2.2.4 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

**基本信息** 聚焦直线距离公式应用，通过基础巩固、情境提升、综合应用三层设计，实现从公式直接套用（数学运算）到几何模型构建（空间观念）的进阶，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平行线/点到直线距离公式|选择1-4、填空7-8直接套用公式，强化运算能力| |提升层|距离公式与几何图形结合|选择5（梯形面积）、填空9（两点距离转化）融入几何直观，多选6、11涉及参数讨论| |综合层|距离公式综合应用|解答题10（交点与平行直线）、13（平行四边形）、14（中点距离）构建模型，发展推理与应用意识|

1．两平行线x－y＝0与x－y＋2＝0之间的距离是(　　) A． B．1 C． D．2 解析：选C.依题意，直线x－y＝0与直线x－y＋2＝0之间的距离是＝.故选C. 2．(2026·汕头期中)若点P(－1，2)到直线l：y＝2x－a的距离为，则a＝(　　) A．1 B．－9 C．－1或9 D．1或－9 解析：选D.由点P(－1，2)到直线l：2x－y－a＝0的距离为，得＝，解得a＝1或a＝－9. 3．已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么|OP|的最小值为(　　) A． B．1 C． D．2 解析：选A.|OP|的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离，即d＝＝. 4．(2026·赣州月考)已知直线3x＋4y－2＝0与直线6x＋8y＋m＝0间的距离为1，则m的值为(　　) A.3 B．6 C．－7或3 D．－14或6 解析：选D.直线3x＋4y－2＝0可化为6x＋8y－4＝0，因为直线3x＋4y－2＝0与直线6x＋8y＋m＝0间的距离为1，所以＝1，解得m＝6或m＝－14. 5．在梯形ABCD中，|CD|＝2|AB|＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积为(　　) A． B．9 C． D．45 解析：选B.由AB：x＋2y－3＝0，CD：x＋2y＋7＝0知AB∥CD，所以梯形ABCD的高即为直线AB和CD间的距离d＝＝2，所以梯形ABCD的面积为(|AB|＋|CD|)·d＝×(3＋6)×2＝9. 6．(多选)(2026·南阳月考)若点P(2a，a2)到直线3x－4y＋1＝0的距离为，则(　　) A．a∈Q B．a的最大值为2 C．a的最小值为－ D．a只有3个不同的取值 解析：选ABC.因为点P(2a，a2)到直线3x－4y＋1＝0的距离为， 所以由点到直线的距离公式得＝， 化简得6a－4a2＋1＝±3，解得a＝1，a＝2或a＝±， 可得a∈，则a∈Q，a的最大值为2，最小值为－，a有4个不同的取值， 故A，B，C正确，D错误． 7．已知点M(1，2)到直线4x－3y＋m＝0的距离与到y轴的距离相等，则m＝________． 解析：由题可知＝1，解得m＝－3或m＝7. 答案：－3或7 8．若直线l1：x＋ay＋9＝0与l2：(a－2)x＋3y＋3a＝0平行，则l1与l2间的距离是________________． 解析：由两直线平行可得1×3＝a(a－2)且1×3a≠9(a－2)，解得a＝－1， 所以直线l1：x－y＋9＝0，直线l2：－3x＋3y－3＝0⇒x－y＋1＝0， 故两直线间的距离为d＝＝4. 答案：4 9．(2026·南通期中)已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y－1＝0都经过点A(1，1)，则两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)间的最短距离为________． 解析：因为两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y－1＝0都经过点A(1，1)， 所以a1＋b1＋1＝0，a2＋b2－1＝0， 所以P1(a1，b1)，P2(a2，b2)分别在直线x＋y＋1＝0，x＋y－1＝0上， 所以两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)间的最短距离为两平行线间的距离，即d＝＝. 答案： 10．(13分)已知直线x－y－1＝0和直线x＋2y＋2＝0的交点为P. (1)求过点P且与直线x－2y＋1＝0平行的直线方程；(6分) (2)若点P到直线l：mx＋y＋m＝0的距离为，求m的值．(7分) 解：(1)由题意联立解得所以点P(0，－1)， 又所求直线与直线x－2y＋1＝0平行，所以所求直线的斜率为， 则所求的直线方程为y＋1＝x， 即x－2y－2＝0. (2)点P到l：mx＋y＋m＝0的距离为d＝＝， 解方程可得m＝－1. 11．(多选)若直线l经过点(－1，－2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为(　　) A．3x－4y－5＝0 B．x＝－1 C．y＝－1 D．3x＋4y－5＝0 解析：选AB.当直线l斜率不存在时，方程为x＝－1，满足题意；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，所以原点到直线l的距离为d＝＝1，解得k＝，所以直线l的方程为x－y－＝0，即3x－4y－5＝0.综上所述，直线l的方程为x＝－1或3x－4y－5＝0. 12．已知直线l1：x＋2y＋t2＝0和直线l2：2x＋4y＋2t－3＝0，则当l1与l2间的距离最短时，t的值为____________． 解析：因为直线l2：2x＋4y＋2t－3＝0即为直线x＋2y＋＝0， 所以l1∥l2. 所以l1与l2间的距离d＝＝≥， 当且仅当t＝时取等号． 所以当l1与l2间的距离最短时，t的值为. 答案： 13．(13分)(2026·东莞月考)已知平行四边形ABCD的两条边所在直线的方程分别是AB：x＋y－2＝0，AD：x－y＋4＝0，且它的对角线的交点是M(1，3). (1)求这个平行四边形其他两边所在直线的方程；(6分) (2)求平行四边形ABCD的面积．(7分) 解：(1)由解得 则点A(－1，3).由点M(1，3)是AC的中点， 得C(3，3)， 在平行四边形ABCD中，CD∥AB，则直线CD的斜率kCD＝－1， 方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0； 由BC∥AD，得直线BC的斜率kBC＝1， 方程为y－3＝x－3，即x－y＝0， 所以这个平行四边形其他两边所在直线的方程分别为x＋y－6＝0，x－y＝0. (2)由解得 即点D(1，5)，|AD|＝＝2， 直线BC与直线AD的距离h＝＝2， 即平行四边形ABCD边AD上的高为2， 所以S平行四边形ABCD＝2×2＝8. 14．(15分)已知直线l1：2x＋3y－7＝0与l2：2x＋3y＋8＝0. (1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点分别在直线l1，l2上运动，求AB的中点C到原点的最短距离；(7分) (2)若直线l过点P(1，1)，且被直线l1，l2截得的线段长为，求直线l的方程．(8分) 解：(1)设与直线l1，l2平行且到l1，l2距离相等的直线上的点为(x，y)， 则＝，所以2x＋3y－7＝－2x－3y－8，即4x＋6y＋1＝0， 所以AB的中点C到原点的最短距离即为原点到直线4x＋6y＋1＝0的距离， 所以所求最短距离为＝. (2)因为l1与l2之间的距离d＝＝， 所以直线l与直线l1，l2垂直，即直线l的斜率为，又直线l过点P(1，1)， 所以直线l的方程为y－1＝(x－1)，即3x－2y－1＝0. 15．(2026·绍兴月考)若直线m被两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为________． 解析： 设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为α， 两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0间的距离d＝＝， 因为直线m被两平行直线l1与l2所截得的线段长为，所以sin α＝＝， 所以α＝45°，因为直线l1的斜率为，所以其倾斜角为30°，所以直线m的倾斜角可以是30°＋45°＝75°或180°－45°＋30°＝165°. 答案：75°或165° 学科网（北京）股份有限公司 $