2.5 空间中的距离-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

1．2.5　空间中的距离

 

 

思考　在空间中，两点间的距离有何性质？

[提示]　两点间的距离在两点间所有连线中最短．

[知识梳理]

空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长．可借助向量构造三角形，利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解空间中两点之间的距离．

[即时练]

1．若A(x，1－x，x－2)，B(0，x＋1，2x＋1)，当||取最小值时，x的值为(　　)

A.0　　　B．　　　C．－　　　D．

解析：选C.由A，B两点坐标可得 ＝(－x，2x，x＋3)，所以可得||＝

＝

＝，

由二次函数性质可知，当x＝－时，||取最小值．故选C.

2．已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使平面ABC与平面ADC垂直，则点B，D之间的距离为________．

解析：方法一：

如图，过点D和点B分别作DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，

则由已知条件可知AC＝5，

所以DE＝＝，BF＝＝.

因为Rt△ADE∽Rt△ACD，

所以AE＝＝＝CF，

所以EF＝5－2×＝.

因为＝＋＋，

所以||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.因为平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DE⊂平面ADC，DE⊥AC，所以DE⊥平面ABC，又BF⊂平面ABC，所以DE⊥BF，即⊥，

所以||2＝2＋2＋2＝.

故点B，D之间的距离是.

方法二：过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，过点E作FB的平行线EP，由方法一知DE⊥平面ABC，所以DE⊥EF，DE⊥EP，以E为原点，EP，EC，ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．由方法一知DE＝FB＝，EF＝，所以D(0，0，)，B(，，0)，

所以＝(，，－)，

所以||＝＝.

故点B，D之间的距离是.

答案：

计算两点间的距离的两种方法

(1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用AB＝ ＝求解．

(2)用坐标法求向量的模(或两点间的距离)，此法适用于求解的图形易建立空间直角坐标系时．

思考　在空间中，点到直线的距离有何性质？

[提示]　点到直线的距离在该点与直线上任意一点的连线中最短．

[知识梳理]