2.2 直线及其方程 2.2.4 点到直线的距离 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本同步练习围绕“点到直线的距离”，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，构建从公式直接应用到复杂情境推理的知识巩固路径，培养数学运算、几何直观与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|点到直线距离公式直接应用|如第1题用法向量求直线方程后计算距离，第4题验证点到直线距离，强化公式记忆| |综合应用|距离公式与直线位置关系综合|如第5题结合直线交点求满足距离条件的直线条数，第7题多选题分类讨论两点等距直线，提升运算能力| |创新拓展|距离最值、新定义及实际情境应用|如第12题新定义有向距离辨析逻辑推理，第16题在直线上求点使距离和差最值，发展模型观念与创新意识|

2.2.4　点到直线的距离 1.D　[解析] 由题意可得直线l的方程为x-2y-1=0,所以原点O到直线l的距离为=.故选D. 2.C　[解析] 到直线3x-4y-1=0的距离为2的直线与直线3x-4y-1=0平行,设所求直线方程为3x-4y+C=0,则=2,解得C=9或C=-11.故选C. 3.C　[解析] 因为A(-3,-4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,所以=,即|-3a-3|=|6a+4|,化简得27a2+30a+7=0,解得a=-或a=-.故选C. 4.C　[解析] 设到直线l的距离为的点的坐标为(a,b),则=,即a+2b=6或a+2b=-4,选项中符合条件的坐标为(4,1).故选C. 5.A　[解析] 依题意,设经过直线l1,l2交点的直线l的方程为2x+3y-8+λ(x-2y+3)=0(λ∈R),即(2+λ)x+(3-2λ)y+3λ-8=0.由题意得=2,化简得5λ2-8λ-36=0,解得λ=-2或λ=,代入得直线l的方程为y=2或4x-3y+2=0,所以满足条件的直线l有2条.故选A. 6.D　[解析] 由λx+y-2λ+1=0得λ(x-2)+y+1=0,令x-2=0,y+1=0,解得x=2,y=-1,故直线λx+y-2λ+1=0恒过定点P(2,-1).记点(3,2)为点Q,当直线PQ与直线λx+y-2λ+1=0垂直时,点Q(3,2)到直线λx+y-2λ+1=0的距离取得最大值,最大值为|PQ|==.故选D. 7.AB　[解析] 设所求直线的方程为y-4=k(x-3),即kx-y-3k+4=0,由题知=,解得k=2或k=-,故所求直线方程为2x+3y-18=0或2x-y-2=0.故选AB. 8.(-1,1)∪(1,3)　[解析] 由题易知a≠1,因为l1与l2之间的距离小于1,所以<1,解得-1<a<3,所以a的取值范围为(-1,1)∪(1,3). 9.1　[解析] 设点A(m,n),B(a,b),直线l1:3x+4y=6,直线l2:3x+4y=1.由题意知点A(m,n)在直线l1:3x+4y=6上,点B(a,b)在直线l2:3x+4y=1上,|AB|=,由l1∥l2,得|AB|min==1. 10.解:(1)由解得所以直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点为(2,1). 当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0, 则点A(5,0)到直线l的距离为=3,解得k=,所以直线l的方程为4x-3y-5=0; 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x-2=0, 点A(5,0)到直线l的距离为|5-2|=3,满足题意. 综上所述,直线l的方程为x-2=0或4x-3y-5=0. (2)因为所求直线与直线m:x-y-2=0平行, 所以设所求直线的方程为x-y+λ=0(λ≠-2), 又所求直线与直线m:x-y-2=0之间的距离为2, 所以=2,解得λ=2-2或λ=-2-2,所以所求直线方程为x-y+2-2=0或x-y-2-2=0. 11.A　[解析] 直线l的方程mx+y-m-1=0可化为m(x-1)+y-1=0,由可得所以直线l过定点A(1,1).当AP⊥l时,点P(-2,-1)到直线l:mx+y-m-1=0的距离最大,最大值为|AP|==.因为kAP==,直线l的斜率为-m,所以此时×(-m)=-1,解得m=,所以此时直线l的方程为x+y--1=0,即3x+2y-5=0.故选A. 12.ABC　[解析] 设点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则d1=,d2=.对于A,若d1-d2=0,则=,所以Ax1+By1+C=Ax2+By2+C,当d1=d2=0时,Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0,此时点P1,P2都在直线l上,即此时直线P1P2与直线l重合,故A为假命题;对于B,C,由A知,当d1=d2=0时,满足d1+d2=0,但此时直线P1P2与直线l重合,故B,C均为假命题;对于D,若d1·d2<0,则·<0,即(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0,所以点P1,P2分别位于直线l的两侧,所以直线P1P2与直线l相交,故D为真命题.故选ABC. 13.4　[解析] 如图,作点O关于直线x+y=4的对称点C,连接PO,PC,则|PO|=|PC|.设C(x1,y1),则解得所以C(4,4).因为P(x0,y0),所以=|PO|=|PC|,又x0≥0,y0≥0,所以点P到y轴的距离为x0,所以x0+可视为x+y=4上的点P(x0,y0)到y轴的距离与到点C的距离之和.过点P作PD⊥y轴,垂足为D,显然有|PD|+|PC|≥|CD|,当且仅当C,P,D三点共线时取等号.过点C作CH⊥y轴,垂足为H,则|CD|≥|CH|,等号成立时点P与点H重合.又|CH|=4,所以x0+的最小值为4. 14.解:(1)因为A(1,1),B(2,3),所以kAB==2, 所以直线AB的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,|AB|==. (2)点C(3,2)到直线AB的距离d==, 所以S△ABC=|AB|d=××=,即三角形ABC的面积为. (3)显然∠ABC的平分线所在直线的斜率存在,设∠ABC的平分线所在直线的斜率为k, 则所求直线方程为y-3=k(x-2),在角平分线上取不同于B的一点P(1,3-k). 因为B(2,3),C(3,2),kBC==-1, 所以直线BC的方程为y-2=-(x-3),即x+y-5=0. 由角平分线性质可知点P到直线AB,BC的距离相等, 所以=,即k2+6k-1=0,解得k=-3±. 如图,由图形观察可知k=-3+为外角平分线的斜率, k=-3-为内角平分线的斜率,所以∠ABC的平分线所在直线的方程为y=(-3-)x+9+2. 15.C　[解析] 设点P(x,y)为直线x+y=0上的动点,+=+,则其几何意义为点P到点(1,1)的距离与点P到点(2,0)的距离之和.设点M(1,1),N(2,0),则点M关于直线x+y=0的对称点为点M'(-1,-1),所以|PM|=|PM'|,且|M'N|==,所以+=|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|M'N|=,当且仅当P,M',N三点共线时取等号,所以+的最小值为.故选C. 16.解:(1)因为A,B在直线l的同侧,所以直线AB与直线l的交点即为所求的点P. 直线AB的方程为=, 即3x-y+8=0,由解得所以所求点P的坐标为(-9,-19). (2)设点B关于直线l的对称点为B'(m,n), 则解得 则B',所以直线AB'的方程为27x+19y+16=0. 由解得所以所求点P的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.4　点到直线的距离 1.已知直线l的一个法向量为n=(1,-2),且直线l经过点P(1,0),则原点O到直线l的距离为 (　 ) A. B. C. D. 2.到直线3x-4y-1=0的距离为2的直线的方程是 (　 ) A.3x-4y-11=0 B.3x-4y+11=0 C.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0 D.3x-4y+11=0或3x-4y+9=0 3.[2025·安徽马鞍山二中高二期中] 已知A(-3,-4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则a的值为 (　 ) A. B.- C.-或- D.或- 4.下列选项中,到直线l:x+2y-1=0的距离为的点的坐标是 (　 ) A.(-1,0) B.(-1,3) C.(4,1) D.(6,-2) 5.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l有 (　 ) A.2条 B.3条 C.1条 D.0条 6.点(3,2)到直线λx+y-2λ+1=0的距离的最大值为 (　 ) A.10 B. C.4 D. 7.(多选题)已知直线l过点P(3,4)且点A(-2,2),B(4,-2)到直线l的距离相等,则直线l的方程可以是 (　 ) A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0 D.2x-y+2=0 8.已知直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+a=0之间的距离小于1,则a的取值范围是　　　　　　.  9.已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则的最小值为　　　　.  10.(13分)(1)已知直线l经过直线2x+y-5=0和x-2y=0的交点,且A(5,0)到l的距离为3,求直线l的方程; (2)求与直线m:x-y-2=0平行且与m之间的距离为2的直线方程. 11.[2026·四川内江高二期末] 当点P(-2,-1)到直线l:mx+y-m-1=0的距离最大时,其最大值以及此时的直线l的方程分别为 (　 ) A.;3x+2y-5=0 B.;3x+2y-5=0 C.;2x-3y+1=0 D.;2x-3y+1=0 12.(多选题)定义点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的有向距离d=.已知点P1,P2到直线l的有向距离分别为d1,d2,给出以下命题,其中为假命题的是 (　 ) A.若d1-d2=0,则直线P1P2与直线l平行 B.若d1+d2=0,则直线P1P2与直线l平行 C.若d1+d2=0,则直线P1P2与直线l垂直 D.若d1·d2<0,则直线P1P2与直线l相交 13.在平面直角坐标系xOy中,动点P的坐标为(x0,y0)(x0≥0,y0≥0),若点P在直线x+y=4上,则x0+的最小值为　　　　.  14.(15分)在平面直角坐标系内,点A(1,1),B(2,3),C(3,2). (1)求直线AB的方程和线段AB长度; (2)求三角形ABC的面积; (3)求∠ABC的平分线所在直线的方程. 15.[2025·福建莆田五中高二月考] 已知x+y=0,则+的最小值为 (　 ) A. B.2 C. D.2 16.(15分)已知A(-2,2),B(-3,-1),试在直线l:2x-y-1=0上求一点P,使得: (1)||PA|-|PB||最大; (2)|PA|+|PB|最小. 学科网（北京）股份有限公司 $