2.2.3 两条直线的位置关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“两条直线的位置关系”核心知识点，系统梳理从平面几何中平行垂直的同位角、倾斜角性质，到代数层面斜截式（斜率、截距关系）和一般式（系数关系）的判定条件，构建从几何直观到代数抽象的学习支架，涵盖位置关系判断、方程求解、参数计算及几何图形判定等应用。 该资料以过山车实例导入，引导学生用数学眼光观察现实世界中的平行垂直现象。通过“思考-知识梳理-例题-跟踪训练”链条，结合方程组法、斜率法等多元思路，培养数学思维的推理能力与数学语言的表达能力。课中思考问题推动探究，课后分层训练助力学生巩固知识，查漏补缺。

2．2.3　两条直线的位置关系 新课导入 学习目标 过山车是一种富有刺激性的游乐设施．实际上，过山车的运动包含了许多数学、物理学原理．过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着．你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？ 1.掌握两条直线的相交、平行与重合的条件，并会利用它们解决实际问题． 2.掌握两条直线垂直的条件，并会用垂直解决实际问题． 思考1　在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ [提示]　两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 思考2　平面中的两条平行直线被x轴所截，它们的倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ [提示]　两直线平行，倾斜角相等． [知识梳理] 1．若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则： l1与l2相交⇔k1≠k2； l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2； l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． 2．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则： l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1； l1与l2平行⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1； l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1. [例1] (对接教材例1)判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出它们的交点坐标． (1)l1：x＋3y＋1＝0，l2：3x＋4＝0； (2)l1：x－3y＋1＝0，l2：y＝x＋4. 【解】　(1)因为l1：x＋3y＋1＝0，l2：3x＋4＝0， 联立解得 所以l1与l2相交，交点坐标为. (2)因为l2：y＝x＋4可化为x－3y＋12＝0，联立方程组无解，所以l1与l2平行． (1)方程组法：判断两直线的位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 有唯一解时，两直线相交；无解时，两直线平行；有无数解时，两直线重合． (2)斜率法：若两直线的斜率不相等，则两直线相交；若两直线的斜率相等，截距不相等，则两直线平行；若两直线的斜率相等，截距也相等，则两直线重合．特别地，要考虑斜率不存在的情况． (3)方向向量法：若两直线的方向向量不共线，则两直线相交；若两直线的方向向量共线，则两直线平行或重合． [跟踪训练1] (1)已知A(1，1)，B(4，－2)，C(6，0)，D(4，4)，则直线AD与BC的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 解析：选B.kAD＝＝1，kBC＝＝1，由图可知A，B，C，D不共线，所以AD∥BC. (2)已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M(1，1)，则a－b＝________． 解析：由题设 可得所以a－b＝－3. 答案：－3 思考　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ [提示]　a⊥b⇔a·b＝0⇔1＋k1k2＝0. [知识梳理] 1．若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则： l1⊥l2⇔k1k2＝－1． 2．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． [例2] (对接教材例3)判断下列两条直线是否垂直． (1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10，4)，B(20，3)； (2)直线l1经过点A(3，4)，B(3，7)，直线l2经过点P(－2，4)，Q(2，4)； (3)直线l1的方向向量为(1，2)，直线l2的方向向量为(2，－1). 【解】　(1)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝－，因为k1k2＝－10×(－)＝1，所以l1与l2不垂直． (2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直． (3)因为直线l1的方向向量为(1，2)，所以直线l1的斜率k1＝2.因为直线l2的方向向量为(2，－1)，所以直线l2的斜率k2＝－，k1k2＝2×(－)＝－1，所以l1与l2垂直． 判断两直线垂直的步骤 (1)一看：看每条直线所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行下一步； (2)二代：将点的坐标代入斜率公式计算斜率； (3)三判断：根据两斜率之间的关系进行判断． 提醒　(1)判断两直线是否垂直也可以根据两直线的方向向量的数量积是否为0进行判断． (2)利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． [跟踪训练2] (2026·中卫月考)已知直线l1过A(1，3)，B(2，5)两点，且l1⊥l2，则直线l2的斜率为________． 解析：因为直线l1过A(1，3)，B(2，5)，所以直线l1的斜率为k1＝＝2，因为l1⊥l2，所以直线l2的斜率为k2＝－＝－. 答案：－ 角度1　利用直线平行或垂直求直线方程 [例3] 求满足下列条件的直线l的方程： (1)直线l过点(－2，1)，且与直线x＋y－3＝0平行； (2)直线l过点(－1，2)，且与直线x＋3y＋1＝0垂直． 【解】　(1)方法一：由直线l与直线x＋y－3＝0平行，可得l的斜率k＝－1. 又l过点(－2，1)，由点斜式可得l：y－1＝－(x＋2)，即l：x＋y＋1＝0. 方法二：由l与直线x＋y－3＝0平行，可设l的方程为x＋y＋m＝0(m≠－3)， 将点(－2，1)代入上式得m＝1，所以所求直线l的方程为x＋y＋1＝0. (2)方法一：由直线x＋3y＋1＝0的斜率为－，直线l与直线x＋3y＋1＝0垂直， 可得直线l的斜率k＝3，又l过点(－1，2)，由点斜式可得l：y－2＝3(x＋1)，即l：3x－y＋5＝0. 方法二：由l与直线x＋3y＋1＝0垂直，可设l的方程为3x－y＋n＝0，将点(－1，2)代入上式得n＝5，所以所求直线的方程为3x－y＋5＝0. 与已知直线平行(垂直)的直线方程的两种求法 (1)先求出已知直线的斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式求出直线方程． (2)利用待定系数法(直线系)求直线方程． 常用结论　(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C). (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0. 角度2　利用直线平行或垂直求参数 [例4] 已知a，b为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y－2＝0，l3：x＋2y＋3＝0. (1)若l1⊥l2，且l1经过点(－1，1)，求实数a，b的值； (2)若l1∥l2且l1⊥l3，求实数a，b的值． 【解】　(1)因为l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y－2＝0，且l1⊥l2，所以a(a－1)＋b＝0， 又直线l1过点(－1，1)，所以－a＋b＋4＝0，所以b＝a－4，所以a(a－1)＋(a－4)＝0， 所以或 (2)若l1∥l2且l1⊥l3，则 解得或 由于a，b不能同时为0，故 (1)平行问题：①如果直线的斜率存在，可将一般式化成斜截式进行判断；②如果一般式中y的系数含参数，需根据系数是否为0分类讨论；③l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0). (2)垂直问题：①如果直线的斜率存在且不为0，那么l1⊥l2⇔k1k2＝－1；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 角度3　平行或垂直的综合应用 [例5] 已知 四边形ABCD的四个顶点分别为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，D(4，2).试判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 【解】　四边形ABCD是直角梯形．证明如下： 由题意得kCD＝＝－，kAB＝＝－，kBC＝＝2，kAD＝＝－3， 所以kCD＝kAB，kBC≠kAD，即AB∥CD且BC与AD不平行，所以四边形ABCD是梯形，又因为kBC·kCD＝kBC·kAB＝－1，所以BC⊥CD，BC⊥AB，综上，四边形ABCD是直角梯形． 母题探究　本题条件“B(1，1)”变为“B(x，y)”，当四边形ABCD是平行四边形时，求x，y. 解：由题意可得kCD＝－，kAD＝－3，kAB＝＝，kBC＝，因为四边形ABCD是平行四边形，所以所以解得 利用两条直线平行或垂直判定 几何图形形状的步骤 [跟踪训练3] (1)过点(0，1)且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线方程是(　　) A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－2＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0 解析：选B.与直线2x－y＋1＝0垂直的直线方程可设为x＋2y＋C＝0，将(0，1)代入可得2＋C＝0，解得C＝－2，故所求的直线方程为x＋2y－2＝0.故选B. (2)已知两直线l1：2mx＋(3－m)y＋1＝0，l2：2x＋2my＋m＝0，当l1⊥l2时，m＝________；当l1∥l2，m＝________． 解析：当l1⊥l2时， 若m＝0，则l1：3y＋1＝0，l2：x＝0，满足l1⊥l2，若m≠0，因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－× ＝＝－1，解得m＝5，所以当l1⊥l2时，m＝0或m＝5. 当l1∥l2时，有k1＝k2，即－＝－，解得m＝1或m＝－. 当m＝1时，l1：2x＋2y＋1＝0，l2：2x＋2y＋1＝0，则l1和l2重合，不满足题意；当m＝－时，l1：6x－9y－2＝0，l2：4x－6y－3＝0，满足题意．所以m＝－. 答案：0或5　－ (3)已知四边形ABCD的顶点B(6，1)，C(3，3)，D(2，5)，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在．设点A(x，y). 若AB∥CD，AD⊥CD， 则解得 所以点A. 若AD∥BC，AB⊥BC， 则解得 所以点A. 1．(教材P96T3改编)已知直线l过点(1，0)且与直线m：x－2y＋5＝0平行，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y－2＝0 B．2x－y－2＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0 解析：选C.设直线l为x－2y＋k＝0(k≠5)，把(1，0)代入上式得1＋k＝0，解得k＝－1，故直线l的方程为x－2y－1＝0．故选C. 2．(多选)已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有(　　) A.若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行 B．若l1，l2平行，则l1，l2的斜率相等 C．若l1，l2的斜率乘积等于－1，则l1，l2垂直 D．若l1，l2垂直，则l1，l2的斜率乘积等于－1 解析：选AC.根据题意及两直线的位置关系可知若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行，故A正确；若l1，l2平行，当l1，l2都与y轴平行时，l1，l2的斜率不存在，故B错误；易知若l1，l2的斜率乘积等于－1，则l1，l2垂直，故C正确；若l1，l2垂直，当l1与x轴平行，l2与y轴平行时，直线l1的斜率为0，l2的斜率不存在，故D错误． 3．已知过点A(－3，m)和B(m，9)的直线与斜率为2的直线平行，则m的值为________． 解析：由过点A(－3，m)和B(m，9)的直线与斜率为2的直线平行，得＝2，解得m＝1，所以m的值为1. 答案：1 4. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0.试判断四边形OPQR是否为矩形． 解：由斜率公式得kOP＝＝t， kRQ＝＝t， kOR＝＝－， kPQ＝＝－， 所以kOP＝kRQ，kOR＝kPQ， 从而OP∥RQ，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形． 又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR， 故四边形OPQR为矩形． 1．已学习：两条直线平行与垂直的判定及应用． 2．须贯通：探究及应用两直线平行、垂直的条件体现了数形结合、分类讨论的思想方法． 3．应注意：研究两直线位置关系时，不要忽略直线斜率为0或不存在的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $