2.5 空间中的距离-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“空间中的距离”核心知识点，系统梳理两点间距离、点到直线距离、点到平面距离及平行直线与平面、平行平面间距离的概念与求法，构建从平面到空间、从定义到向量坐标运算的学习支架。 资料以蔬菜大棚修公路问题导入培养数学眼光，通过知识梳理与例题结合向量法、坐标法发展数学思维，即时练和跟踪训练辅助课中教学与课后巩固，助力学生提升空间观念和应用意识。

1．2.5　空间中的距离 新课导入 学习目标 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A处修建一个蔬菜存储库．在公路上选择一个点，修一条公路到达A点，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？ 1.会求空间中两点间的距离． 2.了解点到直线的距离，并会求点到直线的距离． 3.理解并掌握点到平面的距离的概念，会求点到平面的距离． 4.了解相互平行的直线与平面、平面与平面之间的距离． 思考　在空间中，两点间的距离有何性质？ [提示]　两点间的距离在两点间所有连线中最短． [知识梳理] 空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长．可借助向量构造三角形，利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解空间中两点之间的距离． [即时练] 1．若A(x，1－x，x－2)，B(0，x＋1，2x＋1)，当||取最小值时，x的值为(　　) A.0　　　B．　　　C．－　　　D． 解析：选C.由A，B两点坐标可得 ＝(－x，2x，x＋3)，所以可得||＝ ＝ ＝， 由二次函数性质可知，当x＝－时，||取最小值．故选C. 2．已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使平面ABC与平面ADC垂直，则点B，D之间的距离为________． 解析：方法一： 如图，过点D和点B分别作DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F， 则由已知条件可知AC＝5， 所以DE＝＝，BF＝＝. 因为Rt△ADE∽Rt△ACD， 所以AE＝＝＝CF， 所以EF＝5－2×＝. 因为＝＋＋， 所以||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.因为平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DE⊂平面ADC，DE⊥AC，所以DE⊥平面ABC，又BF⊂平面ABC，所以DE⊥BF，即⊥， 所以||2＝2＋2＋2＝. 故点B，D之间的距离是. 方法二：过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，过点E作FB的平行线EP，由方法一知DE⊥平面ABC，所以DE⊥EF，DE⊥EP，以E为原点，EP，EC，ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．由方法一知DE＝FB＝，EF＝，所以D(0，0，)，B(，，0)， 所以＝(，，－)， 所以||＝＝. 故点B，D之间的距离是. 答案： 计算两点间的距离的两种方法 (1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用AB＝ ＝求解． (2)用坐标法求向量的模(或两点间的距离)，此法适用于求解的图形易建立空间直角坐标系时． 思考　在空间中，点到直线的距离有何性质？ [提示]　点到直线的距离在该点与直线上任意一点的连线中最短． [知识梳理] 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离． 点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度． 如图所示，点A是直线l外一点，若AB是直线l的垂线段，则AB的长度就是点A到直线l的距离，这一距离也等于||. [例1] (对接教材例2)已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 【解】　 方法一：以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)， 所以直线A1C1的方向向量 ＝(－4，3，0)， 设E满足＝λ(0≤λ≤1)，且BE⊥A1C1， 则＝－＝(－4λ，3λ，0)－(－4，0，－1)＝(－4λ＋4，3λ，1)， 又因为BE⊥A1C1，所以·＝0，即(－4λ＋4)×(－4)＋3λ×3＋1×0＝0， 解得λ＝，因此＝(，，1)，从而点B到直线A1C1的距离为||＝＝. 方法二：由方法一可知，＝(4，0，1)，＝(－4，3，0)， 直线A1C1的单位方向向量为μ＝(－，，0)， 所以点B到直线A1C1的距离为d＝＝＝＝. 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)找出所求点P与直线上点A所构成的向量； (4)利用公式d＝＝，计算点到直线的距离． [跟踪训练1] (1)已知过坐标原点O的直线l的方向向量u＝(1，1，1)，则点P(1，2，3)到直线l的距离是(　　) A．2 B． C． D． 解析：选D.由题意可知，在直线l上的投影的数量为＝＝2，所以点P(1，2，3)到直线l的距离d＝＝.故点P(1，2，3)到直线l的距离是. (2)(2026·德州月考)已知点A(1，0，2)与点B(1，1，1)，若z轴上一点M到直线AB的距离为1，则点M的坐标为__________． 解析：设点M(0，0，z)，则＝(－1，0，z－2)，＝(0，1，－1)， 则方向上的单位向量为e＝， 由点M到直线AB的距离为 d＝＝＝1， 解得z＝2，故点M(0，0，2). 答案：(0，0，2) 思考1　点到平面的距离是如何定义的？ [提示]　过点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段的长度为点到平面的距离． 思考2　 如图，过点P作PQ⊥平面α，垂足为Q，平面α内的点A异于点Q，则PQ＝与平面α内的点A的位置有关吗？ [提示]　无关． [知识梳理] 1．定义：给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离．点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度． 2．求法：一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝． [例2] (对接教材例3)在三棱锥 P­ABC中，AB＝BC＝PC＝PB＝2，∠ABC＝90°，E为AC的中点，PB⊥AC. (1)求证：平面PBE⊥平面ABC； (2)求点C到平面PAB的距离． 【解】　(1)证明：因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC. 又PB⊥AC，且PB∩BE＝B，PB，BE⊂平面PBE，故AC⊥平面PBE. 又AC⊂平面ABC，所以平面PBE⊥平面ABC. (2)由(1)知AC⊥平面PBE.因为PE⊂平面PBE，所以AC⊥PE. 在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E为AC的中点，所以BE＝AE＝EC＝. 又PC＝2，所以PE＝，又PB＝2， 所以PB2＝PE2＋BE2，即PE⊥BE，故AC，BE，PE两两垂直． 以E为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，C(－，0，0)， 所以＝(－，0，)，＝(0，－，)，＝(－，0，－)， 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则 令z＝1，得n＝(1，1，1). 则点C到平面PAB的距离为＝＝. 用向量法求点到平面的距离的步骤 [跟踪训练2] 如图， 在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系． (1)求平面AB1C的法向量； (2)求点B到平面AB1C的距离． 解：(1)由题可知A(0，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，0，2)，则＝(2，0，2)，＝(0，2，0)， 设平面AB1C的法向量为m＝(x，y，z)， 则所以y＝0，取x＝1，得z＝－1，则m＝(1，0，－1)， 即平面AB1C的一个法向量为m＝(1，0，－1)(答案不唯一，写出与m平行的向量即可). (2)点B(2，0，0)，则＝(2，0，0)，由(1)知，平面AB1C的一个法向量为m＝(1，0，－1)， 则点B到平面AB1C的距离为d＝＝＝. 知识点四　直线到平面的距离、平面到平面的距离 [知识梳理] 1．当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离． 2．当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． 3．与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线． 公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段． 两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长． [例3] 如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N分别是OA，BC的中点．求直线MN与平面OCD之间的距离． 【解】　 因为OA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，以A为原点，AB，AD，AO所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2，2，0)，D(0，2，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(2，1，0)， 设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)， ＝(2，0，0)，＝(0，－2，2)， 则 取y＝1，可得n＝(0，1，1)，＝(2，1，－1)， ·n＝0，因为MN⊄平面OCD，所以MN∥平面OCD，所以直线MN与平面OCD之间的距离为点N到平面OCD的距离． ＝(0，1，0)，点N到平面OCD的距离d＝＝＝，所以直线MN与平面OCD之间的距离为. 母题探究　在本例中，再取AD的中点R，求平面MNR与平面OCD之间的距离． 解：由例题可知，R(0，1，0)， ＝(－2，0，0)，·n＝0， 因为NR⊄平面OCD， 所以NR∥平面OCD， 因为MN∩NR＝N，MN，NR⊂平面MNR，所以平面MNR∥平面OCD， 所以平面MNR与平面OCD之间的距离即为点N到平面OCD的距离，即为. 求直线到平面、两平面之间的距离的前提是线面、面面平行，二者均可转化为求点到平面的距离．方法如下： (1)如果直线l与平面α平行，那么可在直线l上任取一点P，将直线l到平面α的距离转化为点P到平面α的距离． (2)如果两个平面α，β平行，那么可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面之间的距离转化为点P到平面β的距离． [跟踪训练3] 在棱长 为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)证明：平面BFC1∥平面AED1； (2)求平面BFC1到平面AED1的距离． 解：(1)证明：由题意知，A(1，0，0)，B(1，1，0)，E，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，F， ＝，＝，＝(－1，0，1)，＝(－1，0，1)，所以∥，∥， 即BF∥ED1，BC1∥AD1.又BF⊄平面AED1，ED1⊂平面AED1， 所以BF∥平面AED1， 同理得BC1∥平面AED1.又BF∩BC1＝B，BF，BC1⊂平面BFC1， 所以平面BFC1∥平面AED1. (2)设平面AED1的法向量为n＝(x，y，z)，＝， 所以令x＝1，则y＝2，z＝1，所以n＝(1，2，1). 由平面与平面平行的性质可知，平面BFC1到平面AED1的距离即为点F到平面AED1的距离，由(1)得＝(1，0，1)， 所以点F到平面AED1的距离d＝＝， 即平面BFC1到平面AED1的距离为. 1．空间内有三点P(－1，2，3)，E(2，1，1)，F(1，2，2)，则点P到直线EF的距离为(　　) A． B． C．2 D．2 解析：选A.因为＝(－1，1，1)，所以方向上的单位向量为u＝(－1，1，1). 因为＝(3，－1，－2)， 所以点P到直线EF的距离为＝＝. 2．(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到平面α的距离为，则z＝(　　) A．－16 B．－4 C．4 D．16 解析：选AC.由题意得＝(－1，－2，z)，又n＝(－2，－2，1)，则点P到平面α的距离d＝＝＝＝，解得z＝4或z＝－16.故选AC. 3．已知AB∥平面α，平面α的一个法向量为n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上的点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________． 解析：因为AB∥平面α，所以直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离，易知＝(1，2，0)，所以点A到平面α的距离d＝＝＝，即直线AB到平面α的距离为. 答案： 4．(教材P61T5改编)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为线段DD1，BB1，AB的中点，求平面AEB1与平面C1FG之间的距离． 解：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C1(0，1，1)，A(1，0，0)， B(1，1，0)，B1(1，1，1)，E， F，G. 所以＝，＝(0，1，1)，＝，＝(0，－，－)，＝，故＝，＝－2.即AE∥FC1，AB1∥FG. 又AE∩AB1＝A，FC1∩FG＝F，AE，AB1⊂平面AEB1，FC1，FG⊂平面C1FG，所以平面AEB1∥平面C1FG，即平面AEB1与平面C1FG之间的距离等价于点G到平面AEB1的距离． 设平面AEB1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝2，则x＝1，y＝－2，所以n＝(1，－2，2).故点G到平面AEB1的距离为＝＝.即平面AEB1与平面C1FG之间的距离为. 1．已学习：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离以及平行直线、平行平面间的距离． 2．须贯通：利用空间向量求空间距离体现数形结合与转化化归的思想方法． 3．应注意：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用． 学科网（北京）股份有限公司 $