2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角、斜率、方向向量与法向量，从确定直线位置的几何要素（点和方向）导入，衔接平面直角坐标系知识，为后续直线方程学习搭建从几何直观到代数表示的支架。 其亮点在于“逐点清”结构，通过多维理解表格呈现概念，微点助解辨析易错点，微点练明巩固应用，结合典例与数形结合思维建模，培养学生几何直观与推理能力，助力学生系统掌握知识，教师可提升教学效率。

2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 1.结合图形，探索确定直线位置的几何要素:点和方向. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.理解倾斜角与斜率的关系，会求倾斜角与斜率范围. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　直线的倾斜角 逐点清(二)　直线的斜率 逐点清(三)　直线的方向向量与 法向量 课时检测 4 逐点清(四)　直线的倾斜角与斜率 的综合应用 5 逐点清(一)　直线的倾斜角 01 多维理解 定义 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点__________方向旋转到与直线重合时所转的__________记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角 范围 __________，特别地，与x轴平行或重合的直线，倾斜角为_____；与x轴垂直的直线，倾斜角为______ 按逆时针 最小正角 0°~180° 0° 90° |微|点|助|解| (1)在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. 倾斜角 α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 (2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画，是对直线的倾斜程度的刻画，是相对于x轴正向位置的刻画，如图. 微点练明 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角.(　　) (2)一条直线的倾斜角可以为-30°.(　　) (3)倾斜角为0°的直线有无数条.(　　) (4)若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1).(　　) √ √ × × 2.设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为 (　　) A.α+40° B.α-140° C.140°-α D.α+40°或α-140° 解析:根据题意，画出图象，如图所示. 因为0° ≤α<180°，显然A，B，C 未分类讨论，均不全面，不合题意. 通过画图(如图所示)可知，当0°≤ α<140°时，l1的倾斜角为α+40°； 当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°+α-180°=α-140°.故选D. √ 3.已知直线l1的倾斜角α1=15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为__________.  解析:设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC=120°，所以α2=120°+α1=135°. 135° 4.已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为_____________.  解析:有两种情况:①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 60°或120° 逐点清(二)　直线的斜率 02 多维理解 1.斜率定义及公式 定义 一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当________时，称k=_______为直线l的斜率；当θ=90°时，称直线l的斜率_________ 公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k=________，当x1=x2时，直线l的斜率不存在 θ≠90° tan θ 不存在 2.倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角 (范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 斜率 (范围) 0 (0，+∞) 不存在 (-∞，0) |微|点|助|解| (1)斜率公式中k的值与A，B两点在该直线上的位置无关. (2)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换. (3)与x轴平行或重合的直线的斜率为0. (4)与x轴垂直的直线的斜率不存在. 微点练明 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任一条直线都有倾斜角，都存在斜率.(　　) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(　　) (3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k=tan α.(　　) (4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线.(　　) × × × × 2.已知经过点P(3，m)和Q(m，-2)的直线的斜率为2，则m的值为 (　　) A.-1 B.1 C.2 D. 解析:由k==2，得m=. √ 3.已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是 (　　) A.(5，8) B.(5，+∞) C. D. 解析:由题意得>1，即(m-5)<0，解得5<m<. √ 4.若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m+2)三点共线，则实数m的值为 (　　) A.-2 B.2 C.-3 D.3 解析:因为3≠1，所以直线AB斜率存在.又A，B，C三点共线，则kAB=kAC，即=，解得m=3. √ 5.已知直线l1经过点M(-4，3)，N(8，-2)且直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的一半，则直线l2的斜率为________________.  解析:设直线l1的倾斜角为α，则直线l1的斜率k1=tan α==-，由于α∈[0，π)，所以sin α=，cos α=-，所以直线l2的斜率k2=tan===5. 5 逐点清(三)　直线的方向向量与 法向量 03 多维理解 1.直线的方向向量 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l________ _______，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. (1)a=________是所有倾斜角为0°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量，b=_______是所有倾斜角为90°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量，c=(1，1)是所有倾斜角为45°的直线的一个方向向量. 平行或 重合 (1，0) (0，1) (2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定_______. (3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则=(x2-x1，y2-y1)是直线l的一个方向向量. 共线 2.直线的方向向量与斜率的关系 (1)如果直线l的倾斜角为θ，则a=(cos θ，sin θ)为直线l的一个方向向量. 如果直线l的斜率为k，则a=(1，k)为直线l的一个方向向量. (2)如果a=(u，v)为直线l的一个方向向量，则 当u=0时，直线l的斜率_________，倾斜角为90°； 当u≠0时，直线l的斜率是存在的，且k=tan θ=. 不存在 |微|点|助|解| (1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a=(0，1)； (2)斜率存在时的直线的方向向量a=(1，k)； (3)任意直线的方向向量可表示为a=(cos θ，sin θ). 3.直线的法向量 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l______，则称向量v为直线l的一个法向量，记作________. (1)一条直线的方向向量与法向量___________. (2)当x0，y0不全为0时，若a=(x0，y0)为直线l的一个方向向量，则v = __________为直线l的一个法向量；若v =(x0，y0)为直线l的一个法向量，则a=___________为直线l的一个方向向量. 垂直 v ⊥l 互相垂直 (y0，-x0) (y0，-x0) |微|点|助|解| (1)任意直线都有方向向量和法向量. (2)直线的方向向量和法向量都不唯一. (3)直线的方向向量和法向量都是非零向量. 微点练明 1.直线l过点A(-1，3)和B(3，2)，则直线l的法向量为 (　　) A.(-1，4) B.(2，5) C.(5，-2) D.(-1，-4) 解析:由题意得=(3，2)-(-1，3)=(4，-1)为直线l的一个方向向量，∴直线l的法向量v=(-1，-4). √ 2.已知直线l的一个方向向量为(，1)，则直线l的倾斜角θ=(　　) A.0 B. C. D. 解析:由题意知，因为直线l的一个方向向量为(，1)，所以直线l的斜率k==.又k=tan θ，所以tan θ=.因为θ∈[0，π)，所以θ=. √ 3.若直线l1与l2的法向量分别为v1=(2，-3)， v2=(3，-1)，则直线l1与l2的斜率k1，k2的大小关系为 (　　) A.k1>k2 B.k1=k2 C.k1<k2 D.不确定 解析:∵ v1=(2，-3)，则l1的方向向量a1=(-3，-2)，∴斜率k1==. ∵ v2=(3，-1)，则l2的方向向量a2=(-1，-3)， ∴斜率k2==3，∴k2>k1. √ 4.若直线l的倾斜角为，方向向量为e=(-1，a)，则实数a的值是(　　) A. B.- C. D.- 解析:∵直线l的方向向量为e=(-1，a)，∴直线l的斜率为k==-a.又直线的倾斜角α=，∴斜率k=tan=-=-a，解得a=. √ 5.已知直线l经过点A(1，4)，且斜率为2，则直线l的一个方向向量为__________________.  解析:不妨令直线l的一个方向向量为(x，y)，则k=，所以可以取x=1，则y=2，此时直线l的一个方向向量为(1，2)(答案不唯一). (1，2)(答案不唯一) 逐点清(四)　直线的倾斜角与 斜率的综合应用 04 [典例]　(1)若直线l过定点P(1，0)，且与以A(-1，2)，B(2，)为端点的线段相交(包括端点)，则其倾斜角的取值范围是(　　) A.∪ B.∪ C. D. √ 解析:如图所示，因为直线l过定点P(1，0)，且与以A(-1，2)，B(2，)为端点的线段相交，可得kPB==，kPA==-1，所以直线l的斜率不存在或满足k≤-1或k≥，所以直线l的倾斜角的取值范围是. (2)已知直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为____________________.  解析:如图，∵kAP==1， kBP==-， ∴k∈(-∞，- ]∪[1，+∞). (-∞，- ]∪[1，+∞) 若将本例(2)中“P(1，0)”改为“P(-1，0)”，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围. 变式拓展 解:∵P(-1，0)，A(2，1)，B(0，)， ∴kAP==，kBP==. 如图可知，直线l斜率的取值范围为. |思|维|建|模| 数形结合法解决范围问题 　　已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率(倾斜角)的取值范围，如果直线PA，PB的斜率都存在，则步骤如下: (1)连接PA，PB； (2)由k=求出kPA，kPB； (3)结合图形可得直线l的斜率(倾斜角)的取值范围. 1.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3的 图象如图所示，则下列结论正确的是 (　　) A.k1>k2>k3 B.k3>k1>k2 C.k2>k1>k3 D.k2>k3>k1 针对训练 解析:由k=tan α，结合y=tan x的函数图象可知，直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3<0，直线l1与l2都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2>k1>0，故k2>k1>k3. √ 2.已知A(3，3)，B(-4，2)，C(0，-2). (1)求直线AB和AC的斜率； 解:由斜率公式可得直线AB的斜率kAB==，直线AC的斜率kAC==.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 解:如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以由(1)知直线AD的斜率的变化范围是. 课时检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.如图，直线l的倾斜角为 (　　) A.60° B.120° C.30° D.150° √ 解析:由题图易知l的倾斜角为45°+105°=150°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是 (　　) A.(4，2)与(-4，1) B.(0，3)与(3，0) C.(3，-1)与(2，-1) D.(-2，2)与(-2，5) √ 解析:对于D，因为x1=x2=-2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知倾斜角为的直线过A(1，0)，B(0，m)，则m=(　　) A. B.- C.- D. √ 解析:由题意得=tan ，解得m=-，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.过A(0，4)，B(，1)两点的直线的倾斜角为(　　) A.-60° B.60° C.120° D.150° √ 解析:因为直线过点A(0，4)，B(，1)，所以kAB==-.设直线的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)，则tan θ=-，解得θ=120°，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.在平面直角坐标系内，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为 (　　) A.-2 B.0 C. D.2 √ 解析:由题意知，△ABC的边AC，AB所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以边AC，AB所在直线的斜率之和为tan 60°+tan 120°= +(-)=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.若三点A(2，-3)，B(4，3)，C(5，b)在同一直线上，则实数b等于 (　　) A.-12 B.-6 C.6 D.12 √ 解析:因为kAB=kAC，又kAB==3，kAC==，所以3=，即b=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在的直线的方向向量为a=(-，0)，则AC与AB所在直线的斜率之和为(　　) A.-2 B.0 C. D.2 √ 解析:∵a=(-，0)，∴BC所在直线的斜率为0. 又△ABC为等边三角形， ∴AB与AC所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°， ∴kAB+kAC=tan 60°+tan 120°=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若直线l的法向量为v=(1，a2+1)，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 (　　) A. B. C. D. √ 解析:∵直线l的法向量为v=(1，a2+1)， ∴直线l的方向向量a=(a2+1，-1)， k==-.又a2+1≥1，∴0<≤1. ∴k∈[-1，0)，∴tan θ∈[-1，0).∵θ∈[0，π)，∴θ∈. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，-1)，B(2，0)，过点A的直线交x轴于点C(a，0)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则a= (　　) A. B. C.1 D. √ 解析:设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，且tan 2α =，由题可知tan 2α=kAC=，tan α=kAB=，所以=， 解得a=.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.直线l过点M(-1，2)，且与以P(-4，-1)，Q(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A. 　　　　B.(-∞，-2]∪[1，+∞) C.[-2，1] 　　　　D.∪[1，+∞) √ 解析:∵直线l过点M(-1，2)，且与以P(-4，-1)，Q(3，0)为端点的线段相交，如图所示，∴所求直线l的斜率k满足 kPM≤k或k≤kMQ.又kPM==1，kMQ==-， 则k≥1或k≤-，∴k∈∪[1，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.若斜率为2的直线经过点A(-2，3)，B(2m+1，1)，则实数m=__________.  解析:kAB===2，解得m=-2. -2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.若经过点P(1-a，1)和Q(2a，3)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是___________.  解析:因为直线的倾斜角是钝角，所以斜率<0，解得a<.所以实数a的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为_____________.  解析:由题意知，kPA=-1.若点P在x轴上，则设P(m，0)(m≠1)，则=-1，解得m=3；若点P在y轴上，则设P(0，n)，则=-1，解得n=3.故点P的坐标为(3，0)或(0，3). (3，0)或(0，3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知直线l经过两点A(-1，m)，B(m，1)，当m取何值时， (1)直线l与x轴平行?(2分) 解:若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k==0，∴m=1. (2)直线l与y轴平行?(2分) 解:若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m=-1. (3)直线l的方向向量的坐标为(3，1).(2分) 解:直线l的方向向量的坐标为(3，1)，故直线l的斜率k=，即=，解得m=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (4)直线的倾斜角为45°?(2分) 解:由题意可知，直线l的斜率k=1，即=1，解得m=0. (5)直线的倾斜角为锐角?(2分) 解:由题意可知，直线l的斜率k>0，即>0，解得-1<m<1，故m的取值范围为(-1，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知a>0，b>0，且向量u=(a，3)和v =(1-b，2)都是直线l的法向量.求+的最小值. 解:∵u，v都是直线l的法向量，则u∥v，∴2a-3(1-b)=0， 即2a+3b=3，∴(2a+3b)=1，且a>0，b>0. ∴+=·(2a+3b)==+2 ≥+2×2=，当且仅当=，即a=b=时，等号成立. ∴+的最小值为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $