2.2.4 点到直线的距离（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦点到直线距离公式及两条平行直线间距离公式，课堂导入通过回顾两点间距离、直线方程等旧知，结合十字路口距离、铁轨宽度等生活实例引出问题，搭建新旧知识学习支架。 其亮点在于通过求垂足、向量法等多路径推导公式，体现数形结合与化归思想，注重从特殊到一般的探究（如先特例P(-1,2)到直线距离再推导一般公式）。结合数学思维（逻辑推理）和数学语言（公式规范表达），通过错题分析培养严谨性，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

第二章 平面解析几何 2.2.4 点到直线的距离 2.2直线及其方程 【新教材】人教B版·高二选修第一册 学 习 目 标 1 2 理解点到直线距离的几何定义，掌握平面内点到直线的距离公式的推导思路与完整公式，熟练运用公式求解任意一点到直线的距离；掌握两条平行直线间的距离推导方法及计算公式，明确公式使用的前提条件，能解决点线距离、平行线间距的基础题型与简单综合题型，完善平面解析几何的距离知识体系。 在公式自主探究与推导过程中，感受解析几何数形互通的数学美感，体会数学知识的连贯性与逻辑性；通过解决生活实际与数学例题问题，感知数学的实用价值，培养主动探究、严谨求证的数学思维和自主学习能力。 同学们，我们之前已经学习了平面内两点间的距离公式，也掌握了直线的一般式方程、两条直线的位置关系，能够精准判断直线的平行与垂直。在平面几何中，我们学过：点到直线的距离，是这个点到直线的垂线段的长度，这是几何层面的直观定义。 现在大家思考两个问题： 第一，已知平面内一个定点和一条任意直线（一般式方程），我们能不能用坐标精准算出这个点到直线的距离？ 第二，生活中随处可见距离问题，比如十字路口的点到公路边线的距离、两条平行铁轨之间的宽度，这些实际问题本质都是点到直线、平行线间的距离问题。 回顾与思考 之前我们只会用几何作图的方法粗略测量，无法精准计算。今天我们就借助解析几何的坐标工具，探究点到直线的距离公式，推导通用计算方法，同时延伸得出两条平行直线间的距离公式，彻底解决平面解析几何中的距离计算问题。 回顾与思考 目标一：点到直线距离 求垂足得距离 知识讲解 互动探究 新课引入 平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长 度.如果已知平面直角坐标系中点的坐标以及直线的方程,能不能快速地 求出点到直线的距离呢? 想办法求出P(-1,2)到直线l₁:2x+y-5=0的距离?可以得到什 么结论? 如图所示,设P₁(x₁,y₁)是直线l₁上的点,且PP₁⊥l₁,则P到l₁的 距离等于PP₁的长. 因为PP₁=(x₁+1,y₁-2),而且v=(2,1)是直线l₁的一个法向量,因此PP₁与v共线,从而2×(y₁-2)=1×(x₁+1),整理得x₁-2y₁+5=0.① 又因为P₁(x₁,y₁)是直线l₁上的点,所以2x₁+y₁-5=0.② 联立①与②,解方程组可得x₁=1, y₁=3. 即P₁(1,3),所以PP₁=(2,1),因此 |PP₁|=,即所求距离为. 6 不求垂足得距离 知识讲解 互动探究 新课引入 思考一下:如何求P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d? 想办法求出P(-1,2)到直线l₁:2x+y-5=0的距离?可以得到什 么结论? 设P(x₁,y₁)是直线l上的点,且PP₁⊥l,因此所要求的就是 d = .③ 注意到PP₁ = (x₁-x₀, y₁-y₀),而且v=(A,B)是直线l的一个法向量,因此PP₁与 v共线,从而A(y₁-y₀)=B(x₁-x₀),整理得 B(x₁-x₀)-A(y₁-y₀)=0.④ 又因为P(x₁,y₁)是直线l上的点,所以Ax₁+By₁+C=0.⑤ 如果联立④和⑤求出x₁,y₁,再代入③,将是很繁琐,注意到为了求出③, 只需要求出x₁-x₀与y₁-y₀的平方即可,而④正好有这两个式子,但⑤没有. 7 不求垂足得距离 知识讲解 互动探究 新课引入 为此,在⑤的左右两边同时减去Ax0, By0,并整理,得 A(x1-x0)+B(y1-y0)=-(Ax0+By0+C). ⑥ 将④与⑥两边平方后相加可得 8 点到直线的距离公式 知识讲解 互动探究 新课引入 已知点和直线，则点到直的距离为： 例如：利用点到直线的距离公式，可以算得到直的距离为 9 向量角度求距离 知识讲解 互动探究 新课引入 点到直线的距离公式也可通过向量数 因为是直线的一个法向量，设是直线上 任意一点，则按照向量数量积的几何意义可知， 到直线的距离满足 注意到，所以 又因为P₁(x,y)是直线上一点,所以Ax+By+C=0,因此 Ax+By=-C,从而 10 理解此公式应注意以下几点 (1)公式的形式是:分母是直线Ax + By + C = 0 中x,y项系数平方和的算术平方根,分子是用 xo,yo替换直线方程中x,y所得实数的绝对值; (2)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点 的连线的最短距离; (3)若给出的直线方程不是一般式,则应先把方 程化为一般式,再利用公式求距离; (4)若点P在直线上,则点P到直线的距离为 零,距离公式仍然适用; (5)该公式也可通过向量数量积来推导。 知识拓展 几种特殊情况下点到直线的距离: (1)点P(x₀,y₀)到x轴的距离d=|y₀|; (2)点P(x₀,y₀)到y轴的距离d=|x₀|; (3)点P(x₀,y₀)到与x轴平行的直线y=a的 距离d=|y₀-a|; (4)点P(x₀,y₀)到与y轴平行的直线x=b的 距离d=|x₀-b|。 体验距离 求点P(3,-2)到下列直线的距离: (1) 3x-4y+3=0; (2) y = 6; (3)y轴 (4)x轴。 答由点到直线的距离公式,得 (1)d= = = 4。 (2)因为直线y=6与x轴平行, 所以d=|6-(-2)|=8。 或将y=6变形为0·x+y-6=0, 所以d== 8。 (3)d=|3-0|=3。 (4)d=|-2-0|=2。 体验距离 (多选)已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直 线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的 值可以是( )。 A. -3 B. 3 C. -1 D. 1 解 由题意得 解得 或 。故选AB。 体验距离 已知△ABC的三个顶点A(2,2), B(2,0), C(0,1),求△ABC的BC边上的高 所求BC边上的高等于点A到直线BC的距离, 因为BC所在直线的截距式方程为 所以一般式方程为x+2y-2=0 因此所求高为 目标二 ：两条平行线之间距离 特例铺路 知识讲解 互动探究 新课引入 如果两条直线平行,如何应用已知知识计算它们之间的距离? 两条平行线之间的距离,等于其中一条直线上任意一点到另一条直 线的距离,因此,可以借助点到直线的距离求两条平行直线之间的 距离. 求平行线l₁: 3x-4y+3=0与l₂: 6x-8y-5=0之间的距离. 在l₁的方程中,令y=0,则可得x=-1,因此(-1,0)是直线l₁上一点. 又因为(-1,0)到6x-8y-5=0的距离为 ，所以所求距离为 17 一般公式 知识讲解 互动探究 新课引入 已知直线l₁: Ax+By+C₁=0, l₂: Ax+By+C₂=0,求证:l₁与l₂之间的距离 为d= . 设P(x₁,y₁)为l₁上一点,则 Ax₁+By₁+C₁=0,从而 Ax₁+By₁=-C₁. 因为P到l₂的距离为 d= = , 所以结论成立 18 特别提醒 (1)两条平行直线间的距离公式适用于两条 直线的方程都是一般式,并且x,y的系数分 别对应相等的情况,否则必须先化为x,y的 系数对应相等才能使用公式。 (2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时,可利 用数形结合来解决。 ①两直线都与x轴垂直时,l₁:x=x₁,l₂:x=x₂,则 d = |x₂-x₁|; ②两直线都与y轴垂直时,l₁:y=y₁,l₂:y=y₂,则 d=|y₂-y₁|。 体验距离 (1)已知直线3x+y-3=0和6x+my-1=0 平行,则它们之间的距离为________。 (2)已知直线l与直线l₁:2x-y+3=0和 l₂:2x-y-1=0的距离相等,则直线l的方 程为________。 解 (1)由题意,得,∴m=2,∴6x+ 2y-1=0。将直线方程3x+y-3=0化为 6x+2y-6=0。由两条平行直线间的距离 公式,得。 (2)设直线l的方程为2x-y+C=0,由题意 得,解得C= 1,∴直线l的方程为2x-y+1=0。 体验距离 直线 过点 𝐴(0,1), 直线 过点 𝐵(5,0), , 到 的距离为 5, 求 ,的 方程。 析： 直线 且 到 的距离是 5, 即点 𝐴(0,1) 到直线 的距离是 5, 从而可以求出 直线的斜率, 特别要注意直线的斜率不存在 时是否成立。 若 的斜率存在, 设直线的斜率 为 , 由斜截式得 的方程为 , 即 , 由点斜式可得 的方程为 , 即 , 则点 到直线 的距离 , 所以 , 所以 , 所以 的方程为 , 的方程为 。 体验距离 直线 过点 𝐴(0,1), 直线 过点 𝐵(5,0), , 到 的距离为 5, 求 ,的 方程。 析： 直线 且 到 的距离是 5, 即点 𝐴(0,1) 到直线 的距离是 5, 从而可以求出 直线的斜率, 特别要注意直线的斜率不存在 时是否成立。 （2）若 的斜率不存在, 则 的方程为 , 的方程为 , 它们之间的距离为 , 同样满足条件。综上, 满足条件的直线方 程有两组: 目标三 ：点到直线距离公式应用 特别提醒 点到直线的距离公式主要有以下几个方面的应用: (1)已知一点P(x,yo),求点P到直线的距离。 (2)已知点到定直线的距离,求点的坐标。 (3)求点P到过点A的直线的距离为d时直线的 方程,其做法为:①过点A的直线的斜率不存在 时,验证其是否成立;②过点A的直线的斜率存 在时,设直线的斜率为k,得出直线的点斜式方 程,化为一般式方程后写出点P到该直线的距离 后解方程求斜率,最后写出直线的方程。 (4)已知三角形的三个顶点的坐标求三角形的面 积,其做法是:以已知两点为底边端点,求出这一 边的长,利用两点式方程写出这一边所在直线的 方程,再求另一个顶点到这条直线的距离,这个 距离就是三角形该底边上的高。 (5)求已知四个顶点的平行四边形的面积,以平 行四边形ABCD的一边AB为底边,求|AB|及直 线AB的方程,再求点C(或点D)到直线AB的距 离d,则该平行四边形的面积S= |AB|d。 (6)已知点到直线的距离,求直线方程。 应用距离 已知直线l₁:x-2y+3=0与直线l₂:2x+ 3y-8=0的交点为M。 (1)求过点M且与直线l₃:3x-y+1=0平 行的直线的方程; (2)若直线l’过点M,且点P(0,4)到的距 离为,求直线l’的方程。 答 (1)联立 解得M(1,2), 所以过点M且与直线l₃平行的直线方程为 y-2=3(x-1),整理得3x-y-1=0。所以 直线的方程为3x-y-1=0。 (2)当斜率不存在时,不符合题意;当斜率存 在时,设l’的方程为y-2=k(x-1),即kx- y+2-k=0。 由题意得 = 整理得 4k² - 4k + 1 = 0, 解得 k = 所以所求直线 l’ 的方程为 x - 2y + 3 = 0。 目标四 ：与距离有关的最值问题 特别提醒 根据题目条件求距离的最大值及最小值是解析 几何的一个重要问题,解决此类问题主要有两种 方法: (1)代数法:把距离表示为某个变量的函数,转化 为函数的最值问题; (2)几何法:由几何图形指出哪种状态下有最大、 最小值,进而研究这种状态下得到的最大、最小 值是多少。 距离相关最值 两条相互平行的直线分别过点A(6,2), B(-3,-1),并且各自绕点A,B旋转,如果 两平行线间的距离为d,求: (1)d的取值范围; (2)当d取最大值时两直线的方程。 答(1)当两直线的斜率不存在时,两直线 方程分别为x=6,x=-3,则d=9。 当两直线的斜率存在时, 设两直线方程分别为y-2=k(x-6)与y+ 1=k(x+3), 即两直线方程为kx-y+2-6k=0,kx - y + 3k-1=0, 所以d=由此可得(81-d²) k²-54k+9=0。当 81 -d =0,即d = 9 时,k = -3,所以d=9 成立。 距离相关最值 两条相互平行的直线分别过点A(6,2), B(-3,-1),并且各自绕点A,B旋转,如果 两平行线间的距离为d,求: (1)d的取值范围; (2)当d取最大值时两直线的方程。 当d≠9时,由k∈R,可得△= (-54)²-4(81-d²)(9-d²)≥0,即d⁴- 90d²≤0,又两直线平行,所以d≠0,所以0< d≤且d≠9。综上所述,d∈(0, ]。 (2)由(1)知d的最大值为,此时,k= -3。故两直线方程分别为3x+y-20 = 0 和3x+y+10=0。 距离相关最值 两条相互平行的直线分别过点A(6,2), B(-3,-1),并且各自绕点A,B旋转,如果 两平行线间的距离为d,求: (1)d的取值范围; (2)当d取最大值时两直线的方程。 若从几何背景考虑,易知分别过A,B的一切 平行线的距离不超过A,B两点间的距离|AB|, 当且仅当两平行直线与直线AB垂直时,两平行线 间距离等于|AB|,故dmax = 3,此时,k×2+1=1,即k=-3。可见,借 助几何背景常可得到简捷解法。 目标五 ：不可忽略斜率是否存在 斜率存在与否 已知直线 𝑙 经过点 𝑃(3,1) 且被两条平行直线 :𝑥+𝑦+1=0 和 :𝑥+𝑦+6=0 截得的线段长为 5，求直线 𝑙 的方程。 错解 设直线 的方程为 ， 且设直线 与直线 和 的交点分别为 。 解方程组 得 ； 解方程组 得 。 由 ，得 ， 解得k=0,即所求直线的方程为y=1。 斜率存在与否 已知直线 𝑙 经过点 𝑃(3,1) 且被两条平行直线 :𝑥+𝑦+1=0 和 :𝑥+𝑦+6=0 截得的线段长为 5，求直线 𝑙 的方程。 错因分析,未考虑直线1的斜率不存在的情况, 从而漏掉一解。 正解①当直线的斜率不存在时,直线的方 程为x=3,此时1与直线1,4的交点分别为 Α’ (3, 4), Β’ (3,-9),截得的线段长|A’B’| = |-4+9|=5,符合题意。 ②当直线的斜率存在时,设直线的方程为 y-1=k(x-3),且设直线与直线和的交 点分别为A,B。解方程组得A(, );解方程组 ,得 B(, )。由 ,得 () + () = ,解得 ,即所求直线的方程为 。 综合①②,所求直线的方程为 或 。 目标六：求两条平行直线之间的距离时忽略公 式的使用条件 系数不统一 两条平行直线3x-2y-1=0和6x-4y+3=0 间的距离是( )。 A. B C. D. 错解由两条平行直线之间的距离公式得d= 。故选B。 解析 由 ，得 。所以两平行直线之间的距离 。故选 A。 目标七：针对训练 举一反三 1.点到直线的距离是( ) A. B. C. D. 解析: 因为点 到直线 的距离公式为 ，所 以 . 故选 B. 举一反三 2.已知，两点到直线的距离相等，则 A. B. C. 或 D. 或 解析：点 到直线 的距离为， 点 到直线 的距离为， 由题意得，解得或.故选：C. 举一反三 3.直线与直线之间的距离为( ) A. B. C. D. 解析：直线化为，所以直线与直线之间的距离为.故选B. 举一反三 4.若直线 经过点 ，且点 ， 到它的距离相等，则 的方程为() A. B. C. 或 D. 或 解析：根据题意，分情况讨论可得： ①当两个点，在所求直线的异侧时，即过线段的中点. 由于直线又经过，此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为； ②当，在所求直线同侧时，直线与所求的直线平行，又因为 ，所以所求的直线斜率为，由于直线又经过，直 线方程为，化简得：，综上，满足条件的直线为 或，故选：C. 目标八：小结 学海拾贝 1. 核心知识梳理 一是点到直线的距离：几何本质是定点到直线垂线段的长度，核心公式为已知点，直线l:Ax+By+C=0（A、B不同时为0），距离，公式中绝对值保证距离为非负数，分母为直线法向量的模长。二是两条平行直线间的距离：本质是一条直线上任意一点到另一条直线的距离，使用公式前必须将两条直线方程化为系数完全相同的一般式，再代入公式计算。 学海拾贝 3. 易错点提醒 使用公式时，直线必须化为标准一般式Ax+By+C=0；计算平行线间距时，务必统一两条直线(x、y)的系数，否则会出现计算错误；公式适用于所有直线，无斜率存在与否的限制，弥补了几何作图、斜率计算的局限性。 2. 思想方法总结 本节课公式推导主要运用了数形结合思想，将几何距离问题转化为代数坐标运算；运用化归转化思想，将平行线间距问题转化为点到直线的距离问题；同时通过特殊直线、特殊点推导一般公式，体现了由特殊到一般的探究方法，这也是解析几何学习的核心思维。 学海拾贝 4. 知识延伸 本节课的距离公式是后续学习圆的切线、直线与圆的位置关系、圆锥曲线距离问题的基础，是平面解析几何的核心工具，后续我们会持续运用本节课知识解决更复杂的几何综合问题。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $