. 【详解】原方程为，分组配方得， 整理为圆的标准方程， 对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 . 2．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 知识点二　点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0 随学随练 3．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 4．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 题型圆的一般方程的定义 ▌例1（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. ▌对点练1-1．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 题型求圆的一般方程　 ▌例1（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 ▌对点练1-1（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【详解】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 基础通关 1．（25-26高二下·上海·期中）设，且过点作圆的切线有两条，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】过点作圆的切线有两条， 则点在圆外， 所以，解得， 因为，所以. 2．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 3．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积. 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积. 4．（25-26高二上·上海·期末）圆的半径为______． 【答案】 【分析】通过配方将圆的一般式转化为标准式以求半径. 【详解】配方得，所以圆的半径为. 5．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【分析】由方程表示圆列出不等式，直接求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】将曲线转化为，根据圆的性质即可求解. 【详解】依题意，表示一个圆，所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 7．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）若圆的半径为1，则___________． 【答案】4 【分析】根据圆的半径计算公式列方程，解方程求得F的值. 【详解】由圆可知， ，解得， 故答案为：4 8．（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知圆的面积为，则实数__________. 【答案】 【分析】由圆的面积得到圆的半径，由圆的一般方程得到圆的标准方程，从而解出的值. 【详解】因为圆的面积为，所以 由得，即， 所以，解得. 故答案为：. 9．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）若方程表示圆，则m的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据圆的标准方程直接计算可得. 【详解】因为方程表示圆，即表示圆， 所以，解得或. 所以当时，方程表示圆心为，半径为的一个圆. 故答案为：. 10．（25-26高二上·全国·期中）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 【答案】 【分析】设动点，根据两点间距离公式，列方程即可求解. 【详解】设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 素养提升 11．（25-26高一下·广东江门·期中）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先根据复数的模的几何意义得到z在复平面上对应的点的轨迹图形，再由在复平面的几何性质即可得到其最小值． 【详解】因为， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上， 因为表示点与定点的距离， 所以点与定点的距离的最小值等于圆心与的距离减去圆的半径， 即. 12．（25-26高二下·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 【答案】8 【分析】由题可知圆即以和，满足的阿氏圆，将问题转化为求即可求解. 【详解】圆的方程为，其圆心，半径． 设，根据两点间距离公式，由可得：， 两边平方整理得， 因为在圆（即）上， 将代入得：， 即． 由于该式对圆上所有成立， 所以且，解得，即点，且满足． 所以， 而，所以. 13．（25-26高一下·北京·期中）已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线，整理为，则直线恒过定点； 已知曲线，整理为，对称中心恰好为. 由于直线过双曲线中心，所以交点关于对称，即是中点. 根据向量中点性质，可知， 代入条件，得，即， 即动点的轨迹是以为圆心，半径的圆及其内部. 则原点到圆心的距离为：， 从而. 14．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定在上，再表示出，将转化为到点的距离，最后利用圆的性质求解即可. 【详解】设，则，而， 可得，而，，， 则，得到， 即表示到点的距离， 而由两点间距离公式得点到圆心的距离为， 得到的最大值为，故D正确. 迁移创新 15．（25-26高二上·北京·阶段检测）经过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定圆心坐标，由垂直关系确定斜率，再由点斜式方程即可求解. 【详解】由可得圆心坐标为：， 直线的斜率为， 所以经过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为： ， 即， 故选：B 16．（25-26高二上·上海·阶段检测）对给定的两点和，用以下方式定义“直角距离”：．已知，点N在圆C：上运动，若点P满足，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】确定点的轨迹，的最大值为点到圆心的距离加圆的半径. 【详解】设点，由可得点的轨迹是如图以为中心的正方形， 其中点离圆较远时，（由，得；由，得）. 因为点在圆即上运动， 所以的最大值为点到圆心的距离加圆的半径. 因为，， 圆的半径， 所以， 故答案为. 17．（2025·湖南益阳·模拟预测）在中，为的中点，为平面内一点，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】A 【分析】以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，为以为圆心，半径为圆上一点，根据向量运算的几何意义逐选项判断即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 所以，设， 所以， 因为， 所以，即，即， 所以为以为圆心，半径为圆上一点， 对于A，，所以，几何意义为到原点的距离， 所以的最大值为到原点的距离的最大值， 最大值为原点到圆心距离加上半径，即，故A正确； 对于B，，，几何意义为到的距离， 所以的最大值为到的距离的最大值， 最大值为到圆心距离加上半径，即，故B错误； 对于C，，令，即， 即，当与圆相切时有最值，即， 解得，所以的最大值为，即的最大值为5，故C错误； 对于D，，因为为以为圆心，半径为圆上一点， 所以的最大值为，所以的最大值为，故D错误， 故选：A. 18．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】作出圆关于轴对称的圆，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 作圆关于轴对称的圆，其圆心 因此， 当且仅当是线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 19．（23-24高二上·上海青浦·阶段检测）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是__________． 【答案】 【分析】设出点，结合距离公式计算即可得. 【详解】设，由题意可得， 化简可得，即. 故答案为：. 20．（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆． (1)求直线到直线 的距离； (2)若 三个点在圆上，求圆的圆心和半径． 【答案】(1)； (2)圆心为，半径为． 【分析】（1）将两条直线化简后，直接利用两条平行线间的距离公式求解即可； （2）利用待定系数法求出D,E,F的值，即可得到圆的方程，从而得到圆心半径. 【详解】（1）将直线，化为一般式得到： 直线，化简得到， 因为直线与直线平行， 则两直线之间的距离为. （2）由题设可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为． 试卷第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $