第二章 再练一课(范围：§2.1～§2.3)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

再练一课(范围：§2.1～§2.3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．已知直线l经过两点O(0,0)，A(1，)，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　依题意，得kOA＝＝， 所以直线l的倾斜角为， 所以直线m的倾斜角为， 所以直线m的斜率为tan ＝－. 2．直线l1：x＋ay＋3＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋a＝0互相平行，则a的值为(　　) A．－1 B．3 C．3或－1 D．－3 答案　A 解析　∵直线l1：x＋ay＋3＝0和l2：x＋3y＋a＝0互相平行， 由于l2的斜率存在，故l1的斜率也一定存在， ∴k1＝－，k2＝， 故k1＝k2， 即－＝，解得a＝3或a＝－1， 当a＝3时，两条直线重合， ∴a＝－1. 3．若直线l与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则|AB|等于(　　) A．1 B. C. D．2 答案　C 解析　如图所示，设直线l交x轴于点M， 由于直线l与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B， 则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2， ∵|BC2|＝2＝2|AC1|，∴C1为MC2的中点， ∴A为BM的中点，∴|MC1|＝|C1C2|＝2， 由勾股定理可得|AB|＝|MA|＝＝. 4．在平面直角坐标系xOy中，直线xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆O：x2＋y2＝的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 答案　D 解析　因为圆心到直线的距离d＝＝≤，当且仅当α＝kπ＋(k∈Z)时，等号成立，又圆O：x2＋y2＝的半径为，所以直线与圆相交或相切． 5．若直线l1：2x－y＋3＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线为l2，则l2的方程为(　　) A．2x＋y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0 C．x＋y＝0 D．x－2y＋3＝0 答案　D 解析　联立解得即l1与l的交点为(－1,1)． 又点A(0,3)在l1上， 设A关于l的对称点为A1(a，b)， 则解得即A1(1,2)， 所以直线l2的斜率k＝＝， 从而直线l2的方程为y－2＝(x－1)， 即x－2y＋3＝0. 6．已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：x＋y＋2＝0，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.则直线AB过定点(　　) A. B．(－1，－1) C. D. 答案　A 解析　根据题意，点P为直线l：x＋y＋2＝0上的动点，设点P的坐标为(t，－2－t)，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B， 则PA⊥AC，PB⊥BC，如图所示，则点A，B在以PC为直径的圆上，又C(0,0)，P(t，－2－t)，则以PC为直径的圆的方程为(x－t)x＋(y＋2＋t)y＝0，即x2＋y2－tx＋(t＋2)y＝0， 则有可得1－tx＋(t＋2)y＝0，即1＋2y－t(x－y)＝0，即直线AB的方程为1＋2y－t(x－y)＝0，则由解得故直线AB过定点. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论错误的是(　　) A．不存在k，使得l2的倾斜角为90° B．对任意的k，l1与l2都有公共点 C．对任意的k，l1与l2都不重合 D．对任意的k，l1与l2都不垂直 答案　AC 解析　存在k＝0，使得l2的方程为x＝0，其倾斜角为90°，故A错误； 直线l1：x－y－1＝0过点(0，－1)，直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)⇒k(x＋y＋1)＋x＝0过定点(0，－1)，故B正确； 当k＝－时，直线l2的方程为x－y－＝0，即x－y－1＝0，l1与l2重合，故C错误； 两直线垂直，则1×(k＋1)＋(－1)×k＝0，方程无解，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确． 8．若点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16上，则(　　) A．两个圆的圆心所在直线的斜率为－ B．两个圆的公共弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0 C．两圆的公切线有两条 D．|PQ|的最小值为0 答案　AD 解析　圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝4. 两个圆的圆心所在直线的斜率为＝－，所以A选项正确；因为|C1C2|＝＝5，r1＋r2＝5，所以两圆外切，故没有公共弦，两圆的公切线有三条，当点P、点Q运动到两圆的切点时，|PQ|取最小值0，所以BC选项不正确，D选项正确． 9．若A，B是平面内不重合的两定点，动点P满足＝k(k>0，且k≠1)，则点P的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足＝2，点P的轨迹为圆C，则(　　) A．圆C的方程为(x－5)2＋y2＝16 B．设动点P(m，n)，则m2＋n2－6m－8n的最大值为20 C．若点P不在x轴上，圆C与线段AB交于点Q，则PQ平分∠APB D.·的最大值为72 答案　ACD 解析　设P(x，y)，由＝2得(x－5)2＋y2＝16，故A正确； 由题可知m2＋n2－6m－8n＝(m－3)2＋(n－4)2－25，故m2＋n2－6m－8n的最大值为圆C上的点到点(3,4)的距离的最大值的平方减去25，即圆心C到点(3,4)的距离加上圆C的半径后，再平方再减去25即可，因为圆C上动点P到点(3,4)的距离最大值为4＋2，所以(m－3)2＋(n－4)2－25的最大值为16＋11，故B不正确； 因为Q为圆C与线段AB的交点，所以Q(1,0)， 因为＝＝2，由角平分线的性质知PQ平分∠APB，故C正确； 因为·＝||||·cos∠APB，＝2， 所以·＝2||2·cos∠APB， 当A，P，B，C四点共线， 且P在线段AB外时cos∠APB＝1， 且|PB|有最大值为6， 所以·的最大值为·＝2||2＝72，故D正确． 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．已知圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点P(a，b)，则a2＋b2的最小值是________． 答案　30－10 解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25， ∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5， ∴原点到圆心的距离为， 则a2＋b2的最小值为(5－)2＝30－10. 11．已知圆M的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，过点P(0,4)的直线l与圆相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC，弦长最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为________． 答案　40 解析　点P(0,4)在圆M内，过点P的直径是最长弦， 过点P与该直径垂直的弦是最短弦， 圆M的方程化为(x－3)2＋(y－4)2＝25， 则|BD|＝2r＝10， 圆心为M(3,4)，则|PM|＝3， 所以|AC|＝2＝8， 所以四边形ABCD的面积S＝|AC|·|BD|＝4×10＝40. 12．已知圆C：x2＋y2＝8，MN为圆C的动弦，且满足|MN|＝4，G为弦MN的中点，两动点P，Q在直线l：y＝x－4上，且|PQ|＝4，当MN运动时，∠PGQ始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标的取值范围是________________． 答案　(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析　由题意，可得圆心坐标为C(0,0)，半径r＝2，因为|MN|＝4，G为弦MN的中点，所以|CG|＝2，又由两动点P，Q在直线l：y＝x－4上，且|PQ|＝4，设PQ的中点E(a，a－4)，因为当M，N在圆C上运动时，∠PGQ恒为锐角，所以以C为圆心，以2为半径的圆与以E为圆心，2为半径的圆外离，则>2＋2，即a2－4a>0，解得a<0或a>4，所以线段PQ中点的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)． 四、解答题(共37分) 13．(10分)已知两个条件：①圆心C在直线x－2y＝0上，直线4x－3y＝0与圆C相交所得的弦长为4；②圆C过圆x2＋y2－6x－6y＋8＝0和圆x2＋y2－4x－8y＋4＝0的公共点，在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 问题：是否存在唯一的圆C过点A(6,0)且________，并说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　选择①：不存在唯一的圆C，理由如下： 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 因为圆心C在直线x－2y＝0上， 所以a－2b＝0，① 圆心到直线4x－3y＝0的距离d＝， 则2＋4＝r2，② 又因为圆C过点A(6,0)，则(6－a)2＋b2＝r2，③ 由①②③解得a＝4，b＝2，r2＝8或a＝8，b＝4，r2＝20. 故不存在唯一的圆C. 选择②：存在唯一的圆C，理由如下： 设圆C的方程为x2＋y2－6x－6y＋8＋λ(x2＋y2－4x－8y＋4)＝0， 又因为圆C过点A(6,0)，则8＋16λ＝0， 即λ＝－， 所以圆的方程为x2＋y2－8x－4y＋12＝0， 即(x－4)2＋(y－2)2＝8， 故存在唯一的圆C. 14．(12分)已知直线l的方程为(m＋2)x－(m＋1)y－3m－7＝0，m∈R. (1)求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；(4分) (2)若直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程(8分)． (1)证明　直线l的方程为(m＋2)x－(m＋1)y－3m－7＝0，m∈R，即m(x－y－3)＋2x－y－7＝0， 联立解得 可得直线l恒过定点P(4,1)． (2)解　直线l在x轴、y轴上的截距相等， 令x＝0，解得y＝－； 令y＝0，解得x＝， ∴－＝(m≠－1且m≠－2)， 解得m＝－或m＝－， ∴直线l的方程为x＋y－＝0或－x＋y＝0，即x＋y－5＝0或x－4y＝0. 15.(15分)已知圆C的圆心坐标为C(3,0)，且该圆经过点A(0,4)，如图． (1)求圆C的标准方程；(5分) (2)直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．(10分) (1)解　依题意，圆C的半径|CA|＝＝5， 所以圆C的标准方程是(x－3)2＋y2＝25. (2)证明　当直线l的斜率不存在时，设M(a，b)，N(a，－b)，由直线AM，AN的斜率之积为2，得·＝2，即b2＝16－2a2， 又由点M，N在圆C上，得(a－3)2＋b2＝25，消去b得a2＋6a＝0， 解得a＝0(舍去)或a＝－6， 当a＝－6时，b2<0，因此无解； 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋t， 由消去y并整理得(k2＋1)x2＋2(kt－3)x＋t2－16＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝， x1x2＝，直线AM的斜率kAM＝，直线AN的斜率kAN＝， 则kAM·kAN＝· ＝k2＋k(t－4)·＋ ＝k2＋k(t－4)·＋ ＝ ＝＝2， 整理得t＝6k－12， 此时直线l：y＝k(x＋6)－12过定点(－6，－12)， 所以直线l过定点，该定点坐标是(－6，－12)． 学科网（北京）股份有限公司 $