2.3.1 圆的标准方程（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的标准方程，涵盖方程推导、点与圆位置关系及求圆方程的方法。课堂导入从初中圆的几何定义出发，结合生活实例提问，引导学生思考几何图形与代数方程的转化，搭建起从几何直观到代数表达的学习支架。 其亮点在于通过互动探究（如特殊点判断、方程推导）和典型例题（待定系数法、几何性质法），培养学生直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养。小结部分系统梳理知识、方法与思想，帮助学生构建体系，教师使用能提升教学效率，学生可深化对解析几何的理解。

第二章 平面解析几何 2.3.1 圆的标准方程 2.3圆及其方程 【新教材】人教B版·高二选修第一册 学 习 目 标 1 2 3 回顾圆的几何定义，理解圆的标准方程的推导过程，熟记圆的标准方程基本形式：（(a,b)为圆心，r为半径）。能够根据圆心、半径直接写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程精准读出圆心坐标和半径。掌握待定系数法求圆的标准方程的基本步骤，能根据题目已知条件（定点、几何关系等）求解圆的方程。 学会利用圆的标准方程，通过代数运算判断点与圆的三种位置关系（点在圆内、圆上、圆外）。 聚焦直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模四大核心素养，通过方程推导深化几何直观，通过运算解题锤炼推理与运算能力，通过实际应用建立几何建模思维。 同学们，我们在初中已经学习过圆的几何定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为半径。 在生活中，月亮、车轮、摩天轮、圆形跑道等圆形图形随处可见，是最常见的几何图形之一。 那大家思考两个问题：第一，既然圆是确定的几何图形，能否像直线一样，在平面直角坐标系中用一个代数方程来表示圆？第二，已知一个圆的圆心和半径，如何精准写出它对应的方程？反过来，给出一个方程，如何判断它是否为圆、找到它的圆心和半径？ 带着这些问题，今天我们开启新的学习——圆的标准方程，用坐标法解锁圆的代数表达，实现几何图形与代数方程的完美转化。 回顾与思考 目标一：圆的标准方程 取圆上特殊点，体验圆的定义 知识讲解 互动探究 新课引入 如图所示, 设平面直角坐标系中的⊙𝐶的圆心坐标为𝐶(1,2), 而且半径为2. (1)判断点𝐴(3,2)是否在⊙𝐶上; 根据圆的定义可知, 一个点在⊙𝐶上的充要条件是这个点 到圆心的距离等于半径. 因为 |𝐶𝐴|=2 所以可知点𝐴(3,2)在⊙𝐶上. (2)设 𝑀(𝑥,𝑦) 是平面直角坐标系中任意一点，那么𝑀 的充要条件是什么？此时𝑥，𝑦要满足什么关系式？ 5 圆的标准方程 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地, 如果平面直角坐标系中⊙𝐶的圆心为𝐶(𝑎,𝑏), 半径为𝑟 设𝑀(𝑥,𝑦)为平面直角坐标系中任意一点, 则点𝑀在⊙𝐶上的充要 是|𝐶𝑀|=𝑟, 即=𝑟, 两边平方, 得 上述充要条件表明, ⊙𝐶上任意一点𝑀的坐标(𝑥,𝑦)满足方程① 平面上一点𝑀的坐标(𝑥,𝑦)满足方程①, 可得|𝐶𝑀|=𝑟, 则点𝑀在⊙𝐶上。 6 圆的标准方程 知识讲解 互动探究 新课引入 因此方程①能表示以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆,①式通常称为圆的标准方程. 为了方便起见,称圆(x-a)²+(y-b)²=r²时,指的是方程 为(x-a)²+(y-b)²=r²的圆. 注意(1)由圆的标准方程,可直接得出圆心和 半径。例如由圆的方程(x-1)²+ (y+2)² = 16 可知,圆心为(1,-2),半径为4。 (2)圆心为，半径为。(3)圆心为，半径为。 7 圆的标准方程 知识讲解 互动探究 新课引入 因此方程①能表示以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆,①式通常称为圆的标准方程. 为了方便起见,称圆(x-a)²+(y-b)²=r²时,指的是方程 为(x-a)²+(y-b)²=r²的圆. (2)圆的标准方程。(x-a)² 不一定表示圆。 一个点，所以此方程要表 。 方程的 共有三个参数，只要确定值，圆的方程即被确定了。因此 要三个独立的条件，其中圆心是 径是圆的定形条件。确定圆的 是待定系数法，即列出关于或直接求出圆心和半径r 的方程 8 理解圆标准方程 典例分析 牛刀小试 写出下列方程表示的圆的圆心和半径: =25; ; ; (𝑏≠0)。 解 表示圆心为 , 半径为 的圆。 答 (1) 圆心为 , 半径为 。 (2) 圆心为 , 半径为 。 (3) 圆心为 , 半径为 。 (4)圆心为(-m,1),半径为|b|。 点评,在第(4)题中b²是半径的平方,b可正 可负,不能确定,故半径应为|b|。 理解圆标准方程 典例分析 牛刀小试 (1)到原点的距离等于4的动点的轨迹方程 是 ___________ ; (2)圆心在 𝑥 轴上且与 𝑦 轴相切, 半径长为2 的圆的方程是 ___________ ; (3)面积为 25𝜋, 且与两坐标轴都相切的圆 的标准方程是 ___________ 。 答 (1) (2) 或 (3) 几种特殊的圆的标准方程 知识讲解 互动探究 新课引入 条件 方程形式 圆心在原点 x²+y² = r² (r>0) 过原点 (x-a)²+(y-b)² = a² + b² (a² + b²≠0) 圆心在x轴上 (x-a)²+y²=r²(r>0) 圆心在y轴上 x²+(y-b)²=r²(r>0) 圆心在x轴上 且过原点 (x-a)²+y²= a² (a≠0) 圆心在y轴上 且过原点 x²+(y-b)²=b²(b≠0) 与x轴相切 (x-a)² + (y-b)² = b² (b≠0) 与y轴相切 (x-a)²+(y-b)²= a² (a≠0) 与两坐标轴都相切 (x-a)²+(y-b)²= a²(a,b都不为0） 圆的直径的端点为 (x₁,y₁),(x₂,y₂) (x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁) (y-y₂)=0 11 目标二 ：点与圆的位置关系 判断方法 知识讲解 互动探究 新课引入 如图,点M与圆A有三种位置关系: 点在圆上,点在圆内,点在圆外。 那么如何判断点与圆的位置关系呢?有下列两 种方法: 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 |MA | = r (x₀ - a)² + (y₀ - b)² = r² 点在圆内 | MA | < r (x₀- a)² + (y₀-b)² <r² 点在圆外 | MA | > r (x₀ - a)² + (y₀ - b)² > r² 13 判断点与圆位置关系 典例分析 牛刀小试 判断点M₁(6,-6), M₂(-5,-1), M₃ (3,1) 与圆(x-2)²+(y+3)²=25的位置关系。 答圆心为(2,-3),r² = 25。 因为(6-2)²+(-6+3)²=25,所以点 M₁ 在圆上。 因为(-5-2)²+(-1+3)²=53>25,所以 点M₂在圆外。 因为(3-2)²+(1+3)² = 17 <25,所以点 M₃在圆内。 判断点与圆位置关系 典例分析 牛刀小试 已知圆心 𝐶(3,4), 半径 𝑟=5, 求此圆的标准方程, 并判断点 𝐴(0,0),𝐵(1,3) 是在圆上、圆外还是在圆内。 答 方法一: 所求圆的标准方程为 。 因为点 与圆心 的距离为 , 而 , 所以点 在圆上。 因为点 与圆心 的距离为 d = , 所以点B(1,3)在圆内。 判断点与圆位置关系 典例分析 牛刀小试 已知圆心 𝐶(3,4), 半径 𝑟=5, 求此圆的标准方程, 并判断点 𝐴(0,0),𝐵(1,3) 是在圆上、圆外还是在圆内。 方法二:所求圆的标准方程为 。 将A(0,0),B(1,3)的坐标分别代入圆的方 程,得 , , 所以点A(0,0)在圆上,点B(1,3)在圆内。 目标三 ：典型例题 题型1 求圆的方程 例1 根据下列条件,求圆的标准方程: (1)圆心在点C(-2,1),且过点A(2,-2); (2)过点(0,1)和点(2,1),半径为. 典例分析 牛刀小试 所求圆的半径r = |CA| = =5. 又因为圆心为(-2,1), 所以所求圆的方程为(x+2)²+(y-1)²=25. 设圆心坐标为(a,b),则圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=5.因为(0,1),(2,1)是圆 上的点,所以 因此,所求圆的方程为(x-1)²+(y+1)²=5或(x-1)²+(y-3)²=5. 题型1 求圆的方程 例2 如图所示，设⊙𝐶的圆心𝐶在直线𝑙：2𝑥−7𝑦+8=0上， 是⊙𝐶上的点， 求圆的标准方程. 典例分析 牛刀小试 方法一： 设所求圆的方程为，由题意得 解得 因此所求圆的方程为 题型1 求圆的方程 例2 如图所示，设⊙𝐶的圆心𝐶在直线𝑙：2𝑥−7𝑦+8=0上， 是⊙𝐶上的点， 求圆的标准方程. 典例分析 牛刀小试 方法二： 设线段的垂直平分线为，则既在直线上，又在直线 线与的交点. 因为直线的斜率为，所以的斜率为， 又因为中点的横坐标和纵坐标分别为， 所以直线的方程为，即. 题型1 求圆的方程 例2 如图所示，设⊙𝐶的圆心𝐶在直线𝑙：2𝑥−7𝑦+8=0上， 是⊙𝐶上的点， 求圆的标准方程. 典例分析 牛刀小试 解方程组 得，. 因此，圆心的坐标为，又圆的半径为 从而所求圆的方程是. 题型1 求圆的方程 例3 赵州桥位于我国河北省，是我国现存 图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱 州桥的跨度𝑎和圆拱高𝑏表示出赵州桥圆弧所在圆的半径。 典例分析 牛刀小试 作出示意图如图所示，其中表示跨度，为中点，为圆 原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 根据已知条件有可以看出，圆弧所在圆的圆心在轴的负半轴上，因此可设圆心的坐标为，半径为，则因为都在圆上，所以 由此可解得 求圆的标准方程的常用方法 𝟏 直接代入法 已知圆心坐标和半径大小,直接代入圆的标准方程。 𝟐 待定系数法 (1)根据题意,设所求圆的标准方程为(𝑟>0)； (2)根据已知条件,建立关于𝑎,𝑏,𝑟的方程组； (3)解方程组,求出𝑎,𝑏,𝑟的值,并把它们代入所设的方程中,就得到所求的圆的方程。 𝟑 几何性质法 在求解圆的方程问题时,结合圆的有关几何性质来考虑,可以使解题思路更直观,计算更简单,这就是我们所说的“数形结合”思想,学习这部分内容时,要注意培养这种思想。 题型2 与圆有关的最值问题 例4 已知x和y满足(x+1)²+y²=,试求: (1)x²+y²的最值;(2)x+y的最值。 典例分析 牛刀小试 答 (1)由题意知表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值。原点 (0,0) 到圆心的距离为d=1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为，最小距离为。因此的最大值和最小值分别为和。 题型2 与圆有关的最值问题 例4 已知x和y满足(x+1)²+y²=,试求: (1)x²+y²的最值;(2)x+y的最值。 典例分析 牛刀小试 (2)令 x+y=z，并将其变形为 。 问题转化为斜率为 的直线在经过圆上的点时在 轴上的截距的最值。当直线和圆相切时，在 轴上的截距取得最大值和最小值，此时有 ，解得 ，即最大值为 ，最小值为 。 最值 解决与圆的方程有关的综合问题时,要充 用圆的方程的特征,结合圆的相关性质灵活 尤其要注意圆的几何特性的运用(如圆的 越大,则面积越大等)。 知点在圆 的最值问题的处 法如下: 圆心与定点间的距离。 据圆的几何性质知 在圆外时,。 在圆内时,。 最值 形求的最大值, 就表示点 标原点 和连线的斜率,显然当直线 也相应 圆 相切时,有最值; 的最值问题，比如求 最 值,可令 ,则 ,那么 表示 直线与圆相交或相切时 的纵截距的范围,作出图像即可求出最值。 目标四 ：针对训练 举一反三 1.已知某圆圆心在轴上，半径为，且在轴上截得线段的长为，则圆的标准方程为 A.　 B.　 C.　 D. 由题意得，，所以，在中， .如图所示，有两种情况： 故圆心的坐标为或 (3,0) ，故所求圆的标准方程为. 举一反三 2.以A(1,2),B(3,6)为直径的两个端点的圆的方程为 A.　　　B. C.　　　D 解析：易知该圆圆心为 (A(1,2),B(3,6) 的中点C(2,4) ， ，故半径， 所以该圆的方程为.故选：D. 举一反三 3.若直线过圆的圆心，则 A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：圆的圆心为 (1,1) ， 因为直线经过圆心，所以，解得m=1. 故选:C. 举一反三 4.以点 (2,0) 为圆心，且经过点 (0,1) 的圆的方程为 A.　　　　　B. C.　　 D. 解析：因为圆是以点 (2,0) 为圆心，且经过点 (0,1) ，所以圆的半径为： ，所以圆的方程为，故选：A 举一反三 5、“大漠孤烟直，长河落日圆” 体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为() A. B. C. D. 解析：由，则线段的中点为，即圆的圆心为， 圆的半径， 所以圆的方程为.故选A. 举一反三 6.若圆 经过 ，，圆心在直线上，则圆 的面积为 . 解析：设圆的方程为 ，所以 ，解得 ，所以圆 的面积为 .故答案为：. 目标五：小结 学海拾贝 1. 核心知识梳理 本节课我们重点掌握了圆的标准方程：圆心为(a,b)、半径为r的圆的标准方程为(r>0)；特别掌握特殊情况：圆心在原点时，圆的方程为。 同时掌握点与圆的位置关系判定方法：设点P()，圆心(a,b)，半径r，若，点在圆上；若小于，点在圆内；若大于，点在圆外。 学海拾贝 2. 解题方法总结 求圆的标准方程主要有两种方法：一是直接法，已知圆心坐标和半径，直接代入公式写方程；二是待定系数法，设出圆的标准方程，根据题目给出的定点、距离、位置等条件，列方程求解参数a、b、r。 3. 数学思想升华 本节课全程贯穿数形结合思想，以形助数、以数解形；同时运用转化与化归思想，将几何中的距离、位置关系问题，转化为代数运算问题，这也是解析几何的核心解题思路。 学海拾贝 4. 课后思考铺垫 我们今天学习了形式规整的圆的标准方程，后续我们将进一步学习圆的一般方程，探究两种方程的互化方法，完善圆的方程体系。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $