2.2.1 课时1 直线的倾斜角与斜率 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

直线的倾斜角与斜率 第1课时 学习目标 1.理解直线的倾斜角与斜率的概念； 2.理解直线斜率的几何意义，掌握倾斜角与斜率的对应关系； 3.运用过两点的直线的斜率公式，判定三点共线. 学习活动 目标一：理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握倾斜角与斜率的对应关系. 任务1：理解直线的倾斜角的概念. 问题：如图所示，过同一点的直线l1，l2，l3，l4，仔细观察它们彼此之间有什么不同？ 思考：若直线坐标轴相交 (如图l1，l2，l4与x轴相交)，那么直线的倾斜程度和什么有关？ 【新知讲解】 倾斜角：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角. 注意： （1）平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角； （2）倾斜角范围：0°≤ θ < 180°； （3）当直线l与x轴平行或重合时，倾斜角为 0°； 各直线倾斜角如图所示： l1：θ1 = 90°，l2：90°< θ2 < 180° ，l3：θ3 = 0°，l4：0°< θ4 < 90° . 任务2：理解直线斜率的概念，掌握倾斜角与斜率的对应关系 问题1：如图所示，分别写出以下直线的倾斜角. （1）经过A (-1，-1)，B (3，-1) 的直线l1； （2）经过C (2，1)，D (2，2) 的直线l2； （3）经过E (-1，0)，F (1，2) 的直线l3. 思考：若直线l4与x轴相交，但其倾斜角不为特殊角，则该如何表示其倾斜角？ 【归纳小结】 一般地，如果A (x1，y1)，B (x2，y2) 是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则： （1）当y1 = y2时 (此时必有x1 ≠ x2)，θ = 0°； （2）当x1 = x2时 (此时必有y1 ≠ y2)，θ = 90°； （3）当x1 ≠ x2且y1 ≠ y2时，作AC∥x轴，BC∥y轴，AC，BC相交于C点，如图所示，此时 (该式在x1 ≠ x2且y1 = y2时也成立). 【新知讲解】 斜率：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则：当θ ≠ 90°时，称k = tan θ 为直线l的斜率；当θ = 90°时，称直线l的斜率不存在. 若A (x1，y1)，B (x2，y2)是直线l上两个不同的点，则：当x1 ≠ x2时，直线l的斜率为；当x1 = x2时，直线l的斜率不存在. 注：平面内任意直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都有斜率. 问题2：已知直线l经过点A (-1，3) 与B (2，0)，求直线l的斜率k与倾斜角θ. 问题3：已知平面直角坐标系中的四条直线l1，l2，l3，l4，如图所示，设它们的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，θ4，而且斜率分别为k1，k2，k3，k4，分别将倾斜角和斜率按照从小到大的顺序排列. 思考：说说“直线斜率会随着倾斜角的增大而增大”这句话对吗？ 【归纳小结】 斜率随倾斜角变化的规律： （1）当直线的倾斜角为0时，直线的斜率为0； （2）当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率为正数，且此时斜率随倾斜角的增大而增大； （3）当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在； （4）当直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率为负数，且此时斜率随倾斜角的增大而增大. 练一练：根据下列直线的倾斜角α，判断直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率的值. （1）α = 0°； （2）α = 60°； （3）α = 90°； （4）α = 150°. 目标二：运用过两点的直线的斜率公式，判定三点共线. 任务：运用过两点的直线的斜率公式，探究三点共线的充要条件. 问题1：如图所示，若A，B，C三点共线，则直线AB，AC，BC的倾斜角和斜率分别有什么关系？ 【归纳小结】 平面直角坐标系中三个不同的点共线的充要条件： 倾斜角：任意两点确定的直线的倾斜角都相等； 斜率：任意两点确定的直线的斜率，要么都不存在，要么都相等. 问题2：判断下列图中的各点是否共线. （1）如图①，A (-2，0)，B (0，2)，C (1，3)，三点是否共线； （2）如图②，D (-2，0)，E (-1，2)， F(0，3)，三点是否共线. 练一练：已知A(-2，-1)，B(0，-3)，C(1，-4)，D(2，-6)，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 学习总结 任务：回答下列问题，构建本课知识导图. 1.简述倾斜角与斜率的对应关系； 2.任意直线都有倾斜角，但任意直线都存在斜率吗？说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线的倾斜角与斜率 第1课时 学习目标 1.理解直线的倾斜角与斜率的概念； 2.理解直线斜率的几何意义，掌握倾斜角与斜率的对应关系； 3.运用过两点的直线的斜率公式，