2.2.1 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

**基本信息** 聚焦解析几何初步，以"基础巩固-综合应用-探究拓展"分层设计，通过坐标运算、距离公式应用到动态几何问题，培养运算能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|数轴坐标、中点公式、两点距离|5选择+3填空，直接套用公式，强化运算能力| |提升层|对称点距离、直角三角形判定、平行四边形顶点|1多选+1解答+2选择+1填空，综合公式应用，发展推理意识| |拓展层|勾股定理证明、动态几何最值|2解答题，结合图形变换与最值探究，培养创新意识与空间观念|

1．已知数轴上点M，N，P的坐标分别为3，－1，－5，则＋＝(　　) A．－4 B．4 C．－12 D．12 解析：选A.＋＝＝－1－3＝－4. 2．已知点P的纵坐标为1，则点P分别关于点A(－1，0)，点B(0，5)的对称点间的距离为(　　) A． B．2 C．4 D．4 解析：选B.设点P(m，1)，则点P关于点A(－1，0)，B(0，5)的对称点分别为(－2－m，－1)，(－m，9)，故所求距离为＝2. 3．已知△ABC的顶点为A(0，4)，B(3，－2)，C(5，4)，则BC边上的中线长为(　　) A．4 B．5 C．3 D．4 解析：选B.设BC的中点为D，因为B(3，－2)，C(5，4)，所以D(4，1)，所以BC边上的中线长|AD|＝＝5. 4．已知点A(3，3a＋3)与点B(a，3)之间的距离为5，则实数a的值为(　　) A．－1 B． C．－1或 D．1或－ 解析：选C.因为点A(3，3a＋3)与点B(a，3)之间的距离为5，可得|AB|＝＝ ＝5，整理得5a2－3a－8＝0，解得a＝－1或a＝. 5．已知P，Q为直线y＝x上的两点，且P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|＝(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 解析：选B.由题意可得P，Q两点的坐标分别为P(1，1)，Q(5，5)， 所以|PQ|＝＝4. 6．(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x，－1)与点(－1，2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 解析：选BD.由题意，可得＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离． 7．已知点A的坐标为(－8，12)，线段AB的中点坐标为(－1，1)，则点B的坐标为________． 解析：设点B(x，y)， 由题意得解得 即点B的坐标为(6，－10). 答案：(6，－10) 8．若x轴正半轴上的点M到原点的距离与到点(5，－3)的距离相等，则点M的坐标为_______________________． 解析：设M(x，0)(x>0)，则x2＋02＝(x－5)2＋(0＋3)2，解得x＝，所以点M的坐标为. 答案： 9．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝________． 解析：设A(a，0)，B(0，b)，由中点坐标公式，得解得 所以|AB|＝＝2. 答案：2 10．(13分)已知A(6，1)，B(0，－7)，C(－2，－3). (1)求证：△ABC是直角三角形；(6分) (2)求△ABC的外心的坐标．(7分) 解：(1)证明：因为|AB|2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100， |BC|2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20， |AC|2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80. 所以|AB|2＝|BC|2＋|AC|2， 所以C＝90°， 故△ABC为直角三角形． (2)由(1)可知△ABC为直角三角形，所以其外心是斜边AB的中点，所以外心的坐标为，即(3，－3). 11．已知直线上两点A(a，b)，B(c，d)，且－＝0，则(　　) A．原点一定是线段AB的中点 B．A，B两点一定都与原点重合 C．原点一定在线段AB上，但不是线段AB的中点 D．原点一定在线段AB的垂直平分线上 解析：选D.由－＝0，得＝，即A，B两点到坐标原点的距离相等． 12．(多选)已知平行四边形的三个顶点坐标分别为(3，－2)，(5，2)，(－1，4)，则第四个顶点的坐标可能是(　　) A．(9，－4) B．(1，8) C．(－3，0) D．(1，－3) 解析：选ABC.设第四个顶点的坐标为(x，y)，然后分情况讨论： ①若点(3，－2)，(5，2)为平行四边形的对顶点，则有＝，＝，解得x＝9，y＝－4，即第四个顶点的坐标为(9，－4)； ②若点(5，2)，(－1，4)为对顶点，同理可求第四个顶点的坐标为(1，8)； ③若点(3，－2)，(－1，4)为对顶点，同理可求第四个顶点的坐标为(－3，0).故第四个顶点的坐标不可能是(1，－3).故选ABC. 13．已知点A(1，1)，B(4，3)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为________． 解析： 如图所示，作点A关于x轴的对称点A′(1，－1)， 则|PA′|＝|PA|. 所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|. 因为|A′B|＝＝5， 所以|PA|＋|PB|≥5，当A′，B，P三点共线时，等号成立， 故|PA|＋|PB|的最小值为5. 答案：5 14．(13分)已知△ABC是直角三角形，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. 证明： 以Rt△ABC的A点为原点，直角边AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c). 由两点间距离公式得|AB|2＝(b－0)2＋(0－0)2＝b2，|AC|2＝(0－0)2＋(0－c)2＝c2，|BC|2＝(b－0)2＋(0－c)2＝b2＋c2， 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. 15. (13分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，|AC|＝2，|BC|＝1，点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，求点B到原点O的最大距离． 解：取AC的中点D，连接BD，OD，BO， 所以|OD|＝|AC|＝1，又因为∠ACB＝90°， 所以|BD|＝＝， 由图象可知|BO|≤|BD|＋|DO|＝＋1， 当B，O，D三点共线时，等号成立， 所以点B到原点O的最大距离是＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $