2.2.1 第2课时 直线的方向向量、法向量-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本高中数学讲义聚焦直线的方向向量与法向量核心知识点，从笛卡尔观察蜘蛛爬行的情境导入，系统梳理方向向量的定义、共线性质及与斜率、倾斜角的关系，进而延伸至法向量的概念及与方向向量的垂直关系，构建完整知识脉络。 该资料以情境导入培养数学眼光，通过笛卡尔发现位置确定的故事激发探究欲，设计即时练与跟踪训练强化数学思维，如判断方向向量同向性、计算单位方向向量等。知识梳理条理清晰，例题对接教材，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固概念、弥补薄弱点。

第2课时　直线的方向向量、法向量 新课导入 学习目标 数学家笛卡尔某天躺在床上静静地思考，思考着如何确定事物的位置，这时他发现苍蝇粘在蜘蛛网上，蜘蛛迅速爬过去把它捉住，笛卡尔此时恍然大悟……若蜘蛛由位置A爬到位置B，你能算出A，B两点间的距离吗？这就是本节课我们要学习的内容． 1.了解直线的方向向量与直线的法向量的概念． 2.掌握直线的方向向量与直线斜率的关系． 思考　直线l的方向向量是否都同向？ [提示]　不一定，可以同向也可以反向． [知识梳理] 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l． (1)a＝(1，0)是所有倾斜角为0°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量． b＝(0，1)是所有倾斜角为90°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量． c＝(1，1)是所有倾斜角为45°的直线的一个方向向量． (2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定 共线． (3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)a＝(1，0)表示与y轴垂直的直线的一个方向向量．(　　) (2)b＝(0，1)表示与x轴垂直的直线的一个方向向量．(　　) (3)c＝(1，1)只能为第一、三象限角平分线的方向向量．(　　) (4)任何直线都有无数个方向向量．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(多选)已知直线l经过点P(1，2)和点Q(－2，－2)，则直线l的一个单位方向向量为(　　) A．(－3，－4) B． C． D． 解析：选BC.由题意得，直线l的一个方向向量为＝(－2－1，－2－2)＝(－3，－4)，所以直线l的一个单位方向向量为±＝± (－3，－4)＝±.故选BC. 3．过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y＝________． 解析：由题意知＝(－2，－3－y)， 又因为直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)， 所以n∥，所以(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1. 答案：－1 求直线的方向向量，只需在直线上任取两个不同的点A，B，与均是该直线的方向向量；同一直线的方向向量有无数个，它们都是共线向量． 知识点二　直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系 [知识梳理] 1．如果直线l的倾斜角为θ，则a＝(cos__θ，sin__θ)为直线l的一个方向向量． 如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量． 2．如果a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则 当u＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°； 当u≠0时，直线l的斜率存在，且k＝tan θ＝． [例1] (对接教材例4)已知直线l过点P(1，－3)，Q(4，－3)，求直线l的一个方向向量、斜率和倾斜角． 【解】　设直线l的斜率为k，倾斜角为θ. 方法一：＝(3，). 所以＝(3, )为直线l的一个方向向量，所以k＝，所以tan θ＝，又0°≤θ<180°，所以θ＝30°. 故直线l的斜率为，倾斜角为30°. 方法二：k＝＝，所以tan θ＝，又0°≤θ<180°，所以θ＝30°.所以直线l的一个方向向量为a＝(1，k)＝. 设直线l的一个方向向量为a＝(u，v)，直线l的倾斜角为θ，A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上不同的两点，则 (1)u＝0⇔x2－x1＝0⇔θ＝⇔k不存在； (2)u≠0⇔k＝＝tan θ＝⇔a＝u(1，k). [跟踪训练1] (1)若直线的一个方向向量为a＝(0，－2 024)，则直线的倾斜角为(　　) A．0° B．90° C．120° D．270° 解析：选B.因为a＝(0，－2 024)，根据直线的方向向量的定义可知，直线的倾斜角为90°.故选B. (2)已知直线l1的一个方向向量为m＝(1，)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为________． 解析：设直线l1的倾斜角为α(0≤α<π)，则直线l2的倾斜角为2α，因为直线l1的一个方向向量为m＝(1，), 所以直线l1的斜率为tan α＝，所以α＝，所以直线l2的斜率为tan 2α＝－. 答案：－ 思考　类比平面的法向量，你能推测出直线的法向量所在的直线与该直线的位置关系吗？ [提示]　能，垂直． [知识梳理] 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l． (1)一条直线的方向向量与法向量互相垂直． (2)当x0与y0不全为0时，因为向量(x0，y0)与(y0，－x0)是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线l的一个方向向量，则另一个一定是直线l的一个法向量． [例2] (1)直线l过点A(－1，3)和B(3，2)，则直线l的一个法向量为(　　) A．(－1，4) B．(2，5) C．(5，－2) D．(－1，－4) (2)直线l的一个法向量为v＝(，－3)，则直线l的斜率为________，倾斜角为________． 【解析】　(1)因为直线l过点A(－1，3)，B(3，2)，所以＝(4，－1)，而＝(4，－1)是直线l的一个方向向量，所以(－1，－4)为直线l的一个法向量．故选D. (2)设直线l的斜率为k，倾斜角为θ.因为v＝(，－3)为直线l的一个法向量，所以a＝(3，)为直线l的一个方向向量，所以k＝.所以tan θ＝，而0°≤θ<180°，所以θ＝30°. 【答案】　(1)D (2)　30° 若直线的方向向量为a＝(x0，y0)，则直线的法向量v＝(y0，－x0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可． [跟踪训练2] (1)直线PQ的斜率为－，则直线PQ的法向量所在直线的倾斜角为________________． 解析：因为kPQ＝－，所以直线PQ的倾斜角为120°，又直线PQ的法向量与直线PQ垂直，故PQ的法向量所在直线的倾斜角为30°. 答案：30° (2)直线l上两点A(－2，3)，B(4，m)，若直线l的一个法向量为v＝(2，－3)，则m＝ __________． 解析：＝(6，m－3)，所以为直线l的一个方向向量，所以⊥v，即6×2＋(－3)×(m－3)＝0，解得m＝7. 答案：7 1．(教材P79尝试与发现(2)改编)已知直线l的斜率为，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，－3) B．(2，3) C．(－3，2) D．(3，2) 解析：选D.因为直线l的斜率k＝，所以(3，2)是直线l的一个方向向量．故选D. 2．(多选)若直线的一个法向量a＝(－4，2)，则直线的方向向量可能是(　　) A．(－2，4) B．(1，2) C．(3，6) D．(2，－4) 解析：选BC.对于A，－4×(－2)＋2×4＝16≠0， 对于B，－4×1＋2×2＝0， 对于C，－4×3＋2×6＝0， 对于D，－4×2＋2×(－4)＝－16≠0， 因为一条直线的方向向量与法向量互相垂直，所以A，D不可能是直线的方向向量；B，C都可以是直线的方向向量．故选BC. 3．若n＝(－，1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角为________． 解析：由n＝(－，1)是直线l的一个法向量，可知直线l的一个方向向量为(1，). 设直线l的倾斜角为α，0°≤α<180°，可得直线l的斜率k＝tan α＝，所以直线l的倾斜角α＝. 答案： 4．(教材P80尝试与发现(2)改编)已知直线l的一个方向向量为v＝，求直线l的倾斜角和斜率． 解：由直线l的一个方向向量为v＝(2，－2)，得直线的斜率k＝＝－，设直线l的倾斜角为α，α∈[0，π)， 故k＝tan α＝－，解得α＝， 故直线l的倾斜角α＝，斜率k＝－. 1．已学习：直线的方向向量、法向量以及直线的方向向量与斜率、倾斜角的关系． 2．须贯通：通过直线的方向向量和法向量能确定直线的斜率与倾斜角，一条直线的方向向量都共线． 3．应注意：直线的方向向量和法向量都存在，但不唯一． 学科网（北京）股份有限公司 $