2.2.4点到直线的距离（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦点到直线的距离核心知识点，以两点间距离公式为基础，延伸至点到直线距离公式、平行直线间距离公式，进而拓展到对称问题（中心对称、轴对称），构建递进式知识支架。 资料通过14类题型（如三角形形状判断、函数最值、光线反射、将军饮马）及“即学即练”变式训练，培养数学思维的推理与运算能力，结合实际问题（如将军饮马）发展数学眼光的几何直观，以规范表达强化数学语言，课中助力分层教学，课后便于查漏补缺。

2.2.4 点到直线的距离 教学目标 1.理解并掌握平面上点到直线的距离公式。 2.会求两条平行直线间的距离。 教学重难点 1.重点 点到直线的距离公式，两条平行直线之间的距离。 2.难点 点到直线的距离公式的推导过程。 知识点01 两点间距离 1.距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为： 2.三种特殊距离： （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，。 【即学即练】 （25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 知识点02 点到直线的距离 1.定义：点到直线的垂线段的长度. 2.距离公式：点到直线的距离. 【注意】①直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. ②点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离； ③点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0. 【即学即练】 （25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 知识点03 两条平行线之间的距离 1.距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程中和的系数对应相等。 2.两平行线间的距离另外一种解法： 转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点）， 此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。 【即学即练】 （25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 知识点04 对称问题 1.中心对称 （1）点关于的对称点满足； （2）直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决。 2.轴对称 （1）点关于直线的对称点为，则有； （2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决。 【即学即练】 （24-25高一上·四川自贡·阶段检测）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 题型01 求平面两点间的距离 【典例1】（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（25-26高三上·江苏南通·期中）（多选）设，点，，若，则直线AB的斜率可能为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【变式3】（25-26高二上·天津静海·期中）点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．7 题型02 由顶点坐标判断三角形的形状 【典例1】（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式1】（25-26高二上·北京昌平·期中）已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【变式2】（25-26高二上·广西玉林·期中）已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【变式3】（2025高二上·全国·专题练习）已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 题型03 用两点间距离公式求函数的最值 【典例1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 【变式1】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·北京·期中）已知两点，动点在线段上运动，则的取值范围是__________，的取值范围是__________. 【变式4】（25-26高二上·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 题型04 求点到直线的距离 【典例1】（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广东惠州·期中）对于直线，有以下说法，其中正确的是（   ） A．倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到直线的距离为2 D．直线的一个方向向量为 【变式2】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【变式3】（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A．直线MN的倾斜角为 B．点到直线的距离为1 C．点在直线上 D．直线与直线MN平行 【变式4】（25-26高二下·广西钦州·开学考试）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 题型05 直线围成图形的面积问题 【典例1】（25-26高二上·北京·期中）已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 【变式1】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知，、、，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在的直线的方程； (3)三角形的面积. 【变式2】（24-25高二上·北京·期中）已知点、、，点是线段的中点，，垂足为. (1)求直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的面积. 【变式3】（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．点在直线上 B．在轴上的截距为 C．与坐标轴围成的三角形的面积为 D．直线到的距离为 题型06 已知点到直线的距离求参数 【典例1】（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【变式1】（2025·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【变式2】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】（25-26高二上·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【变式4】（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 题型07 求到两点距离相等的直线方程 【典例1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【变式1】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26高二上·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3】（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【变式4】（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 题型08 求平行线间的距离 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【变式3】（25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 题型09 由距离求已知直线的平行线 【典例1】（江苏省连云港市东海县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二·全国·寒假作业）（多选）到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 题型10 求点关于直线的对称点 【典例1】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【变式2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 【变式3】（25-26高二上·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 题型11 求直线关于点的对称直线 【典例1】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【变式1】（素养拓展02直线中的对称问题（思维导图 5大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【变式2】（25-26高二上·江西景德镇·期中）（多选）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 【变式3】（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（ ） A．直线的倾斜角为 B．点在同一条直线上 C．直线关于点对称的直线方程是 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 题型12 求直线关于直线的对称直线 【典例1】（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【变式3】（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 题型13 光线的反射问题 【典例1】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【变式1】（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·河南·期末）在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 题型14 将军饮马问题 【典例1】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【变式3】（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 1.（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 2.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 3．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 4．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5.（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 6．（25-26高二上·河北·阶段检测）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 8．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为－1 D．点关于直线的对称点坐标为 9．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）（多选）已知直线，则（   ） A．的倾斜角为 B．与两坐标轴围成的三角形面积为 C．原点O到的距离为1 D．原点O关于的对称点为 10．（25-26高二上·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 11．（25-26高二下·上海·阶段检测）直线与直线间的距离为__________. 12．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 13．（2026高一上·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 14．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 15．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 1．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 2.（25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 3.（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）函数的最大值是__________. 4.（25-26高一下·海南海口·阶段检测）（多选）如图，在中，，，，点，分别是和边的中点，，分别与交于，两点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知，则的最大值是___________. 6．（25-26高二上·新疆喀什·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.4 点到直线的距离 教学目标 1.理解并掌握平面上点到直线的距离公式。 2.会求两条平行直线间的距离。 教学重难点 1.重点 点到直线的距离公式，两条平行直线之间的距离。 2.难点 点到直线的距离公式的推导过程。 知识点01 两点间距离 1.距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为： 2.三种特殊距离： （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，。 【即学即练】 （25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【答案】C 【分析】由两点间距离公式即可求解. 【详解】由两点间距离公式可得. 故选：C 知识点02 点到直线的距离 1.定义：点到直线的垂线段的长度. 2.距离公式：点到直线的距离. 【注意】①直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. ②点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离； ③点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0. 【即学即练】 （25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 【答案】 【详解】点到直线的距离是. 知识点03 两条平行线之间的距离 1.距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程中和的系数对应相等。 2.两平行线间的距离另外一种解法： 转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点）， 此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。 【即学即练】 （25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【分析】利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】. 知识点04 对称问题 1.中心对称 （1）点关于的对称点满足； （2）直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决。 2.轴对称 （1）点关于直线的对称点为，则有； （2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决。 【即学即练】 （24-25高一上·四川自贡·阶段检测）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 题型01 求平面两点间的距离 【典例1】（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】应用两点的距离公式求距离即可. 【详解】由题意. 故选：C 【变式1】（25-26高三上·江苏南通·期中）（多选）设，点，，若，则直线AB的斜率可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由两点间距离公式、斜率公式即可求解. 【详解】设，点，，若，所以， 所以直线AB的斜率可能为或. 故选：AD. 【变式2】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【分析】利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 【变式3】（25-26高二上·天津静海·期中）点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线过定点坐标，记点，点，求出，即可得解. 【详解】直线，即， 令，解得，所以直线恒过点， 不妨记点，点， 又，， 当直线与垂直时点到直线的最大距离，最大距离为， 此时，解得，符合题意； 故选：B 【变式4】（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】B 【详解】因为点表示数，所以，由，得， 点表示数，向右平移个单位后，点表示的数为， 所以，解得或， 又因为、在原点两侧，所以，故舍去，即可得. 题型02 由顶点坐标判断三角形的形状 【典例1】（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】分别求出三条直线的斜率以及的坐标，进而可得出三条直线的位置关系及三角形三边之间的大小关系，即可得解. 【详解】由题意得， 所以， 所以，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则， 所以， 所以是以为直角顶点的等腰直角三角形. 故选：A． 【变式1】（25-26高二上·北京昌平·期中）已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 【变式2】（25-26高二上·广西玉林·期中）已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【答案】(1) (2) 法一：由题设可知：直线的斜率为：， 直线的斜率为：， ， ， 所以是直角三角形. 法二：由题设可知：， ， ， ， ， 所以是直角三角形. 【分析】（1）由平行关系求得斜率，再由点斜式即可求解； （2）法一：由斜率关系即可求证；法二：由勾股定义即可求解. 【详解】（1）由题设可知：直线的斜率； ∴直线的方程为：， ∴直线的一般式方程为：. （2）略 【变式3】（2025高二上·全国·专题练习）已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 【答案】是等腰直角三角形，. 【分析】根据两点间的距离公式求出的三边的长，然后根据三边的关系判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式求三角形的面积． 【详解】解法一  因为， ， 又， 所以，且， 所以是等腰直角三角形， ． 解法二  因为，， 则， 所以． 又， ， 所以， 所以是等腰直角三角形， ． 题型03 用两点间距离公式求函数的最值 【典例1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据代数式的几何意义作图求解. 【详解】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 【变式1】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【变式2】（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 【变式3】（25-26高二上·北京·期中）已知两点，动点在线段上运动，则的取值范围是__________，的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分析可知表示动点与定点之间连线的斜率，结合斜率公式分析求解即可；表示动点与定点之间距离的平方，结合相关距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：直线的方程为，即，    因为表示动点与定点之间连线的斜率，即， 且，，可得或， 所以的取值范围是； 又因为表示动点与定点之间距离的平方，即， 可知点到直线的距离为， 且，，可得，即， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 【变式4】（25-26高二上·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式，结合几何意义求出的最小值；变形，再利用几何意义求出其最小值. 【详解】由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当重合时取等号， 所以的最小值为；    由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当为线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：； 题型04 求点到直线的距离 【典例1】（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·广东惠州·期中）对于直线，有以下说法，其中正确的是（   ） A．倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到直线的距离为2 D．直线的一个方向向量为 【答案】C 【分析】先求直线的斜率，进而得倾斜角即可判断A，令，求出即可判断B，利用点到直线的距离公式即可判断C，由斜率得直线的一个方向向量即可判断D. 【详解】由有：，所以，设倾斜角为， 所以，所以，故A错误； 令，解得，所以在轴上的截距为，故B错误； 由原点到直线的距离为：，故C正确； 因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故D错误. 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 【变式3】（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A．直线MN的倾斜角为 B．点到直线的距离为1 C．点在直线上 D．直线与直线MN平行 【答案】AB 【分析】A求出直线斜率，根据斜率和倾斜角的关系求出；B利用点到直线的距离公式；CD将点坐标代入直线中即可判断. 【详解】由题意得，直线的斜率为， 设直线MN的倾斜角为，则，得，故A正确； 点到直线的距离为，故B正确； 因为，所以点不在直线上，故C错误； 直线的斜率为1，与直线的斜率相等， 将点代入直线，有，说明点在该直线上， 因此，直线与直线为同一条直线（重合），而非平行，故D错误. 故选：AB 【变式4】（25-26高二下·广西钦州·开学考试）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据条件得到，令，可得，即可求解. 【详解】因为坐标原点到直线的距离为，则，整理得到， 令，则，其中， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 题型05 直线围成图形的面积问题 【典例1】（25-26高二上·北京·期中）已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出边上的中点的坐标，即可求出，再由点斜式计算可得； （2）求出，即可求出所求直线方程； （3）首先求出所在直线方程，再求出点到的距离，以及，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以边上的中点，又，所以， 所以边上的中线所在的直线方程为，即； （2）因为， 所以过点且与直线平行的直线的方程为，即； （3）依题意直线的方程为，即， 所以点到的距离， 又， 所以. 【变式1】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知，、、，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在的直线的方程； (3)三角形的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，求出线段的两点式方程，化为一般式方程即可； （2）求出直线的斜率，可求出边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式方程可得出所求直线的方程； （3）求出直线的方程，即可求出点到直线的距离，再求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）由题意可知线段的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 因此边上的高所在的直线的方程为，即. （3）直线的方程为，即， ， 点到直线的方程为， 因此，. 【变式2】（24-25高二上·北京·期中）已知点、、，点是线段的中点，，垂足为. (1)求直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，利用两点式可得出直线的方程； （2）求出直线的方程，将直线、的方程联立，即可解得点的坐标； （3）求出、，由可得结果. 【详解】（1）解：因为、，所以的中点为， 所以直线的方程为，即. （2）解：由（1）知，因为，所以， 所以直线方程为，即. 联立，解得，所以点的坐标为. （3）解：因为，， 所以. 【变式3】（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．点在直线上 B．在轴上的截距为 C．与坐标轴围成的三角形的面积为 D．直线到的距离为 【答案】AC 【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；利用截距的定义可判断B选项；求出直线与坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式可判断C选项；利用平行线间的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为直线的方程为，且， 故点在直线上  ，A对； 对于B选项，在直线的方程中，令，可得，所以在轴上的截距为，B错； 对于C选项，在直线的方程中，令，可得， 故直线与坐标轴围成的三角形的面积为，C对； 对于D选项，直线的方程可化为，则直线与直线平行， 所以，直线到的距离为，D错. 故选：AC. 题型06 已知点到直线的距离求参数 【典例1】（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【答案】A 【分析】设直线的方程为，根据所过的点得，再根据点到直线的距离公式求出或. 【详解】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. 【变式1】（2025·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 【变式3】（25-26高二上·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 【变式4】（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 题型07 求到两点距离相等的直线方程 【典例1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. 【变式1】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或. 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·湖北·期中）若，两点到直线的距离相等，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离求解. 【详解】，，直线， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，两点到直线的距离相等， ，， 或，或. 故选：C. 【变式3】（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 【变式4】（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 题型08 求平行线间的距离 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 【变式1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 【变式2】（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 【变式3】（25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用两直线平行的关系和两平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，它们之间的距离是， 所以，解得， 即直线为：，即， 又两条直线之间的距离是， 所以有：，解得：或（舍去）， 所以． 题型09 由距离求已知直线的平行线 【典例1】（江苏省连云港市东海县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 【变式1】（25-26高二·全国·寒假作业）（多选）到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设出该直线方程后，利用平行线间距离公式计算即可得. 【详解】设该直线为， 则有，化简得，则或， 故该直线为或. 故选：AC. 【变式2】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设直线的方程为，由平行线间距离公式即可求解. 【详解】设直线的方程为， 则间的距离， 解得，或， 所以直线的方程为或. 故选：AB. 【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）先求两直线的交点，再分斜率存在与不存在两种情况设直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （2）设平行直线方程，利用两平行直线距离公式列方程求参数，即可得所求直线方程. 【详解】（1）由题意，联立，解得，所以两直线的交点为， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则点到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，成立； 综上所述，直线的方程为或. （2）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线为， 又所求直线到直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或. 题型10 求点关于直线的对称点 【典例1】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设对称点坐标，再利用两个核心条件列方程：一是两点中点在已知直线上，代入得关于对称点坐标的方程；二是两点连线与已知直线垂直，由斜率乘积为-1得另一方程,联立方程组求解，最终得对称点为. 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. 【变式1】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【分析】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果. 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用轴对称的意义列式求解. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标为. 故答案为： 【变式3】（25-26高二上·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 【答案】 【分析】折线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则， 解得，即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：.    题型11 求直线关于点的对称直线 【典例1】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 【变式1】（素养拓展02直线中的对称问题（思维导图 5大题型 综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版）已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【答案】 【分析】分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】在直线上任意取出两个点， 设点C关于对称的点为， 则，解得，所以， 同理可求得关于点对称点为，设， 由题意可得是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 所以所求直线方程为，即． 【变式2】（25-26高二上·江西景德镇·期中）（多选）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 【答案】ABD 【分析】利用点关于直线的对称的性质求解判断A；利用直线关于点对称直线的求法求解以判断B；利用平行求出斜率，再利用点斜式求出直线方程判断C，利用直线垂直的系数关系判断D. 【详解】对于A，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点关于直线的对称点为，正确； 对于B，设直线上的点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，正确； 对于C，直线的斜率为2，所以所求直线的斜率也是2， 则所求直线为，即，错误； 对于D，当时，， 故直线与垂直，正确； 故选：ABD. 【变式3】（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（ ） A．直线的倾斜角为 B．点在同一条直线上 C．直线关于点对称的直线方程是 D．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 【答案】BCD 【分析】A先求斜率，进而可得倾斜角；B利用两点的斜率公式即可判断；C求出直线上的点关于点的对称点，确定对称点横纵坐标关系判断；D根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于A，直线的斜率，结合倾斜角范围知，直线倾斜角为，故错误； 对于B，，，显然所在直线的斜率相同且有共同点，则三点共线，故正确； 对于C，设直线上点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，故正确； 对于D，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两不同点，的直线，故正确. 故选：BCD 题型12 求直线关于直线的对称直线 【典例1】（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用关于直线的对称点为求解. 【详解】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 【变式2】（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 【变式3】（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 题型13 光线的反射问题 【典例1】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是.    故选：B 【变式1】（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 【变式2】（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 【变式3】（25-26高三上·河南·期末）在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 【答案】D 【分析】先求出关于直线和轴的对称点坐标，然后根据对称的性质计算的周长即可. 【详解】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为. 由对称性可知，，， 反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于， 为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上， 否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，四点共线， 则的周长等于. 故选：D. 题型14 将军饮马问题 【典例1】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 【变式1】（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    【变式2】（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【答案】5 【分析】确定点关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点， 则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：， 当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5 【变式3】（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】首先求解点关于直线的对称点，再根据即可求解答案. 【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则． 故答案为： 1.（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【分析】根据两点间的距离公式即可得． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 2.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【答案】或 【分析】由点到直线的距离公式可得. 【详解】点到直线的距离为，所以. 解得，或. 故答案为:或. 3．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 4．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 5.（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 6．（25-26高二上·河北·阶段检测）在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于轴的对称点，则反射光线所在的直线即为直线，求出直线的方程即可. 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 由题意反射光线所在的直线即为直线， ， 所以直线的方程为，即， 即反射光线所在的直线方程为. 故选：A. 7．（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值. 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 8．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为－1 D．点关于直线的对称点坐标为 【答案】AC 【分析】对于A，利用两条直线平行的公式求出的值，利用两平行线间的距离公式求解；对于B，利用两条直线垂直的公式求出的值，利用充分条件和必要条件的定义求解；对于C，求出直线恒过的定点，当直线与垂直时，点到直线的距离最大，利用两条直线垂直的斜率公式求解；对于D，求出过且与直线垂直的直线方程，两条直线方程联立方程组，求出交点坐标，设点关于直线对称点为，利用中点坐标公式求出的坐标. 【详解】解：对于A，由题可得：，解得， 直线，即， 则与的距离为，选项A正确； 对于B，由题可得，，解得或， 则“” 是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 选项B错误； 对于C，直线，即为， 由得，则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时， 点到直线的距离最大， 因为，所以，选项C正确； 对于D，与直线垂直的直线方程的斜率为， 又过， 则过且与直线垂直的直线方程为，即， 联立两直线，解得， 设点关于直线对称点为， 则有，解得，故选项D错误. 故选：AC. 9．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）（多选）已知直线，则（   ） A．的倾斜角为 B．与两坐标轴围成的三角形面积为 C．原点O到的距离为1 D．原点O关于的对称点为 【答案】CD 【分析】对于A：根据直线方程可得斜率，即可得倾斜角；对于B：先求直线与两坐标轴的交点坐标，计算面积即可；对于C：利用点到直线的距离公式运算求解；对于D：设原点关于的对称点为，根据垂直关系以及中点在上，列式求解即可． 【详解】对于A：因为直线的斜率为，设倾斜角为， 则，所以，故A错误； 对于B：因为直线与两坐标轴的交点分别为， 所以与两坐标轴围成的三角形面积为，故B错误； 对于C：原点O到的距离，故C正确； 对于D：设原点O关于的对称点为， 则，解得， 所以原点O关于的对称点为，故D正确， 故选：CD． 10．（25-26高二上·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 11．（25-26高二下·上海·阶段检测）直线与直线间的距离为__________. 【答案】 【分析】根据两平行直线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】直线可化为：，则. 12．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 【答案】/ 【分析】先由两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果． 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 所以直线为，即， 所以它们之间的距离为． 13．（2026高一上·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【答案】5 【分析】由二次根式的几何意义，两点间的距离以及利用轴对称性质求解即可. 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 14．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）因为，故，故或. （2）因为，故，即，故或， 若，则，，此时与重合， 若，故，即， 故直线与之间的距离. 15．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线与的交点，再求直线上关于的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可； （2）分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 1．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 2.（25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 【答案】1 【分析】根据两点间距离公式列出表达式，经整理并换元，令，可将问题转化为求函数（）的最小值. 【详解】由题意可得 ， 令，由于，函数在上单调递增， 故， 则， 由于，在上单调递增，故， 即的最小值为1，故动点与点的距离的最小值是1， 故答案为：1 3.（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）函数的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据题意，的几何意义为点到点与两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可. 【详解】， 在平面直角坐标系中，设点，，. 则，当点在线段的延长线上时，等号成立， ，， 由，有，即，解得， 其中时，，不合题意； 当时， ，满足点在线段的延长线上， 所以时，. 4.（25-26高一下·海南海口·阶段检测）（多选）如图，在中，，，，点，分别是和边的中点，，分别与交于，两点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】以为原点建立直角坐标系，再分别求出各点坐标，利用两点距离公式即可判断选项ABC，再利用三角形面积公式即可判断选项D. 【详解】如图，以为原点建立直角坐标系， 则，又，，， 所以，，，又 点，分别是和边的中点，所以 ，，则直线的方程为 ，直线的方程为， 联立解得，即, 又直线的方程为， 联立解得，即， 选项A．则， ， 所以，A正确. 选项B.，B正确. 选项C.，C错误. 选项D．因为到直线：的距离为 ，所以 ，D正确. 5.（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知，则的最大值是___________. 【答案】 【分析】设，原式化为，设，则可以看成点到点两点的距离之差，可求最大值. 【详解】因为，设， ， 令，则， 则上式为， 设， 点为双曲线位于第一象限的点， 可以看成点到点两点的距离之差， 又， 所以的最大值是.    故答案为： 6．（25-26高二上·新疆喀什·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知方程求得点A，点B的坐标，求得直线的方程；用m表示出点P的坐标，利用点到直线的距离公式求得点P到直线的距离，并求得其取值范围，从而得到面积的最大值.或根据方程得两直线垂直，从而得到面积为，根据不等式得到其最大值. 【详解】由，得; 由，得. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 由，得，且. 所以，所以点P到直线的距离为. 因为且，所以且，所以且， 即且. 所以面积为，当且仅当时，等号成立. 所以当时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 方法二：由，得; 由，得.所以. 易知直线与直线垂直. 所以. 所以面积为. 所以时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 7．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据点在的高线上，中点在直线上列方程得到点，根据点在边的中线上，垂直于边上的高线列方程得到点； （2）法一:根据点在上列方程，根据的面积得到到边的距离，然后利用点到直线的距离公式列方程，最后解方程即可； 法二：根据的面积得到到边的距离，然后设过与平行的直线的方程，最后与直线的方程联立即可； 法三：根据与的面积比值得到，然后利用向量求坐标即可. 【详解】（1） 设， 因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 所以解得，即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 联立方程组解得，即的坐标为． （2）法一：设(， 直线方程为 即， 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为,即 即或， 联立方程组，解得=（舍去）， 联立方程组，解得， 所以. 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为，设过与平行的直线为， 所以，解得或（结合图形舍去） ， 直线方程为 即， 联立方程组 解得，所以. 因为，，所以． 因为直线方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为， 因为的面积为， 所以 ，所以 ， 设，则，解得. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $