2.2.4 点到直线的距离-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离公式，从立定跳远实际问题导入，通过向量法推导公式，结合例题应用公式求点到直线距离、三角形高，延伸到平行线距离及最值问题，构建从实际到理论再到应用的学习支架。 以生活情境培养数学眼光，向量法推导提升逻辑推理与数学运算素养，例题涵盖基础与动态问题，数形结合解决最值。课中辅助教师清晰授课，课后跟踪训练帮助学生巩固公式应用，查漏补缺。

2．2.4　点到直线的距离 新课导入 学习目标 立定跳远是指不带助跑的原地跳远，是在两腿蹬伸、上体伸展、两臂用力摆动情况下，使身体腾起并获得远度的跳跃项目，是《国家体育锻炼标准》项目之一．立定跳远测量的是什么距离？ 1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，提升数学运算与逻辑推理素养． 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用． 3.掌握两条平行直线之间的距离公式，并会应用． 思考　向量是解决距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点P到直线l的最短距离呢？ [提示]　由题图知，可以看作在直线l的垂线上的投影向量，求出的模即可． [知识梳理] 1．定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度． 2．图示： 3．公式：d＝． [例1] (1)点M(1，2)到直线3x＋4y－6＝0的距离为(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 (2)(对接教材例1)已知△ABC的三个顶点A(－2，1)，B(2，13)，C(5，12)，则AB边上的高为________． 【解析】　(1)点M(1，2)到直线3x＋4y－6＝0的距离d＝＝1. (2)kAB＝＝3，则直线AB的方程为y－1＝3(x＋2)，即3x－y＋7＝0，则点C(5，12)到直线AB的距离为＝，则AB边上的高为. 【答案】　(1)D　(2) (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点P(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. [跟踪训练1] (1)点P(－1，1)到直线l：y＝－x的距离为(　　) A． B． C． D．1 解析：选A.点P到直线l：3x＋4y＝0的距离d＝＝.故选A. (2)(2026·盐城期中)已知点(a，1)(a<0)到直线l：3x＋4y＋5＝0的距离为3，则a＝(　　) A．－2 B．－8 C．－2或－8 D．2 解析：选B.由点到直线的距离公式得3＝，即|3a＋9|＝15，又a<0，所以a＝－8. (3)已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为________________________________________． 解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2； 当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0， 由＝2， 得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0. 综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0. 答案：x＋2＝0或5x＋12y－26＝0 思考　已知两条平行直线l1，l2，从l1上任取两点分别求到l2的距离，两个距离有什么关系？ [提示]　相等． [知识梳理] 1．定义：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． 2．图示： 3．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝(A2＋B2≠0). [例2] (对接教材例2)(1)(多选)(2026·连云港期中)下列直线与直线l：x－y＋1＝0平行，且与它的距离为2的是(　　) A．x－y＋5＝0 B．x－y－5＝0 C．x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0 (2)已知直线l1：3x＋ay＋4＝0与直线l2：3x＋4y－1＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离是________． 【解析】　(1)由题意，设与直线x－y＋1＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，m≠1， 由两平行直线间的距离公式可得d＝＝2，解得m＝5或m＝－3， 故所求直线方程为x－y＋5＝0或x－y－3＝0. (2)由于l1∥l2，所以3×4＝3a， 所以a＝4，故l1：3x＋4y＋4＝0， 所以l1与l2之间的距离d＝＝1. 【答案】　(1)AC　(2)1 求两条平行直线间的距离的两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接利用两平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离公式． 注意　使用两条平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为一般式；二是两直线方程中x，y的系数分别相同． [跟踪训练2] (1)(多选)已知两条平行直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－y＋m＝0之间的距离小于，则实数m的值可能为(　　) A．0 B．1 C．2 D．－1 解析：选AC.直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－y＋m＝0平行，则m≠1，两条平行直线间距离<，解得－1<m<3且m≠1，故0和2符合要求. (2)(2026·榆林期中)已知平行直线l1：2x＋y＋n＝0与l2：4x＋my－4＝0之间的距离为，则实数m＋n＝________． 解析：因为l1与l2平行，所以2×m＝1×4，得m＝2，则l2：2x＋y－2＝0， 所以＝，得n＝1或n＝－5，所以m＋n＝3或m＋n＝－3. 答案：－3或3 [例3] (1)已知点(x0，y0)为直线x＋2y＋6＝0上任意一点，则的最小值是(　　) A． B．2 C． D． (2)已知两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B同时旋转(旋转过程两条直线保持平行)，设两条平行直线间的距离为d. ①求d的取值范围； ②当d取最大值时，求两条直线的方程． 【解】　(1)选C.因为点(x0，y0)为直线x＋2y＋6＝0上任意一点，又的几何意义为直线上的点到(－1，0)的距离，故最小值为(－1，0)到直线的距离，即最小值为＝，故选C. (2)①如图所示，显然有0＜d≤|AB|， 而|AB|＝＝3， 故d的取值范围为(0，3 ]. ②当d取最大值时，两条平行直线都垂直于线段AB，所以k＝－＝－＝－3， 故所求直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. (1)解决最值问题的关键是理解式子所表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． [跟踪训练3] (1)(2026·泰州期中)直线l1：3x－4y＋2＝0与l2：3x－4y－5＝0上各有一动点P，Q，那么|PQ|的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由直线l1：3x－4y＋2＝0与l2：3x－4y－5＝0，＝≠，所以l1∥l2. 所以|PQ|的最小值就是两条平行线间的距离d＝＝. (2)若点P(－2，－1)到直线l：(1＋2λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离取最大值时，则λ＝________． 解析：直线方程可化为λ(2x＋y－4)＋(x＋y－2)＝0， 令解得 所以直线恒过点(2，0)， 设为点A，即A(2，0)， 此时|PA|为点P到直线l的最大距离，且PA⊥l，所以kPA＝， 由斜率关系可得－·＝－1，解得λ＝－. 答案：－ 1．(教材P100练习AT2改编)到直线l：x＋2y－1＝0的距离为的点的坐标是(　　) A．(－1，0) B．(－1，3) C．(4，1) D．(6，－2) 解析：选C.设到直线l的距离为的点的坐标为(a，b)，则由点到直线的距离公式得d＝＝，解得a＋2b＝6或a＋2b＝－4.选项中符合条件的点为(4，1). 2．(2026·武汉期中)已知直线l过定点(0，m)，点A(4，3)到直线l的距离的最大值为5，则实数m＝(　　) A.0或6 B．－1或7 C．6 D．7 解析：选A.设定点B(0，m)，则点A(4，3)到直线l的距离的最大值为|AB|＝＝5，解得m＝0或m＝6. 3．(教材P102T9改编)若直线l1: 2x＋6y＋m＝0(m＞0)与直线l2: x＋3y－3＝0间的距离为，则m＝________ . 解析：直线l2：x＋3y－3＝0变形为2x＋6y－6＝0, 因为l1∥l2，所以直线l1与直线l2间的距离为＝，解得m＝14或m＝－26.因为m＞0，所以m＝14. 答案：14 4．已知直线l1：2x＋3y＋18＝0，l2：2x＋3y－8＝0，在l1上任取一点A，在l2上任取一点B，过线段AB的靠近点B的三等分点作l2的平行线l3. (1)求直线l1与l2之间的距离； (2)求直线l3的方程． 解：(1)易知l1与l2平行，所以两平行直线l1与l2之间的距离d＝＝2. (2)由l3与l2平行，可设l3的方程为2x＋3y＋C＝0(－8<C<18). 由题意知l3与l1之间的距离为，所以有＝，解得C＝或C＝(舍去)， 所以直线l3的方程为6x＋9y＋2＝0. 1．已学习：点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式及其应用． 2．须贯通：应用距离公式解决问题时，利用数形结合思想． 3．应注意：(1)在应用点到直线的距离公式时，直线应使用一般式方程； (2)在应用两平行直线间的距离公式时，两直线方程必须是系数相同的一般式方程． 学科网（北京）股份有限公司 $