2.2.1 第2课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

**基本信息** 聚焦直线方向向量与法向量，通过基础概念辨析、综合应用拓展的分层设计，构建从单一知识点到跨情境问题解决的巩固路径，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|方向向量、法向量与斜率关系|单选/填空直接考查定义（如方向向量共线判断），强化运算能力| |进阶层|共线判断、参数关联|多选需逻辑推理（如倾斜角与方向向量关系），发展推理意识| |拓展层|参数方程、最值求解|解答题结合函数情境（如法向量平行构建模型求最值），培养模型观念|

1．已知直线l经过两点A(－1，2)，B(3，4)，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，4) B．(1，2) C．(－4，－2) D．(4，－2) 解析：选C.由题意知＝(4，2)，且l的方向向量与共线．故选C. 2．若n＝(－，3)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角为(　　) A．150° B．30° C．120° D．60° 解析：选C.因为直线l的一个方向向量为n＝(－，3)，所以直线l的斜率k＝＝－，即倾斜角为120°. 3．已知一个法向量为(3，5)的直线，其斜率为(　　) A．－ B． C． D．－ 解析：选A.因为直线的一个法向量为(3，5)，所以直线的一个方向向量为(5，－3)，故k＝－.故选A. 4．如果直线l的一个法向量是(－，－)，则其倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C.直线l的一个法向量为(－，－)，则直线l的一个方向向量为，所以k＝tan θ＝－，即倾斜角为120°. 5．已知直线l过点A(1，2)，B(0，4)，则下列向量是l的法向量的是(　　) A．(－2，1) B．(2，1) C．(4，－2) D．(4，3) 解析：选B.直线l的一个方向向量为＝(－1，2)，又直线的方向向量与法向量垂直，(2，1)·(－1，2)＝－2＋2＝0.故选B. 6．(多选)若直线l的倾斜角为135°，则下列向量中是直线l的方向向量的是(　　) A．(2，2) B．(－3，3) C．(，－) D．(，－) 解析：选BCD.因为直线的倾斜角为135°，故斜率k＝－1，则直线的一个方向向量为(cos 135°，sin 135°) ，即，则与其平行的非零向量都可以为直线的方向向量． 7．已知直线的一个方向向量为v＝(1，3)，则该直线的斜率为________． 解析：由题意得k＝＝3. 答案：3 8．若过点A(－3，1)，B(a，5)的直线l的一个方向向量e＝(1，2)，则a的值为________． 解析：因为＝(a＋3，4)，又∥e， 所以＝，所以a＝－1. 答案：－1 9．已知向量a＝(1，－1)是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 解析：设直线的斜率为k， 所以k＝－1.又倾斜角θ∈[0，π)， 所以tan θ＝－1，所以θ＝. 答案： 10．(13分)已知三点A(0，1)，B(1，3)，C(2，5)，判断A，B，C三点是否共线．若共线，求出直线的一个方向向量． 解：方法一：因为kAB＝＝2，kBC＝＝2，所以kAB＝kBC，又AB，BC有公共点B，所以A，B，C三点共线．直线的一个方向向量为＝(1，2)(答案不唯一). 方法二：因为＝(1，2)，＝(1，2)，所以＝，又与有公共点B，所以A，B，C三点共线． 直线的一个方向向量为＝(1，2)(答案不唯一). 11．(多选)设一次函数y＝2x＋c(c为常数)的图象为直线l，那么直线l的一个方向向量可以为(　　) A．(1，－2) B．(1，2) C．(2，－4) D．(－2，－4) 解析：选BD.在直线l上取两点P1(1，2＋c)，P2(2，4＋c)，则直线l的一个方向向量为P1P2＝(1，2)， 对于A，1×(－2)≠2×1，所以A不是直线l的一个方向向量； 对于B，显然是直线l的一个方向向量； 对于C，1×(－4)≠2×2，所以C不是直线l的一个方向向量； 对于D，1×(－4)＝2×(－2)，所以D是直线l的一个方向向量．故选BD. 12．已知向量m＝(a，a2＋1)(a≠0)，直线AB的一个方向向量为n，若m与n共线，则直线AB的斜率的取值范围是_________________________________． 解析：由题知，m≠0，又m与n共线，所以m为直线AB的一个方向向量，所以直线AB的斜率k＝＝a＋，由对勾函数的性质得k≥2或k≤－2，所以直线AB的斜率的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞). 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 13．(13分)已知坐标平面内两点M(m＋3，2m＋5)，N(2m－1，1). (1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角；(6分) (2)若直线MN的一个方向向量为a＝(0，2 025)，求m的值．(7分) 解：(1)若倾斜角θ为锐角， 则k＝tan θ>0， 又k＝＝>0， 解得－2<m<4. (2)因为直线MN的一个方向向量为a＝(0，2 025)， 所以直线MN的斜率不存在． 故过M，N两点的直线垂直于x轴． 所以m＋3＝2m－1，即m＝4. 14．(13分)已知a>0，b>0，且向量u＝(a，3)和v＝(1－b，2)都是直线l的法向量．求＋的最小值． 解：因为u，v都是直线l的法向量， 则u∥v， 所以2a－3(1－b)＝0， 即2a＋3b＝3， 所以(2a＋3b)＝1，且a>0，b>0. 所以＋＝×(2a＋3b) ＝ ＝＋2 ≥＋2×2　＝， 当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立.　 所以当a＝b＝时，＋最小，最小值为. 15．直线可以由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定．设直线l经过点P0(x0，y0)，它的一个方向向量是v＝(m，n)，P(x，y)是直线l上的任意一点，则存在唯一的实数t，使P0P＝tv，即我们把这个方程称为直线的参数方程．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则该直线的倾斜角α为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为直线l的参数方程为(t为参数)，所以直线l的一个方向向量为v＝(－，1)，所以直线l的斜率k＝tan α＝＝－，又α∈[0，π)，则α＝. 学科网（北京）股份有限公司 $