2.2.1 第1课时 直线的倾斜角与斜率-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，从直线确定方法引入方向描述，定义倾斜角（范围0°≤θ<180°，唯一性），推导斜率公式（k=tanθ及两点式），建立两者对应关系，为直线方程学习搭建支架。 以泰山十八盘实例导入，培养用数学眼光观察现实的意识。通过问题链引导数学思维，从直观到抽象，例题结合图形分类讨论，强化几何直观与推理。课中辅助教学，课后练习题助学生查漏补缺，提升用数学语言表达的能力。

2．2　直线及其方程 2．2.1　直线的倾斜角与斜率 第1课时　直线的倾斜角与斜率 新课导入 学习目标 　　泰山为五岳之首，其十八盘更有名．“拔地五千丈，冲霄十八盘．”泰山之雄伟，尽在十八盘，泰山之壮观，尽在攀登中．十八盘岩层陡立，倾斜角70°～80°，在不足1 km的距离内升高400 m．你能用怎样的数学语言来描述泰山之雄伟呢？ 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 思考1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ [提示]　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 思考2　如图，在平面直角坐标系中，过同一点的直线l1，l2，l3，l′，可以引入什么量来描述它们相对于x轴的位置？ [提示]　可引入角度α1，α2，α3，α′. [知识梳理] 1．倾斜角的定义 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0°． 2．直线的倾斜角θ的取值范围为0°≤θ<180°． 3．每条直线都有唯一的倾斜角． [例1] (1)已知直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α (2)已知直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________． 【解析】　(1)如图1，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；如图2，当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. (2)因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′的倾斜角为(150°＋60°)－180°＝30°. 【答案】　(1)D　(2)30° (1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要分类讨论． (2)注意倾斜角的范围． [跟踪训练1] (1)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° 解析：选C.因为直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. (2)如图，已知直线l1的倾斜角为150°，l2⊥l1，垂足为B，l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则直线l3的倾斜角为________． 解析：由题意得，∠BCA＝30°，又l2⊥l1，l3平分∠BAC，所以直线l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°. 答案：30° 思考　日常生活中， 常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞.在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ [提示]　当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的．可以利用倾斜角的正切值，即k＝tan α(α≠)来刻画直线的倾斜程度． [知识梳理] 1．斜率的定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan__θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． 2．斜率公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在． 3．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 [例2] (对接教材例1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A(2，3)，B(4，5)； (2)C(－2，3)，D(2，3)； (3)P(3，2)，Q(3，6). 【解】　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即 tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°. (2)存在，直线CD的斜率kCD＝ ＝0，即tan α＝0，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝0°. (3)斜率不存在，倾斜角α＝90°. 求直线斜率的方法 (1)由倾斜角(或倾斜角范围)求斜率(或斜率范围)，利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率，运用斜率公式k＝(x1≠x2)求解． [跟踪训练2] (2026·保定期中)如图， 设直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则下列选项中正确的是(　　) A．k4<k3<k2<k1　　 B．k3<k4<k2<k1 C.k3<k4<k1<k2 D．k4<k3<k1<k2 解析：选C.设直线l1，l2，l3，l4的倾斜角分别为α1，α2，α3，α4，由题知，0<α1<α2<<α3<α4<π，所以k3<k4<k1<k2. 角度1　三点共线问题 [例3] 判断下列三点是否在同一条直线上： (1)A(－3，1)，B(2，－4)，C(3，0)； (2)D(5，－1)，E(－1，2)，F(－5，4). 【解】　(1)因为kAB＝＝－1，kAC＝＝－，所以kAB≠kAC，所以A，B，C三点不在同一条直线上． (2)因为kDE＝＝－，kDF＝＝－，所以kDE＝kDF.又直线DE与直线DF有公共点D，所以D，E，F三点在同一条直线上． 角度2　斜率范围问题 [例4] 经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(，2)两点的线段总有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角θ的取值范围． 【解】　(1)由题意， 在平面直角坐标系中画出线段AB及点P，连接PA，PB，如图，由斜率公式可得kPA＝＝－1，kPB＝＝， 因为l与线段AB相交， 所以kPA≤k≤kPB，所以－1≤k≤. (2)由(1)可得，－1≤tan θ≤， 由于y＝tan x在和(，π)上均单调递增， 所以直线l的倾斜角θ的取值范围为∪[，π). 已知线段AB的端点及线段外一点P，求过点P且与线段AB有交点的直线l的斜率取值范围：若直线PA，PB的斜率均存在，则解题步骤如下： (1)连接PA，PB； (2)由斜率公式求出kPA，kPB； (3)结合图形即可得出满足条件的直线l的斜率的取值范围， 提醒　如果在直线l的转动范围内有倾斜角为的直线，那么直线l的斜率的取值范围为分界线PA，PB的斜率的两边；如果没有倾斜角为的直线，那么直线l的斜率的取值范围为分界线PA，PB的斜率之间． [跟踪训练3] (1)已知M(1，3)，N(2，1)，若点P(x，y)在线段MN上，则的取值范围是________． 解析：当点P(x，y)与M(1，3)重合，则x＝1，y＝3，则＝＝1，当点P(x，y)与N(2，1)重合，则x＝2，y＝1，则＝＝，把看作动点P(x，y)与定点(－2，0)的斜率k， 再结合图象： 利用正切函数在锐角范围内是单调递增，可知k∈[，1].综上，的取值范围是[，1]. 答案：[，1] (2)已知直线l经过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(3，－2)为端点的线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为________． 解析： kPA＝＝1，kPB＝＝－1， 则可得直线PA，PB的倾斜角分别为，， 由图知，要使直线l与线段AB没有公共点，需使直线l的倾斜角θ满足<θ<， 即直线l的倾斜角的取值范围为(，). 答案：(，) 1．(教材P81练习AT2改编)若直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选C.直线的斜率为tan ＝－.故选C. 2．(多选)在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是(　　) A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan α 解析：选ABD.对于A，当直线的倾斜角为90°时，直线没有斜率，故A不正确；对于B，当直线的倾斜角为45°时，斜率为1，当直线的倾斜角为135°时，斜率为－1，故B不正确；对于C，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角是90°，当直线与y轴垂直时，直线的倾斜角是0°，故C正确；对于D，若一条直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，故D不正确． 3．(教材P82练习B T4改编)已知点P(2，3)，Q(5，t)在直线l上，且直线l的斜率为2，则t＝________． 解析：因为直线l的斜率k＝2，所以＝2，解得t＝9. 答案：9 4．(2026·广州月考)已知A(1，2)，B(2，1)，C(0，m)三点． (1)若过A，C两点的直线的倾斜角为45°，则m＝________； (2)若A，B，C三点共线，则m＝________. 解析：(1)由题意kAC＝2－m＝tan 45°＝1，解得m＝1. (2)kAB＝＝－1， 因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC， 即2－m＝－1，解得m＝3. 答案：(1)1　(2)3 1．已学习：直线的倾斜角、直线的斜率、直线的斜率与倾斜角的综合应用． 2．须贯通：每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，如倾斜角是90°的直线就没有斜率． 3．应注意：忽视倾斜角的范围，图形理解不清． 学科网（北京）股份有限公司 $