2.3.1 圆的标准方程-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“圆的标准方程”核心知识点，从圆的定义出发，系统构建标准方程形式，通过圆心与半径的关系、特殊方程（如单位圆）等基础概念，结合直接法、待定系数法、几何法搭建求方程的学习支架，衔接点与圆位置关系的判断应用。 该资料采用梯度进阶式教学设计，“微点助解”细化特殊情况理解，“思维建模”归纳解题逻辑培养数学思维，表格对比位置关系的几何与代数判断发展数学语言表达。课中助力分层教学实施，课后通过检测与训练帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

2.3　圆及其方程 2.3.1　圆的标准方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]　　 [课时目标] 1.会根据圆心与半径写圆的标准方程,根据圆的标准方程得圆心与半径. 2.会用待定系数法和几何法求圆的标准方程.会用坐标法和几何法判断点与圆的位置关系. 1.圆的标准方程 2.点与圆的位置关系 点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点M在圆外 |CM|>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 |微|点|助|解| (1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2. (2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆. (3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (　　) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径. (　　) (3)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1上. (　　) (4)若圆的标准方程是(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),此时圆的半径一定是a. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　 2.若某圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径分别为 (　　) A.(-1,5), B.(1,-5), C.(-1,5),3 D.(1,-5),3 答案:B 3.已知圆C的方程为(x+1)2+(y-3)2=12,则点A(1,6)在 (　　) A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.不确定 解析:选C　圆心为(-1,3),半径为=2,因为=>2,所以点A(1,6)在圆外,故选C. 4.已知圆心为(-2,1)的圆过点(0,1),则该圆的标准方程是 (　　) A.(x+2)2+(y-1)2=4 B.(x+2)2+(y-1)2=1 C.(x-2)2+(y+1)2=4 D.(x-2)2+(y+1)2=1 解析:选A　∵圆过点(0,1),即点(0,1)在圆上,∴该圆的半径为圆心(-2,1)与点(0,1)两点之间的距离r==2,∴该圆的标准方程是(x+2)2+(y-1)2=4. 题型(一)　求圆的标准方程 方法1　直接法求圆的标准方程 [例1]　求满足下列条件的圆的标准方程: (1)圆心是(4,0),且过点(2,2); (2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4). 解:(1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8,∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8. (2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52,∴b=0或b=-8,∴圆心为(0,0)或(0,-8).又r=5,∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25. |思|维|建|模| 直接法求圆的标准方程 　　确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 方法2　待定系数法求圆的标准方程 [例2]　已知A(0,1),B(2,1),C(3,4),则△ABC外接圆的方程为　　　　　　　　.  解析:设△ABC外接圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(0,1),B(2,1),C(3,4), 所以有解得 因此△ABC外接圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5. 答案:(x-1)2+(y-3)2=5 |思|维|建|模| 待定系数法求圆的标准方程 　　设出圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,由题目给出的已知条件找到参数a,b,r的关系,列出方程组并求出a,b,r.此方法的计算量较大,应注意运算的技巧性.方程组中圆的标准方程左端是平方和的形式,右端是同一常数,两式相减后可简化运算. 方法3　几何性质法求圆的标准方程 [例3]　过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 (　　) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 解析:选C　法一　由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0),kAB==-1,∴弦AB的垂直平分线的斜率为k=1,线段AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0),即y=x, 则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点. 由得 即圆心坐标为(1,1), 圆的半径为=2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 法二　设点C为圆心. ∵点C在直线x+y-2=0上,∴可设点C的坐标为(a,2-a). 又∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|. ∴ = , 解得a=1. ∴圆心坐标为C(1,1),半径长r=|CA|=2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. |思|维|建|模| 几何性质法求圆的标准方程的两种思路 (1)根据题意设出圆心坐标、半径,然后由圆上任意一点到圆心的距离等于半径列方程求得参数的值,由此确定圆心坐标和半径; (2)从几何的角度考虑,圆心在圆的弦的垂直平分线上,求出连接圆上两点的线段的垂直平分线的方程,与已知的圆心所在直线的方程联立求得圆心坐标,再由两点间距离公式求得半径. 　　[针对训练] 1.已知点A(1,-1)和点B(-1,3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为 (　　) A.(x+2)2+(y-4)2=5 B.(x+2)2+(y-4)2=20 C.x2+(y-1)2=5 D.x2+(y-1)2=20 解析:选C　法一　因为点A(1,-1)和点B(-1,3)为直径端点,所以AB的中点M,即M(0,1)为圆心,由|AB|==2,则圆的半径r==,故圆的标准方程为x2+(y-1)2=5. 法二　由题意圆的方程可以为(x-1)(x+1)+(y+1)(y-3)=0,即x2+y2-2y-4=0,即x2+(y-1)2=5. 2.已知圆C过点A(1,2)和B(1,10)且圆心C到直线x-2y-1=0的距离与半径长相等.求圆C的方程. 解:圆心在线段AB的垂直平分线y=6上,设圆心为(a,6),半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=r2.将点(1,10)代入得(1-a)2+(10-6)2=r2　①.而r=,代入①,得(a-1)2+16=,解得a=3,r=2,或a=-7,r=4.故圆C的方程为(x-3)2+(y-6)2=20或(x+7)2+(y-6)2=80. 题型(二)　点与圆的位置关系 [例4]　(1)已知点P是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0上一点,点Q(-1,5),则线段PQ长度的最大值为 (　　) A.3 B.5 C.7 D.9 解析:选C　圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,即(x-2)2+(y-1)2=4, 则圆心C(2,1),半径为2,由点Q(-1,5),得|CQ|==5>2,即点Q在圆外,则|PQ|max=|CQ|+r=5+2=7. (2)已知点P(2,1)和圆C:+(y-1)2=1,若点P在圆C上,则实数a=　　　　;若点P在圆C外,则实数a的取值范围为　　　　　　　.  解析:由题意,当点P在圆C上时,由+(1-1)2=1 ,解得a=-2或a=-6. 当点P在圆C外时,由+(1-1)2>1,解得a<-6或a>-2. 答案:-2或-6　(-∞,-6)∪(-2,+∞) 　　|思|维|建|模|　判断点与圆的位置关系的两种方法 几何法 利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断 代数法 把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断 　　 [针对训练] 3.点P(3,m)与圆(x+1)2+y2=9的位置关系是 (　　) A.在圆内 B.在圆外 C.在圆上 D.不确定 解析:选B　将点P(3,m)代入圆的方程得(3+1)2+m2=16+m2>9,则点在圆外,故选B. 4.若圆(x-m)2+(y-1)2=1关于直线y=x对称的圆恰好过点(0,4),则实数m的值为　　　　.  解析:依题意,点(0,4)关于直线y=x的对称点(a,b)在圆(x-m)2+(y-1)2=1上,则解得因此点(4,0)在圆(x-m)2+(y-1)2=1上,则(4-m)2+(0-1)2=1,解得m=4,所以实数m的值为4. 答案:4 [课时检测] 1.以(2,-1)为圆心,4为半径的圆的标准方程为 (　　) A.(x+2)2+(y-1)2=4 B.(x+2)2+(y+1)2=4 C.(x-2)2+(y+1)2=16 D.(x+2)2+(y-1)2=16 答案:C 2.点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是 (　　) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 解析:选B　∵12+32=10<24,∴点P在圆内. 3.(多选)已知圆M:(x-4)2+(y+3)2=25,则下列说法正确的是 (　　) A.圆M的圆心为(4,-3) B.圆M的圆心为(-4,3) C.圆M的半径为5 D.圆M被y轴截得的弦长为6 解析:选ACD　由圆M:(x-4)2+(y+3)2=52,故圆心为(4,-3),半径为5,则A、C正确;令x=0,得y=0或y=-6,弦长为6,故D正确.故选ACD. 4.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程是 (　　) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 解析:选D　圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式,得直线l的方程是y-3=x-0,化简得x-y+3=0. 5.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为 (　　) A.+y2= B.+y2= C.+y2= D.+y2= 解析:选C　法一:待定系数法　根据题意,设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0),半径为r,则圆E的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a>0). 由题意得解得 所以圆E的标准方程为+y2=. 法二:几何法　因为圆E经过点A(0,1),B(2,0), 所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y-=2(x-1)上.又圆E的圆心在x轴的正半轴上,所以圆E的圆心坐标为. 则圆E的半径为|EB|==, 所以圆E的标准方程为+y2=. 6.(多选)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程可能为 (　　) A.x2+(y-4)2=20 B.(x-4)2+y2=20 C.x2+(y-2)2=20 D.(x-2)2+y2=20 解析:选AD　令x=0,则y=4;令y=0,则x=2.所以直线2x+y-4=0与两坐标轴的交点分别为A(0,4),B(2,0).|AB|==2,以A为圆心,过B点的圆的方程为x2+(y-4)2=20.以B为圆心,过A点的圆的方程为(x-2)2+y2=20. 7.(多选)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是 (　　) A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4 解析:选AB　由题意可知圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)的圆心C(k,k),半径r=2.不论k如何变化,圆心C(k,k)始终在直线y=x上,故A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4,整理得2k2-6k+5=0,因为Δ=(-6)2-4×2×5=-4<0,可知方程无解,所以所有圆Ck均不经过点(3,0),故B正确;令(2-k)2+(2-k)2=4,整理得k2-4k+2=0,因为Δ=(-4)2-4×1×2=8>0,可知方程有两个不同的解,所以经过点(2,2)的圆Ck有且只有两个,故C错误;因为半径r=2,所以所有圆的面积均为π×22=4π,故D错误. 8.(5分)与圆(x-2)2+(y+3)2=16同圆心,且过点P(-1,1)的圆的标准方程为　　　　　　.  解析:因为已知圆的圆心为(2,-3),所以所求圆的圆心为(2,-3),所以所求圆的半径为=5,所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 答案:(x-2)2+(y+3)2=25 9.(5分)若点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部,则a的取值范围为　　　　　　.  解析:∵点P在圆外,∴(5a+1-1)2+(12a)2>1,169a2>1,a2>,∴a>或a<-. 答案:∪ 10.(5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的标准方程为　　　　　　　.  解析:设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),由题意知,=,解得a=2,∴C(2,0),则圆C的半径为r=|CM|= =3.∴圆C的标准方程为(x-2)2+y2=9. 答案:(x-2)2+y2=9 11.已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与两坐标轴都相切,则圆C的标准方程为　　　　　　;与圆C关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为　　　　　　　.  解析:由题意可得所求的圆在第二象限,圆心为(-2,2),半径为2,所以圆C的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=4. 设(-2,2)关于直线x-y+2=0的对称点为(a,b). 则有解得 故所求圆的圆心为(0,0),半径为2. 所以所求圆的方程为x2+y2=4. 答案:(x+2)2+(y-2)2=4　x2+y2=4 12.(10分)根据下列条件,分别求相应圆的方程. (1)圆心为C,半径r=;(3分) (2)圆心为C(,1),过点A(-1,);(3分) (3)与x轴相交于A(1,0),B(5,0)两点,且半径等于.(4分) 解:(1)将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为+(y-3)2=3. (2)易知圆的半径为r=|AC|= =,所以圆的方程为(x-)2+(y-1)2=6. (3)易知圆心在线段AB的垂直平分线上,不妨设圆心坐标为(3,a),由半径为可得r==,解得a=±1.当圆心为(3,1)时,圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.当圆心为(3,-1)时,圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=5.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5或(x-3)2+(y+1)2=5. 13.(10分)已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4,直线l:14x+8y-31=0,求圆C1关于直线l对称的圆C2的标准方程. 解:设圆C2的圆心坐标为(m,n).因为直线l的斜率k=-,圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4的圆心坐标为(-3,1),半径r=2, 由对称性知 解得所以圆C2的圆心坐标为(4,5),半径r=2, 所以圆C2的标准方程为(x-4)2+(y-5)2=4. 14.(15分)已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上. (1)求圆C的方程;(6分) (2)设点P在圆C上,求△PAB的面积的最大值.(9分) 解:(1)∵线段AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为1, ∴线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3. 联立解得 即圆心C为(-3,6), 则半径r==2. ∴圆C的方程为(x+3)2+(y-6)2=40. (2)∵|AB|==4, ∴圆心C到AB的距离d==4, ∴点P到AB的距离的最大值为d+r=4+2, ∴△PAB的面积的最大值为×4×(4+2)=16+8. 学科网（北京）股份有限公司 $