2.2.3 两条直线的位置关系第2课时　两条直线的垂直（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦“两条直线的垂直”核心知识点，系统梳理斜率存在时k₁k₂=-1、一般式中A₁A₂+B₁B₂=0的垂直条件，及特殊情况（一条垂直x轴另一条垂直y轴），承接直线平行知识，构建完整的直线位置关系学习支架。 资料通过“特别提醒”强调斜率存在前提培养严谨数学思维，设计判定、求方程、对称问题（如平行四边形顶点坐标求解）等题型，结合实例提升数学语言表达能力。课中助力教师突破对称问题难点，课后基础与素养练习帮助学生查漏补缺，发展数学眼光与应用意识。

第二章 平面解析几何 2.2.3　两条直线的位置关系 第2课时　两条直线的垂直 课标要点 能根据斜率判定两条直线垂直． 学习重难点 重点： 两条直线垂直的条件． 难点： 利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题． 知识点 两条直线的垂直 (1)一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量，所以l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔A1A2＋B1B2＝0． 随学随练特别提醒 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而当k1k2＝－1时，一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． [拓展]　常用对称的特例 (1)A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)． (2)B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)． (3)C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)． (4)D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)． (5)P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)． (6)Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a，2n－b)． 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 2．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程（写成斜截式）； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成斜截式）； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）． 题型两条直线垂直的判定 ▌例1（24-25高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为______. ▌对点练1-1．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线与直线一定（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 题型利用垂直关系求直线的方程 ▌例1（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）若直线与直线互相垂直，那么a的值等于______． 题型 对称问题 ▌例1（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. ▌对点练1-1（17-18高二上·江西南昌·阶段检测）菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6,－5)，BC边所在直线过点P(8,－1)．求： (1)AD边所在直线的方程； (2)对角线BD所在直线的方程． 基础通关 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线，则下列结论正确的个数是（   ） ①直线的纵截距为1； ②向量是直线的一个方向向量； ③过点与直线平行的直线方程为； ④若直线，则 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高二上·甘肃张掖·期中）三角形的三个顶点是． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求三角形的面积. 3．（25-26高二上·广东清远·阶段检测）已知直线，则下列结论正确的是（ ） A．直线的倾斜角是钝角 B．的一个方向向量为 C．直线在轴上截距为1 D．与直线垂直 4．（15-16高二·青海西宁·期中）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 5．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 6．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东湛江·期中）已知直线的方程是，下列正确的是（    ） A．当时，直线的斜率为0 B．当时，直线与轴的截距为 C．当且不同时为0，方程表示经过原点的直线 D．当不同时为0，直线与直线平行 8．（24-25高二上·云南·期中）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若，的斜率相等，则，平行 B．若，则，的倾斜角相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，则，的斜率乘积等于 9．（24-25高二上·云南·期中）（多选）已知直线，，，则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与平行 D．当时，直线与直线垂直 10．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 素养提升 11．（24-25高二上·江苏连云港·期中）（多选）已知直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线的斜率为0 D．当时，直线与直线AB垂直 12．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（25-26高二上·湖北·期中）（多选）已知三条直线，，，下列结论正确的是（    ） A． B．三条直线的斜率之积为1 C．三条直线的倾斜角之和为 D．三条直线在轴上的截距之和为12a 14．（25-26高二上·上海·期中）已知直线过定点，直线过定点与相交于点，当实数变化时，的最大值为___________． 迁移创新 15．（24-25高二上·山东·期中）（多选）设直线：，：的交点为，则（   ） A．恒过定点 B． C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为5 16．（20-21高二·全国·课后作业）已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 17．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 18．（23-24高二上·广东清远·期中）（多选）已知直线，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线不经过第三象限 D．直线与直线垂直 19．（23-24高二上·湖北宜昌·期中）（多选）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 20．（23-24高二上·河北邯郸·阶段检测）（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 试卷第1页，共3页 试卷第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第9页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.2.3　两条直线的位置关系 第2课时　两条直线的垂直 课标要点 能根据斜率判定两条直线垂直． 学习重难点 重点： 两条直线垂直的条件． 难点： 利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题． 知识点 两条直线的垂直 (1)一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量，所以l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔A1A2＋B1B2＝0． 随学随练特别提醒 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而当k1k2＝－1时，一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． [拓展]　常用对称的特例 (1)A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)． (2)B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)． (3)C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)． (4)D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)． (5)P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)． (6)Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a，2n－b)． 1．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C 2．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程（写成斜截式）； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成斜截式）； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）． 【答案】(1) (2)为或 (3) 【分析】（1）先求出直线的斜率，再根据两直线垂直斜率积为求出直线的斜率，进而求出方程； （2）分斜率不存在，为，不为三种情况讨论，求出在轴和轴上的截距，进而求出，写出方程； （3）写出直线的点斜式方程，求出在轴和轴上的截距，列式求出的范围，进而求出三角形的面积，根据均值不等式求出最小值和，写出方程. 【详解】（1），又，所以， 所以直线的方程为，即； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不满足条件； 当直线斜率为时，直线的方程为，不满足条件； 当斜率存在且不为时，设直线的方程为， 令，则，令，则， 因为直线在轴和轴上的截距互为相反数， 所以，所以或， 又因为直线过点，所以， 所以当时，；当时，； 所以直线的方程为或； （3）因为直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，所以直线的斜率一定存在且不为， 又直线过点，所以设直线的方程为， 令，则，令，则， 所以，解得， ， 当且仅当，即时，取得最小值， 所以直线的方程为，即. 题型两条直线垂直的判定 ▌例1（24-25高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为______. 【答案】 【分析】由线段的斜率可计算出线段的垂直平分线的斜率，又有的中点是线段的垂直平分线经过的一个点，使用点斜式即可得到线段的垂直平分线方程. 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. ▌对点练1-1．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线与直线一定（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】求得两直线的斜率，根据斜率关系判断直线的位置关系. 【详解】由直线得，, 由直线得，, 因为，故两直线相交但不垂直. 故选：D. 题型利用垂直关系求直线的方程 ▌例1（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. ▌对点练1-1（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）若直线与直线互相垂直，那么a的值等于______． 【答案】 【详解】因为直线与直线互相垂直，所以，所以. 题型 对称问题 ▌例1（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出线段中点坐标，再利用平行四边形的性质得为线段中点，从而利用中点坐标公式列方程组求解即可； （2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可. 【详解】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以；    （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. ▌对点练1-1（17-18高二上·江西南昌·阶段检测）菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6,－5)，BC边所在直线过点P(8,－1)．求： (1)AD边所在直线的方程； (2)对角线BD所在直线的方程． 【答案】(1)2x－y＋15＝0 (2)5x－6y＋1＝0 【分析】（1）由两直线平行可得直线AD的斜率，再由直线的点斜式写出其方程. （2）由斜率存在且不为0的两直线垂直，则斜率之积为，再求AC的中点坐标，由点斜式方程可得结果. 【详解】（1），∵AD∥BC，∴． ∴AD边所在直线的方程为，即2x－y＋15＝0． （2）∵． 又∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴． 又∵AC的中点，也是BD的中点， ∴对角线BD所在直线的方程为，即5x－6y＋1＝0． 基础通关 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线，则下列结论正确的个数是（   ） ①直线的纵截距为1； ②向量是直线的一个方向向量； ③过点与直线平行的直线方程为； ④若直线，则 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据纵截距的定义，结合方向向量的定义、平行直线、垂直直线的性质逐一判断即可. 【详解】①：由，所以直线的纵截距为，所以本序号说法不正确； ②：由直线方向向量可知该直线的斜率为，恰好是直线的斜率，所以本序号的说法正确； ③：设与直线平行的直线方程为，该直线过， 所以，即直线方程为，所以本序号的说法正确； ④：因为直线的斜率为，所以，所以本序号的说法正确， 结论正确的个数是. 故选：B 2．（25-26高二上·甘肃张掖·期中）三角形的三个顶点是． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求三角形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先确定AC中点坐标，再由两点式即可求解. （2）先求出，则可得，分别求出，代入面积公式计算即可. 【详解】（1）由得线段的中点， 则根据两点式可得直线方程为， 所求直线为. （2）因为， 所以, 因为， 所以, 又， 所以. 3．（25-26高二上·广东清远·阶段检测）已知直线，则下列结论正确的是（ ） A．直线的倾斜角是钝角 B．的一个方向向量为 C．直线在轴上截距为1 D．与直线垂直 【答案】B 【分析】根据直线方程的一般式求出其斜率为，可得倾斜角为锐角，因此A错误，再由方向向量的定义可得B正确；由截距定义计算可知直线在轴上截距为，可得C错误，易知两直线斜率乘积不为，因此两直线不垂直，可得D错误. 【详解】对于A，由，得直线，所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角是锐角，故A错误； 对于B，易知直线的一个方向向量为，又直线的一个方向向量也可为，故B正确； 对于C，令代入直线的方程可得，因此直线在轴上截距为，即C错误； 对于D，直线的斜率为，所以， 所以直线与直线不垂直，故D错误. 故选：B 4．（15-16高二·青海西宁·期中）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 5．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 6．（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【详解】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 7．（24-25高二上·广东湛江·期中）已知直线的方程是，下列正确的是（    ） A．当时，直线的斜率为0 B．当时，直线与轴的截距为 C．当且不同时为0，方程表示经过原点的直线 D．当不同时为0，直线与直线平行 【答案】C 【分析】将直线方程化简，即可判断A，化成斜截式，求出纵截距，即可判断B，根据过原点的直线方程的特征判断C，根据两直线垂直判断D. 【详解】对于A，当，直线的方程为，即，此时直线的斜率不存在，故A错误； 对于B，当时，直线的方程化成斜截式为，所以直线与轴的截距为，故B错误； 对于C，因为直线过原点，所以， 所以当且不同时为0时，方程表示经过原点的直线，故C正确； 对于D，直线与直线垂直，故D错误. 故选：C 8．（24-25高二上·云南·期中）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若，的斜率相等，则，平行 B．若，则，的倾斜角相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，则，的斜率乘积等于 【答案】D 【分析】由两直线斜率相等可得平行，选项A正确；由两直线平行可得倾斜角相等，选项B正确；由两直线斜率之积等于可得两直线垂直，选项C正确；当两直线垂直时，其中一条直线斜率可能不存在，选项D错误. 【详解】根据两直线的位置关系可知若，斜率相等且不重合，则，平行，A正确. 由，可得，的倾斜角相等，B正确. 由，的斜率乘积等于，可得，垂直，C正确. 当与轴平行，与轴平行时，，但直线的斜率不存在，D错误. 故选：D. 9．（24-25高二上·云南·期中）（多选）已知直线，，，则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与平行 D．当时，直线与直线垂直 【答案】BD 【分析】根据直线的方程形式可判断AB的正误，求出的斜率后可判断CD的正误. 【详解】因为直线的方程为：，令得直线恒过定点， 故A错误； 当时，直线斜率为，故其倾斜角为，故B正确； ， 当时，直线的斜率为，，此时直线与不平行， 当时，直线的斜率为，因为，故此时直线与垂直， 故C错误，D正确. 故选：BD 10．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系. 【详解】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以. 故选：A 素养提升 11．（24-25高二上·江苏连云港·期中）（多选）已知直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线的斜率为0 D．当时，直线与直线AB垂直 【答案】AC 【分析】根据直线的定点、倾斜角、斜率、垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线， 当时，，所以直线恒过定点，A选项正确. 时，，斜率为，倾斜角为，B选项错误. 时，，直线的斜率为，C选项正确. 时，，斜率为， 直线的斜率为，， 所以直线与直线不垂直，D选项错误. 故选：AC 12．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【详解】设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法二：若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 13．（25-26高二上·湖北·期中）（多选）已知三条直线，，，下列结论正确的是（    ） A． B．三条直线的斜率之积为1 C．三条直线的倾斜角之和为 D．三条直线在轴上的截距之和为12a 【答案】BC 【分析】分别将三直线转化成点斜式，进而分析斜率和纵截距，根据斜率关系判断ABC；根据纵截距判断D. 【详解】设三条直线对应斜率为，倾斜角为， ，； ，； ，， 对于A：因为，所以不垂直于，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：， 因为，则，可得， 所以三条直线的倾斜角之和为135°，故C正确； 对于D：三条直线在y轴上的截距之和为，故D错误. 故选：BC. 14．（25-26高二上·上海·期中）已知直线过定点，直线过定点与相交于点，当实数变化时，的最大值为___________． 【答案】 【分析】求出定点的坐标，分析两直线垂直，然后利用勾股定理和基本不等式求的最大值. 【详解】易知点， ，令，则，所以， 当时，，，两直线垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. ①当P点与A点或B点重合时，； ②当P点异于点A、B时， 为直角三角形，则， 所以（当且仅当时取等号）， 此时点P在线段AB的垂直平分线上， ，点， 所以，解得或. 所以当或时，取得最大值. 故答案为： 迁移创新 15．（24-25高二上·山东·期中）（多选）设直线：，：的交点为，则（   ） A．恒过定点 B． C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】ABD 【分析】由直线过定点即可判断A，由两直线垂直列出方程即可判断B，联立两直线方程求出交点坐标，代入计算即可判断C，结合题意可知点到直线的距离的最大值即为点到定点的距离，即可判断D. 【详解】对于A：因为直线，即， 令，解得，所以恒过定点，故A正确； 对于B：因为直线：，：满足， 所以，故B正确； 对于C：联立两直线方程，解得， 所以， 则 ， 令，则，所以， 且在上单调递增，当时，， 所以，故C错误； 对于D：由A可知，直线恒过定点， 则点到直线的距离的最大值即为点到定点的距离， 即，故D正确； 故选：ABD 16．（20-21高二·全国·课后作业）已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】(1)点的坐标为或或 (2)平行四边形为菱形，平行四边形、不是菱形 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为即可. 【详解】（1）由题意得，，， 设， 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为或或. （2）若的坐标为， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为， 因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 17．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 【答案】A 【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形， 所以， 故选：A 18．（23-24高二上·广东清远·期中）（多选）已知直线，则（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为 C．直线不经过第三象限 D．直线与直线垂直 【答案】AC 【分析】由直线方程确定斜率,倾斜角判断选项；根据直线方程直接判定所过象限判断选项C；由直线垂直的判定判断选项D. 【详解】由题设，倾斜角， 则，A对，B错； 直线斜率为负值，y轴截距为正值， 则直线过第一，二，四象限，不过第三象限，对； 由，可得其斜率为， 由， 可得直线与不垂直，D错. 故选： 19．（23-24高二上·湖北宜昌·期中）（多选）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 【答案】CD 【分析】根据题意求出直线的方程，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 因为直线经过点，所以直线的方程为， 即， A，直线的斜率，则倾斜角等于，A错误； B，当时，，所以在轴上的截距等于，B错误； C，因为直线的斜率，直线直线的斜率为，，所以两直线垂直，C正确； D，因为直线的斜率，直线的斜率，不过（1，-2），所以两直线平行，D正确. 故选：CD 20．（23-24高二上·河北邯郸·阶段检测）（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【答案】BCD 【分析】根据直线斜率之积为判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D. 【详解】对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确. 故选：BCD 试卷第18页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $