2.3.2 圆的一般方程（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的一般方程，通过“温故知新”回忆圆的标准方程，指出其在已知多个定点时的局限性，进而展开推导一般方程，构建从旧知到新知的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“从特例到一般”推导方程培养数学眼光，通过互动探究和对点体验发展数学思维，结合待定系数法和方程互化强化数学语言表达。小结“学海拾贝”系统梳理核心公式与方法，助力学生提升抽象能力和解题技能，为教师提供结构化教学资源。

第二章 平面解析几何 2.3.2 圆的一般方程 2.3圆及其方程 【新教材】人教B版·高二选修第一册 学 习 目 标 1 2 学生能够通过圆的标准方程配方推导，掌握圆的一般方程的标准形式，明确二元二次方程表示圆的充要条件，区分圆、点、无轨迹三种不同情况。熟练掌握圆的一般方程与标准方程的互化方法，能够通过配方快速求出圆的圆心坐标和半径。 掌握待定系数法求圆的一般方程的步骤，能根据题目不同条件灵活选择圆的标准方程或一般方程求解，同时会利用一般方程判断点与圆的位置关系。 温故知新 同学们，上一节课我们学习了圆的标准方程，大家回忆一下：以点 (a,b) 为圆心、r为半径的圆的标准方程是什么？ 回答： 圆的标准方程优势十分明显，能够直接读出圆心和半径，几何特征直观清晰。但大家在解题中会发现一个问题：如果已知条件是圆经过多个定点，没有直接给出圆心、半径相关信息时，使用标准方程需要多次配方、计算繁琐，解题效率较低。 接下来我们不妨动手展开圆的标准方程，整理化简，看看能得到怎样的新方程。展开可得：，方程就简化为+Dx+Ey+F=0。 这就是我们今天要重点学习的圆的一般方程。 目标一：圆的一般方程 从特例到一般 知识讲解 互动探究 新课引入 把圆的标准方程 中的括号展开、整理之后, 得到的方程形式是什么样的? 是否所有圆的方程都能化成这种形式? 可以化−4𝑦−4=0. 一般地，圆的标准方程 可以化为 . 在这个方程中，如果令 𝐷=−2𝑎，𝐸=−2𝑏，𝐹=，则这个方程可以表示成 +𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0 ① 的形式，其中 𝐷,𝐸,𝐹 都是常数。形如 ① 式的圆的方程称为圆的一般方程。 5 已知 𝐴(0,5)，𝐵(1,−2)，𝐶(−3,−4) 是 ⊙𝑃 上的三点，求这个圆的方程. 对点体验 解： 设所求圆的方程为 ，因为 ，， 都是圆上的点，所以它们的坐标都是方程的解，因此可得 解方程组可得 ，，. 因此所求圆的方程为 . 探究圆的一般方程的特征 思考： 分别判断 与 是否是圆的方程，然后总结出 是圆的方程的充分条件。 不难想到,一个二元二次方程是否是一个圆的方程,取决于这个方程 能否化成圆的标准方程,因为 2x²+2y²-4x-4y + 1 = 0 ⇔x² + y²-2x - 2y + =0 ⇔x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 = ⇔(x−1)² + (y - 1)² = , 探究圆的一般方程的特征 思考： 分别判断 与 是否是圆的方程，然后总结出 是圆的方程的充分条件。 不难想到,一个二元二次方程是否是一个圆的方程,取决于这个方程 能否化成圆的标准方程,因为 2x²+2y²-4x-4y + 1 = 0 ⇔x² + y²-2x - 2y + =0 ⇔x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 = ⇔(x−1)² + (y - 1)² = , 所以上述方程是圆心在 (1,1), 半径为 的圆的方程; 又因为 , 显然,满足上述方程的实数只有 , 因此不是圆的方程. 探究圆的一般方程的特征 一般地, (1)当 D² + E² - 4F > 0 时,方程是以( -, - )为圆心, 为半径的圆的方程; (2)当 D² + E² - 4F = 0 时,满足方程的实数只有 x = -D/2, y = -E/2, 所以原方程不是圆的方程; (3)当 D² + E² - 4F < 0 时,方程没有实数解,因而原方程也不是 圆的方程. 判断下列方程是否是圆的方程,若是,求出 圆心和半径。 (1) x²+y²-x+=0; (2)x²+y² +2ax = 0(a≠0); (3)x²+y²+2ay-1=0; (4)x²+y² + 20x + 16² = 0. 对点体验 （1)将原方程配方得(x-)²+ y² =0,表示一个点,坐标为(1,0)。 (2)将原方程配方得(x+a)²+y²= a² (a ≠ 0),是圆心为(-a,0),半径为r = |a|的圆 的方程。 (3)将原方程配方得x²+(y+a)² = 1 + a², 是圆心为(0,-a),半径为r=的圆 的方程。 (4)将原方程配方得(x+10)²+y² = 10² - 16²<0,不是圆的方程。 化标准形式 判断下列方程是否是圆的方程,若是,求出 圆心和半径。 (1) x²+y²-x+=0; (2)x²+y² +2ax = 0(a≠0); (3)x²+y²+2ay-1=0; (4)x²+y² + 20x + 16² = 0. 对点体验 (1)因为D²+E²-4F = (-1)² + 0²-4×=0,所以原方程不是圆的方程。 1 4 (2) 因为 , 所以原方程是圆的方程。又因为 , 所以圆心为 , 半径为 按一般形式规则 判断下列方程是否是圆的方程,若是,求出 圆心和半径。 (1) x²+y²-x+=0; (2)x²+y² +2ax = 0(a≠0); (3)x²+y²+2ay-1=0; (4)x²+y² + 20x + 16² = 0. 对点体验 (3) 因为 , 所以原方程是圆的方程。又 因为 , 所以圆心为,半径为 。 (4)因为 , 所以原方 程不是圆的方程。 按一般形式规则 判断下列方程是否是圆的方程,若是,求出 圆心和半径。 (1) x²+y²-x+=0; (2)x²+y² +2ax = 0(a≠0); (3)x²+y²+2ay-1=0; (4)x²+y² + 20x + 16² = 0. 对点体验 (3) 因为 , 所以原方程是圆的方程。又 因为 , 所以圆心为,半径为 。 (4)因为 , 所以原方 程不是圆的方程。 按一般形式规则 下列方程能否表示圆? 若能, 写出圆心坐标 和半径。 (1) 2x² + y² - 7y + 5 = 0; (2) x² - xy + y² + 6x + 7y = 0; (3) x² + y² + x + 2 = 0; (4) x² + y² - x = 0. 对点体验 答 (1) 2x² + y² - 7y + 5 = 0 中 x² 与 y² 的系数 不相同,故原方程不能表示圆。 (2) 中含有 项, 故 原方程不能表示圆。 (3) 因为 , 所以 原方程不能表示圆。 (4) 方法一: , 所 以方程能表示圆, 圆心坐标为 , 半径为 。 方法二: 方程 可化为 , 它表示以 为圆心, 为半 径的圆。 判断 圆的标准方程与一般方程的比较 (1)圆的标准方程明确地指出了圆的几何要 素:圆心坐标和半径;圆的一般方程表现出了明显的代数结构特征,圆心坐标和半径需进 行代数运算得出 (2)给出圆的标准方程,需要确定圆心的坐标 和圆的半径;而给出圆的一般方程,则需要确 定一般方程中的三个系数D,E,F。 (3)二者可以互化:将圆的标准方程展开成 二元二次方程的形式即得一般方程,将圆的 一般方程配方即得标准方程。 目标二：点圆位置关系 判断点与一般方程的圆的位置关系的方法 知识讲解 互动探究 新课引入 点 在圆 上 ; 点 在圆 外 ; 点 在圆 内 。 17 已知定点A(a,2)在圆x²+y²-2ax - 3y + a² + a=0的外部,求a的取值范围。 易错忽略圆的一般方程中的隐含条件致误 错解因为点A在圆外,所以a²+4-2a²-3 x 2+a²+a>0,解得a>2。 错解 错因 本题错解的根本原因在于忽略圆的 一般方程的定义。二元二次方程x² + y² + Dx + Ey+F=0表示圆时,需D²+E²-4F>0,所以 本题除了点在圆外的条件以外,还应注意方程 表示圆这一隐含条件。 正解 正解因为点A在圆外,所以 所以 满分策略 对于圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0,只有 当D² + E² - 4F > 0 时,才表示圆心为 ( - , - ),半径为 的圆。因 此在解题时要注意题目中的隐含条件,否则就 容易导致错误。 所以a的取值范围是2<𝑎<。 目标三 ：典型例题 题型1 求圆的方程 例1-2 1.与圆x²+y²-2x+4y+3=0同圆心,且过点(1,-1)的圆的方程是() A.x²+y²-2x+4y-4=0 C.x²+y²+2x-4y-4=0 B. x² + y²-2x+4y+4=0 D.x² + y²+2x-4y+4=0 典例分析 牛刀小试 解析:设所求圆的方程为x²+y²-2x+4y+m = 0, 由该圆过点(1,-1),得m=4, 所以所求圆的方程为x²+y²-2x+4y+4=0.故选:B 2.过A(0,0),B(1,1),C(4,2)三点的圆的一般方程是() A.x²+y² +8x+6y = 0 B. x² + y²-8x-6y = 0 C.x²+y² +8x-6y=0 D. x² + y²-8x+6y=0 解析:设所求的圆的方程为x²+y² + Dx+ Ey + F = 0, 因为A(0,0), B(1,1), C(4,2)三点在圆上, F=0, D = -8, 所以D+E+F+2=0, 解得E=6, 4D+2E+F+20 = 0, F = 0, 于是所求圆的一般方程是x²+y²-8x+6y=0.故选D. 题型1 求圆的方程 例3 3.已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,1), B(4,2), C(3,0),则 △ABC 外接圆的方程是? 典例分析 牛刀小试 解析:设△ABC的外接圆方程为x² + y² + Dx+Ey+F=0, 其中D²+E2-4F>0. 由题意得 1+1+D+E+F = 0, 16+4+4D+2E+F=0,, 9+3D+F=0, 解得 D = -5, E=-3,满足D² + E2-4F > 0, F = 6, 所以△ABC外接圆的方程为x²+y²-5x-3y+6=0. 题型2 求参 例4 4.已知圆x²+y² +2k²x+2y+4k=0关于直线y=x对称,则k的值为() A.-1 B.1 C.±1 D.0 典例分析 牛刀小试 解析:将圆的一般方程x²+y²+2k²x+2y+4k=0化为标准方程得 (x+k²)²+(y+1)²=k²-4k+1,则圆心坐标为(-k²,-1). 圆x²+y²+2k²x+2y+4k=0关于直线y=x对称,直线y=x经过圆心, -k²=-1,解得k=±1. 当k=1时,k²-4k+1<0,不符合题意,k=-1.故选 A 求完参要代入检验是不是圆的方程。 题型2 求参 例5 5.若圆C:x² + y²-2(m-1)x+2(m-1)y+2m²-6m+4=0过坐标原点, 则实数的值为() A.2或1 B.-2或-1 C.2 D.-1 典例分析 牛刀小试 解析:方程x²+y²-2(m-1)x+2(m-1)y+2m²-6m+4=0表示圆, [-2(m-1)]² +[2(m-1)]²-4(2m²-6m+4)>0,解得m>1. 又圆C过原点,:.2m²-6m+4=0, 解得m=2或m=1 (舍去), m=2.故选C. 题型2 求参 例6 6. 若过点A(a,a)可作圆C: x²+y²-2ax+a²+2a-3=0的两条切线,则实 数的取值范围为 典例分析 牛刀小试 解析:圆C的圆心为C(a,0),半径r=,方程表示圆, 则3-2a>0,即a<.由于过点A(a,a)可作圆的两条切线, 所以点A在圆外,即a²+a²-2a²+a²+2a-3>0,解得a>1或a<-3, 综上,实数的取值范围为(-∞,-3)U(1,). 目标四：针对训练 举一反三 1.若方程x²+y²-mx+2y+1=0(m∈R)表示半径为1的圆,则m=( ) A.1 B.2 C.-1或1 D.-2或2 答案:D 解析:由方程x²+y²-mx+2y+1=0(m∈R)表示半径为1的圆,可得 =1,解得m=±2. 2.已知圆的方程为:x²+y²-2x+4y+1=0,则圆心坐标为( ) A.(-2,4) B.(-1,2) C.(2,-4) D.(1,-2) 解析:易知圆方程x²+y²-2x+4y+1=0可化为(x-1)²+(y+2)² = 4, 因此圆心坐标为(1,-2). 举一反三 3.若方程x²+y²-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( ) A.m<- B.m>- C.m<1 D.m>1 答案:A 解析:由二元二次方程表示圆的充要条件可知,(-1)²+1²-4m>0,解 1 得m<. 2 24.与圆x²+y²-2x+4y+3=0同圆心,且过点(1,-1)的圆的方程是( ) A.x²+y²-2x+4y-4=0 C.x²+y²+2x-4y-4=0 B.x²+y²-2x+4y+4=0 D.x²+y²+2x-4y+4=0 答案:B 解析:设所求圆的方程为x²+y²-2x+4y+m=0,由该圆过点(1,-1),得 m=4,所以所求圆的方程为x²+y²-2x+4y+4=0. 举一反三 5,“k>4“是“方程x²+y²+kx+(k-2)y+5=0表示圆“的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 既不充分也不必要条件答案:A 解析:若x²+y²+kx+(k-2)y+5=0表示圆,则k²+(k-2)²-4×5>0, 解得k<-2或k>4,因此由k>4可以推出x²+y²+kx+(k-2)y+5=0 表示圆,满足充分性,由x²+y²+kx+(k-2)y+5=0表示圆不能推出 k>4,不满足必要性,所以“k>4“是“方程x²+y²+kx+(k-2)y+5=0 表示圆“的充分不必要条件, 举一反三 6.过四点(0,0),(4,0), (-1,1), (4,2)中的三点的一个圆的方程为 解析: 设，，，，圆的一般方程为 .若圆过，，三点，则分别将三点的坐标代入， 可得 解得易得，所以过，， 三点的圆的方程为.同理，过，，三点的圆的方程为 ；过，，三点的圆的方程为； 过，，三点的圆的方程为. 目标五：小结 学海拾贝 1. 核心公式与判定条件 圆的一般方程统一形式：+Dx+Ey+F=0（D、E、F为常数）； 方程表示圆的充要条件：>0，此时圆心为(-)，半径r= ； 补充特殊情况：当-4F=0时，方程表示一个点；当-4F<0时，方程无对应轨迹，不表示任何图形。 学海拾贝 2. 两种方程的互化方法 一般方程化标准方程：核心方法为配方法，对 (x、y)分别配方，整理成标准形式，进而得到圆心和半径； 标准方程化一般方程：直接展开、整理、合并同类项即可。 3. 解题方法与选用技巧 求圆的方程常用待定系数法：已知圆心、半径、切线、对称轴等几何条件，优先选用标准方程；已知圆经过多个定点，优先选用一般方程，计算更简便。 学海拾贝 4. 核心数学思想 本节课全程贯穿数形结合思想，将圆的几何特征与代数方程相互转化，同时通过等价转化思想，实现两种方程的灵活互换，是解析几何核心解题思想的重要应用。 后续我们将利用圆的一般方程，进一步研究点与圆、直线与圆的位置关系，为后续综合题型学习打下基础。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $