2.3.1 圆的标准方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“圆的标准方程”核心知识点，从圆的定义出发，通过两点间距离公式推导标准方程，梳理确定圆的要素（圆心和半径），明确点与圆位置关系的判断方法（距离与半径比较、方程代数判断），构建从定义到应用的学习支架。 资料以文学情境（月亮描写）导入激发兴趣，通过问题链引导学生自主推导方程，培养数学眼光和思维。结合拱桥等实际问题，用方程解决现实问题，发展数学语言。分层练习设计助力课中教学与课后查漏补缺，提升学习效果。

2．3　圆及其方程 2．3.1　圆的标准方程 新课导入 学习目标 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，在文学作品中有大量描写：小时不识月，呼作白玉盘．又疑瑶台镜，飞在青云端……，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，那么我们如何确定该圆的方程呢？ 1.掌握圆的定义及标准方程． 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系． 3.会利用圆的标准方程解决实际问题． 思考1　结合以往所学圆的定义，写出确定圆的要素有哪些？各要素与圆有怎样的关系？ [提示]　确定圆的要素包括圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 思考2　已知圆心为A(a，b)，半径为r，设圆上任一点M(x，y)，你能得到x，y的关系吗？ [提示]　|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r，两边平方得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. [知识梳理] 1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合称为圆，其中定点是圆心，定长为半径． 2．标准方程：在平面直角坐标系中，以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．(　　) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标是(1，－1)，直径长是4.(　　) (4)圆心为(1，－2)且半径为3的圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝3.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选)对于圆C：(x－1)2＋y2＝2，下列说法正确的是(　　) A．圆C的圆心为(－1，0) B．圆C的圆心为(1，0) C．圆C的半径为2 D．圆C的半径为 解析：选BD.因为圆C：(x－1)2＋y2＝2，所以圆C的圆心为(1，0)，圆C的半径为.故选BD. 3．(2026·平谷月考)写出一个关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为________________． 解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0，圆心坐标为(a，b)，半径为r，因为圆关于直线x－y＋1＝0对称，所以a－b＋1＝0，所以b＝a＋1， 不妨取a＝0，r＝1，则b＝1， 则关于直线x－y＋1＝0对称的一个圆的方程为x2＋(y－1)2＝1. 答案：x2＋(y－1)2＝1(答案不唯一，形如(x－a)2＋(y－a－1)2＝r2，r＞0即可) 4．已知圆C1：(x＋3)2＋(y－2)2＝5，圆C2与圆C1是同心圆且过点A(5，0)，则圆C2的标准方程为________________． 解析：依题意，圆C2的圆心C2(－3，2)，则半径r＝|C2A|＝＝2， 所以圆C2的标准方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝68. 答案：(x＋3)2＋(y－2)2＝68 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间的距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条不平行的弦的中垂线的交点必为圆心”等． 思考　平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？ [提示]　分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆的半径相比较判断位置． [知识梳理] 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，已知点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝ . 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 [例1] 已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段P1P2为直径的圆的标准方程，并判断点M(5，3)，N(3，4)，P(3，5)是在圆上、在圆内、还是在圆外． 【解】　由题可知圆心坐标为(4，6)，圆的半径r＝|P1P2|＝×＝， 所以圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点M，N，P到圆心(4，6)的距离： ＝>， ＝， ＝<， 所以点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内． 判断点与圆的位置关系的方法 (1)几何法：只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小关系，并作出判断． [跟踪训练1] (1)(2026·临沂期中)已知圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，则下列点中在圆C内的是(　　) A.(1，－2) B．(－1，1) C．(2，－1) D．(0，2) 解析：选C.因为(1－1)2＋(－2)2＝4， 所以点(1，－2)在圆C上； 因为(－1－1)2＋12＝5＞4， 所以点(－1，1)在圆C外； 因为(2－1)2＋(－1)2＝2＜4， 所以点(2，－1)在圆C内； 因为(0－1)2＋22＝5＞4， 所以点(0，2)在圆C外． 综上，在圆C内的是(2，－1). (2)若点A(a＋1，3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意得m<(a＋1－a)2＋(3－1)2＝5，而m>0， 所以实数m的取值范围是(0，5). 答案：(0，5) [例2] (对接教材例2)求经过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线l：x＋y－3＝0上的圆的标准方程． 【解】　 如图，连接AB，过AB的中点D(，)作AB的垂直平分线，kAB＝－，可求出垂直平分线的方程为y－＝3，即为3x－y－5＝0，由垂径定理可知，圆心C也在该垂直平分线上， 所以联立解得 即圆心C的坐标为(2，1). 又圆C经过点A，则r2＝(1－2)2＋(3－1)2＝5，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 母题探究　经过A(1，3)，B(4，2)两点且周长最小的圆的标准方程为____________________________________． 解析：当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即所求圆以线段AB的中点D为圆心，|AB|＝×＝为半径，故所求圆的标准方程为＋＝. 答案：＋＝ 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．一般地，在解决有关圆的问题时，利用圆的几何性质作转化较为简捷． [跟踪训练2] (1)已知圆C的圆心在直线3x－y－1＝0上，且过点A(－2，3)，B(2，5)，则圆C的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y－2)2＝ B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝ C．(x－1)2＋(y－2)2＝10 D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 解析：选C.由题知kAB＝＝，且AB的中点坐标为(0，4)，故线段AB的中垂线方程为y＝－2x＋4，故圆心在直线y＝－2x＋4上，与3x－y－1＝0联立，可得圆心为(1，2)，所以半径为＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝10. (2)过O(0，0)，M1(－1，3)，M2(－3，－1)三点的圆的标准方程是__________________． 解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得 即解得 所以圆的标准方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5. 答案：(x＋2)2＋(y－1)2＝5 [例3] (对接教材例3)如图是某圆形拱桥——孔圆拱的示意图．此图中，圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(参考数据：≈5.745，精确到0.01 m). 【解】　以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上， 设圆心坐标为(0，a)，圆拱所在圆的方程为x2＋(y－a)2＝r2， 因为P(0，4)，A(－10，0)， 所以 解得所以圆拱所在圆的方程为x2＋(y＋10.5)2＝14.52. 将x＝－2代入圆方程， 得4＋(y＋10.5)2＝14.52，整理得y2＋21y－96＝0，解得y＝≈3.86或y＝(舍去)，所以A2P2＝y≈3.86(m). 由于圆具有对称性，在实际应用中，一般通过建立适当的平面直角坐标系，把实际问题转化为与圆的半径、弦长等有关的问题来求解，最后不要忘记根据实际意义来作答．建立平面直角坐标系时，注意根据垂径定理等寻找垂直关系． [跟踪训练3] 某圆拱桥的拱高为5 m，现有宽10 m，水面以上的高度为3 m的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度(单位：m)在下列哪个区间内(　　) A．(12，13) B．(13，14) C．(14，15) D．(15，16) 解析： 选B.由题意，建立平面直角坐标系如图所示，则G(0，5)，C(－5，0)，D(5，0)，E(－5，3)，F(5，3)，其中H为圆拱桥的圆心．设拱桥所在的圆的方程为x2＋(y－a)2＝r2， 则解得 则圆拱桥的水面跨度为 2　＝∈(13，14). 1．(教材P106练习A T1改编)在平面直角坐标系中，圆心为(1，－3)，半径为2的圆的标准方程为(　　) A．(x－1)2＋(y＋3)2＝4 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝2 C．(x＋1)2＋(y－3)2＝4 D．(x＋1)2＋(y－3)2＝2 解析：选A.圆心为(1，－3)，半径为2的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝4. 2．(多选)已知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(4，－3) B．点(1，0)在圆内 C．圆M的半径为5 D．点(－3，1)在圆内 解析：选ABC.圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，A，C正确；由(1－4)2＋(0＋3)2＝18<25，得点(1，0)在圆内，B正确；由(－3－4)2＋(1＋3)2＝65>25，得点(－3，1)在圆外，D错误． 3．若点(1，a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是________． 解析： 因为点(1，a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，所以(1－1)2＋a2<1，即a2<1，解得－1<a<1，则实数a的取值范围是(－1，1). 答案：(－1，1) 4．已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程． 解：由题设知，|PA|＝，|PB|＝，|PC|＝5， 所以|PA|<|PB|<|PC|，要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外， 则圆以|PB|为半径，故圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13. 1．已学习：圆的标准方程及点与圆的位置关系． 2．须贯通：求圆的标准方程有待定系数法和几何性质法，利用方程思想和数形结合思想． 3．应注意：利用几何法求圆的标准方程时，要全面考虑，否则易出现漏解的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $