2.2.1 直线的倾斜角与斜率（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 基础过关练 题组一　直线的倾斜角与斜率 1.下列说法中错误的是(　　) A.任何一条直线都有唯一的倾斜角 B.若两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等 C.直线的倾斜角的取值范围是[0,π) D.若k是直线l的斜率,则k∈R 2.直线l:x=0的倾斜角为(　　) A.0　　　　B.　　　　C.π　　　　D.不存在 3.如图,斜率最小的直线是(　　) A.l1　　　　B.l2　　　　C.l3　　　　D.l4 4.已知直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍,且l1的斜率为-,则l2的斜率为(　　) A.3或-或-3　　　　D. 5.已知直线l的斜率为k,倾斜角为α,若45°<α<135°,则k的取值范围为(　　) A.(-1,1)　　　　B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.[-1,1]　　　　D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 6.设直线l的斜率为k,且-1≤k<,则直线l的倾斜角α的取值范围为(　　) A. C. 题组二　直线的斜率公式及其应用 7.若倾斜角为120°的直线经过点(2,)和(3,a),则实数a=(　　) A.0　　　　B.2 8.已知A(0,3),B(1,2),C(3,m)三点共线,则实数m的值为　　　　.  9.若以A(3,1),B(-2,k),C(8,1)三点为顶点能构成三角形,则实数k的取值范围为　　　　.  题组三　直线的方向向量和法向量 10.(多选题)若直线l的倾斜角为,则下列向量是l的方向向量的是(　　) A.(1,-,-1) C.(-2,2,-2) 11.若直线l的一个法向量是,则其倾斜角为(　　) A.30°　　　　 B.60°　　　　 C.120°　　　　D.150° 12.若直线l的方向向量是(2,2cos θ),则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A. C. 能力提升练 题组一　直线的倾斜角与斜率 1.若直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A.0≤α≤<α<π C.≤α<<α≤ 2.过点A(2,1),B(m,3)的直线l的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是(　　) A.(0,2]　　　　B.(0,4) C.[2,4)　　　　D.(0,2)∪(2,4) 3.已知两点M(-1,-3),N(2,-3),直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则直线的斜率k的取值范围是　　　　　　　　.  题组二　直线斜率的综合应用 4.在平面直角坐标系xOy中,直线l过原点,n=(3,4)是l的一个法向量,则直线l的倾斜角的余弦值为(　　) A.- 5.如图,在矩形ABCD中,|BC|=|AB|, 直线AC的斜率为,则直线BC的斜率为(　　) A. 6.(多选题)若点P(x,y)在以A(-3,1), B(-1,0),C(-2,0)为顶点的△ABC的内部运动(包括边界),则的可能取值为(　　) A. 7.台球运动中的反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球撞击台边,然后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图,现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为　　　　.  8.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2). (1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量; (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的变化范围. 答案与分层梯度式解析 2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 基础过关练 1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 6.D 7.A 10.AC 11.C 12.C 1.B　A,C,D显然正确;若两条直线的倾斜角均为90°,则它们的斜率不存在,故B错误. 2.B 3.B　由题图可知,,故斜率最小的直线是l2.故选B. 4.B　设l2的倾斜角为α,则l1的倾斜角为2α. 由题意得tan 2α=,即3tan2α-8tan α-3=0, 解得tan α=3或tan α=-. 因为2α∈[0,π),所以α∈,所以tan α=3,即l2的斜率为3.故选B. 5.B　由45°<α<135°可知,k>tan 45°=1或k<tan 135°=-1,所以k的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B. 6.D　由-1≤k<,得-1≤tan α<, ∵α∈[0,π),∴α∈.故选D. 7.A　由题意得tan 120°=,解得a=0.故选A. 8.答案　0 解析　由题意得kAB=kBC,即,解得m=0. 规律方法　用斜率证明三点共线的方法 9.答案　(-∞,1)∪(1,+∞) 解析　因为以A,B,C三点为顶点能构成三角形,所以A,B,C三点不共线,所以kAB≠kAC,即,解得k≠1,故实数k的取值范围为(-∞, 1)∪(1,+∞). 10.AC　由题意得直线l的斜率为tan. 对于A,对应的斜率为-,A符合题意;对于B,对应的斜率为 ,B不符合题意;对于C,对应的斜率为,C符合题意;对于D,对应的斜率为,D不符合题意.故选AC. 11.C　由于直线l的一个法向量为,所以直线l的一个方向向量为,所以其斜率k=,所以直线l的倾斜角为120°. 12.C　由题意得,直线l的斜率k==cos θ.因为-1≤cos θ≤1,所以-1≤k≤1.又直线l的倾斜角α∈[0,π),所以0≤α≤≤α<π.故选C. 能力提升练 1.C 2.B 4.A 5.A 6.BC 1.C　由题意可知,直线l的斜率k==1+m2≥1,即tan α≥1,因为0≤α<π,所以≤α<.故选C. 2.B　画出直线倾斜角α与斜率k的关系的图象,如图, 当直线l的斜率存在,即α∈时,k>1或k<-1,且m≠2,又k=,∴<-1或>1,解得0<m<2或2<m<4. 当直线l的斜率不存在,即α=时,m=2. 综上,实数m的取值范围是(0,4).故选B. 方法技巧　已知倾斜角的范围求直线斜率的范围或已知斜率的范围求直线倾斜角的范围时,可结合直线的倾斜角与斜率关系的图象,即k=tan α,α∈的图象进行求解,特别要注意倾斜角为,即斜率不存在的情况,必要时要分类讨论. 3.答案　(-∞,-4]∪[2,+∞) 解析　如图,若直线l与线段MN相交,则k≥kMP或k≤kNP. 易得kMP==-4,所以k≥2或k≤-4. 4.A　因为n=(3,4)是直线l的一个法向量,所以直线l的一个方向向量为(4,-3),所以直线l的斜率k=-. 设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=-, 由且0°≤θ<180°,得cos θ=-.故选A. 5.A　在Rt△ABC中,∠ABC=|AB|,所以tan∠ACB=,即∠ACB=.设直线AC的倾斜角为θ,则tan θ=,直线BC的倾斜角为θ+,故kBC=tan.故选A. 6.BC　的几何意义是过动点P(x,y)与定点(1,2)(记为M)的直线的斜率,如图,由已知得kAM=, 结合图可得,,结合选项知,k的可能取值为,1. 7.答案　 数学建模　将台球中的无旋转反弹问题转化为光线的反射问题,运用的知识是①点关于线对称,求A点关于x轴的对称点A'或B点关于x轴的对称点B';②三点共线,即A',P,B三点共线或A,P,B'三点共线.再用所学公式解决问题. 解析　设P(x,0).易知A点关于x轴对称的点A'的坐标为(-2,-3),则kA'P=.∵A',B,P三点共线,∴kA'P=kA'B,即,解得x=,故点P的坐标为. 方法点拨　求解光线的反射问题通常用到对称的知识,若A点经x轴上的P点反射至B点,则A点关于x轴的对称点A'与P,B共线,B点 关于x轴的对称点B'与P,A共线. 8.解析　(1)kAB==-1, ∴直线BC的一个方向向量为(1,-1)(答案不唯一). (2)如图,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC.易知kAB=, ∴直线AD的斜率的变化范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$