1.2.5 空间中的距离(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦高中数学“空间中的距离”核心知识点，系统梳理两点间距离、点到直线、点到平面、平行直线及平行平面间距离的定义，重点阐述向量求法原理，构建从平面距离到空间距离的知识支架，帮助学生理解距离转化关系（如线面距、面面距转化为点面距）。 该资料以生活中限高杆问题引入培养数学眼光，通过题型分类（四点距离、点线距等）、一题多解及母题探究发展数学思维，用向量公式精准表达距离培养数学语言能力。课中辅助教师分层教学，课后练习题助力学生查漏补缺，强化知识应用。

1.2.5　空间中的距离 课标 要求 1.了解空间中的距离（直观想象）. 2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用（数学运算）. 　　 在生活中可以看到很多道路上都有限高杆.主要的作用就是为了防止过高的车辆通过，以保障车辆和路上设施的安全.比如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道，或者涵洞，或者附近有高速路桥、铁路桥等.图中所示，限高3.1米. 【问题】　（1）同学们，你知道3.1 m指的是哪段距离吗？ （2）数学中的距离是如何定义的呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　空间距离及向量求法 1.空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这　两个点连线的线段长　. 2.点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定　一个平面　，所以过A可以作直线l的一条　垂线段　，　垂线段的长　称为点A到直线l的距离. 3.点到平面的距离 （1）给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，　垂线段的长　称为点A到平面α的距离； （2）一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝. 4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 （1）当直线与平面平行时，直线上　任意一点到平面的距离　称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝； （2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点　到另一个平面的距离　称为这两个平行平面之间的距离. 如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝　　. 【想一想】 1.在空间中怎样求两点之间的距离？ 提示：利用向量法转化为求向量的模. 2.线面距、面面距与点面距有什么关系？ 提示： 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面α内一点B所成向量的长度.（　×　） （2）若直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.（　√　） （3）若平面α∥平面β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离.（　√　） （4）直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.（　×　） 2.已知点A（1，1，1），B（0，1，0），C（－1，0，1），则点A到直线BC的距离是（　　） A.1　　　 B.　　 C.　　　 D.2 解析：B　由已知得＝（－1，0，－1），＝（－1，－1，1），所以·＝－1×（－1）＋0×（－1）＋（－1）×1＝0，所以⊥，所以点A到直线BC的距离是｜｜＝＝.故选B. 3.已知平面α的一个法向量n＝（1，0，1），点A（－1，1，0）在α内，则平面外点P（－1，1，1）到平面α的距离为　　. 解析：＝（0，0，1），n＝（1，0，1），d＝＝＝. 　　 题型一　空间中两点之间的距离 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点. （1）证明：BE⊥PD； （2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求线段PF的长. 解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB， ∴以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，由题意B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），＝（0，1，1），＝（0，2，－2）， ∴·＝0，∴BE⊥PD. （2）∵＝（1，2，0），＝（－2，－2，2），＝（2，2，0）， 由点F在棱PC上，设＝λ＝（－2λ，－2λ，2λ），0≤λ≤1， ∴＝＋＝（1－2λ，2－2λ，2λ）， ∵BF⊥AC，∴·＝2（1－2λ）＋2（2－2λ）＝0，解得λ＝， ∴｜｜＝（1－）｜｜＝＝， 即线段PF的长为. 规律方法 计算两点间的距离的两种方法 （1）利用｜a｜2＝a·a，通过向量运算求｜a｜，如求A，B两点间的距离，一般用｜｜＝＝求解； （2）用坐标法求向量的长度（或两点间距离），此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系. 　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点A关于直线A1C，BD1的对称点分别为P，Q，则P，Q两点间的距离是（　　） A.　　　　　　　 B. C.　 D. 解析：A　以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（图略），则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1）.在平面A1AC上，点A关于直线A1C的对称点P的坐标为（，，）；在平面ABD1上，点A关于直线BD1的对称点Q的坐标为（，，）.故｜PQ｜＝. 题型二　点到直线的距离 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离. 解：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A1（4，0，1），C1（0，3，1）， 所以＝（－4，3，0）. 设E满足＝λ， 且BE⊥A1C1， 则＝＋＝（4，0，1）＋λ（－4，3，0）＝（4－4λ，3λ，1），又⊥， ∴（4－4λ，3λ，1）·（－4，3，0）＝0，∴λ＝. ∴＝（4－4×，3×，1）， ∴｜｜＝＝， ∴B到直线A1C1的距离为. 【母题探究】 1.（变设问）条件不变，试求点B到AC1的距离. 解：＝（－4，3，1），设M满足＝λ且·＝0， 则＝＋＝（4，0，0）＋λ（－4，3，1）＝（4－4λ，3λ，λ）. 又·＝0， ∴（4－4λ，3λ，λ）·（－4，3，1）＝0， ∴λ＝， ∴＝（4－，，）＝（，，）， ∴｜｜＝＝， ∴B到AC1的距离为. 2.（变条件）若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC-A1B1C1且所有棱长均为2”，如何求B到A1C1的距离？ 解：以B为原点，分别以BA所在直线，过B垂直于BA的直线，BB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（0，0，0），A1（2，0，2），C1（1，，2），＝（2，0，2）， 所以A1C1的方向向量＝（－1，，0），而＝（1，，2）， 设E满足＝λ且BE⊥A1C1， ＝＋＝（2，0，2）＋λ（－1，，0）＝（2－λ，λ，2）， 又⊥，∴（2－λ，λ，2）·（－1，，0）＝0， ∴λ－2＋3λ＝0，∴λ＝，∴＝（，，2）. ∴｜｜＝＝， ∴B到A1C1的距离为. 规律方法 用向量法求点到直线的距离的思路 第一步：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标； 第二步：在已知直线AB上取一点E，使E满足两个条件：①＝λ，②ME⊥AB（或者求出AB的单位方向向量u，计算所求点M与AB上某一点所构成的向量a）； 第三步：利用第二步中的两个关系求出λ，进而求得E的坐标，求出的模长即可（或者是利用公式d＝）. 〔一题多解〕四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离. 解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2. 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. ∴A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0），＝（0，－4，4）. 法一　设存在点E，使＝λ，且BE⊥DP，设E（x，y，z），∴（x，y－4，z）＝λ（0，－4，4）， ∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ， ∴E（0，4－4λ，4λ），＝（－2，4－4λ，4λ）. ∵BE⊥DP，∴·＝－4（4－4λ）＋4×4λ＝0，解得λ＝. ∴＝（－2，2，2），∴｜｜＝＝2，故点B到直线PD的距离为2. 法二　＝（－2，0，4），＝（0，－4，4），∴·＝16，∴在上的投影的长度为＝＝2. ∴点B到直线PD的距离为d＝＝＝2. 题型三　点到平面的距离 （链接教科书第58页例3）已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.求点D到平面PEF的距离. 解：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示. 则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0）， E（1，，0），F（，1，0）， ∴＝（1，，－1），＝（，1，－1）， ＝（1，，0）. 设n＝（x，y，z）是平面PEF的法向量， 则n·＝x＋y－z＝0，　① n·＝x＋y－z＝0，　② ①－②并整理得x－y＝0. 令x＝y＝1，则z＝. ∴n＝（1，1，）. ∴点D到平面PEF的距离d＝＝＝＝. 规律方法 求点到平面的距离的四步骤 （2026·日照高二期末）如图所示，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AB＝2，AA1＝4，M，N分别是BC，CC1的中点，则点C到平面AMN的距离为（　　） A.1　 B. C.　 D. 解析：D　由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如图所示，则A（2，0，0），C（0，2，0），M（1，2，0），N（0，2，2），可得＝（－1，2，0），＝（－1，0，2），＝（0，0，2），设平面AMN的一个法向量为n＝（x，y，z），则设y＝1，则x＝2，z＝1，则n＝（2，1，1），所以点C到平面AMN的距离为＝＝.故选D. 题型四　直线到平面、平面到平面的距离 如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1. （1）求证：BE∥平面DCF； （2）求BE到平面DCF的距离. 解：（1）证明：∵四边形ADFE为矩形， ∴AE∥DF.又∵梯形ABCD中AB∥CD， AE∩AB＝A，DF∩DC＝D， AE，AB⊂平面ABE，DF，DC⊂平面DFC， ∴平面ABE∥平面DFC， ∵BE⊂平面ABE，∴BE∥平面DCF. （2）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系. ∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°， 则△ADB∽△BCD⇒＝， ∵CD＝1，BC＝2.∴BD＝， ∴AD＝2，AB＝5，∴F（0，0，1）， D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，，0），C（－，，0），＝（0，－，1），＝（，－，1），＝（－，，0）. 设平面DCF的法向量为n＝（x，y，z）， 则∴ 令x＝1，y＝2，z＝0.∴n＝（1，2，0）. d＝＝2.∴B到平面DCF的距离等于2，即为直线BE到平面DCF的距离. 规律方法 线面距离与面面距离的求解思路 （1）求相互平行的直线与平面间的距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可； （2）求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.　 1.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底边长为2，∠B1AB＝，E是D1D的中点，则A1C1到平面EAC的距离为（　　） A.　　　　　　　　　 B.2 C.　 D. 解析：C　由棱柱的几何性质可知，A1C1∥AC，又A1C1⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，则A1C1∥平面EAC，所以点A1到平面EAC的距离即为直线A1C1到平面EAC的距离，因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底边长为2，∠B1AB＝，则AA1＝2，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），A1（0，0，2），C（2，2，0），E（0，2，），所以＝（0，2，），＝（2，2，0），＝（0，0，2），设平面AEC的法向量为n＝（x，y，z），则即令x＝，则y＝－，z＝2，故n＝（，－，2），所以点A1到平面EAC的距离d＝＝＝，故A1C1到平面EAC的距离为.故选C. 2.两平行平面α，β 分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1），则两平面间的距离是（　　） A.　 B. C.　 D.3 解析：B　∵两平行平面α，β 分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），＝（2，1，1），且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1），∴两平面间的距离＝＝＝，故选B. 　异面直线间的距离 　　 通过教材P36例4，我们知道线段MN的长度为异面直线l1与l2的公垂线段的长度，也就是直线l1与l2间的距离. 【问题探究】 1.你认为该如何定义异面直线间的距离？ 提示：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，异面直线的公垂线在两条异面直线上的垂足间的距离叫做这两条异面直线间的距离. 2.你能总结出求异面直线间距离的一般方法吗？ 提示：求异面直线间距离的一般步骤： ①求出与a，b都垂直的向量n； ②在直线a，b上任意取点A，B，得到； ③套公式得d＝｜｜. 【迁移应用】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M，N分别为CD，BB1的中点，则直线MN到直线A1B的距离为　　. 解析：以A为原点，AD，AB，AA1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图.则M（3，2，0），N（0，4，1），A1（0，0，2），B（0，4，0），即＝（－3，2，1），＝（0，4，－2）.由题意可知MN与A1B为异面直线，设MN，A1B公垂线的方向向量为n＝（x，y，z），则有⇒令y＝1，则z＝2，x＝，即n＝（，1，2），｜n｜＝.又＝（－3，－2，2）在n上的射影的长度为d＝＝＝＝.即直线MN到直线A1B的距离为. 1.已知平面α的一个法向量为n＝（－2，－2，1），点A（－1，3，0）在平面α内，则点P（－2，1，4）到平面α的距离为（　　） A.10　　　　　　　　　 B.3 C.　 D. 解析：D　∵n＝（－2，－2，1），＝（1，2，－4），点P到平面α的距离d＝＝＝. 2.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为（　　） A.1　 B. C.　 D. 解析：C　以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点E（1，1，），F（2，1，），所以｜｜＝＝，故选C. 3.已知直线l过点M（1，1，1），且方向向量为n＝（－1，0，1），则点A（1，－1，－1）到直线l的距离为（　　） A.2　 B. C.　 D. 解析：B　根据题意可知＝（0，2，2），＝（－1，0，1）＝（－，0，），所以点A（1，－1，－1）到直线l的距离d＝＝＝. 4.已知点P（1，1，2），A（1，0，1），B（－1，3，0），C（0，0，2），则点P到平面ABC的距离为　　. 解析：因为P（1，1，2），A（1，0，1），B（－1，3，0），C（0，0，2），则＝（0，1，1），＝（－2，3，－1），＝（－1，0，1），设平面ABC的法向量n＝（x，y，z），则令x＝1，则y＝z＝1，可得n＝（1，1，1），所以点P到平面ABC的距离d＝＝＝. 　　 1.〔一题多解〕在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为（　　） A.a　 B.a C.　 D. 解析：D　法一　连接BD，AC交于点O（图略），则d＝D1O＝＝. 法二　如图建立空间直角坐标系，易得C（a，a，0），D1（0，a，2a），取a＝＝（－a，0，2a），u＝＝（，，0），则点D1到直线AC的距离为＝＝. 2.已知棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1（1，0，0），C1（0，1，0），D（0，0，1），A（1，0，1），所以＝（1，0，－1），＝（0，1，－1） ，＝（－1，0，0） ，设平面 A1C1D 的一个法向量为m＝（x，y，1） ，则 即解得故m＝（1，1，1），显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝ . 3.在四棱锥P-ABCD中，＝（4，－2，3），＝（－4，1，0），＝（－6，2，－8），则这个四棱锥的高h＝（　　） A.1　 B.2 C.13　 D.26 解析：B　设平面ABCD的一个法向量为n＝（x，y，z），则即令y＝4，则x＝1，z＝，所以n＝（1，4，），则cos＜n，＞＝＝＝－，所以h＝×2＝2.故选B. 4.如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（　　） A.5　 B.8 C.　 D. 解析：C　易知B1C1∥平面A1BCD1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，12，0），D1（0，0，5）.设B（x，12，0），B1（x，12，5）（x＞0）.设平面A1BCD1的一个法向量为n＝（a，b，c），则所以令b＝5，则c＝12，所以n＝（0，5，12）.又＝（0，0，－5），所以点B1到平面A1BCD1的距离为d＝＝.因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.故选C. 5.〔一题多解〕在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，则点C到平面PAB的距离是（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：A　法一　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），P（0，4，4）， ∴＝（0，4，4），＝（4，0，0），＝（0，0，－4）.设平面PAB的法向量为m＝（x，y，z），则即令y＝，则z＝－1，∴m＝（0，，－1），∴点C到平面PAB的距离为＝. 法二　∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AB，又AB⊥AC，且PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，∵AC＝AB＝4，∴BC＝4，∴PC＝4，PB＝8，在Rt△PAB中，PA＝＝4，设点C到平面PAB的距离为d，∵VP-ABC＝VC-PAB，∴××4×4×4＝××4×4×d，∴d＝. 6.（2026·大连高二期末）已知空间四点A（3，0，0），B（3，3，2），C（0，3，0），D（0，0，3），则四面体ABCD的体积为（　　 ） A.　 B. C.15　 D. 解析：B　由题设可得△ACD为边长为3的等边三角形，且＝（3，0，－3），＝（3，－3，0），＝（0，3，2），若m＝（x，y，z）是平面ACD的一个法向量，则令x＝1，则m＝（1，1，1），则B到面ACD的距离d＝＝，所以四面体ABCD的体积为d×S△ACD＝×××（3）2×＝.故选B. 7.〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A.可以用｜｜2＝·求空间两点A，B的距离 B.设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，点A在平面α内，则点B到α的距离为d＝ C.若直线l与平面α平行，直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的距离 D.若平面α与平面β平行，则平面α内任意一点到平面β的距离就是平面α与平面β之间的距离 解析：ABD　根据向量数量积的定义可知A显然正确；由点到平面的距离、平行平面间距离的定义以及向量公式易知B、D正确；C中，直线l上任意一点到平面α的垂线段的长度为直线l与平面α的距离，故C错误.故选A、B、D. 8.平面α经过点B（1，0，0），且α的法向量n＝（1，1，1），则P（1，2，3）到平面α的距离为　　. 解析：因为平面α经过点B（1，0，0），所以＝（0，2，3），又平面α的法向量n＝（1，1，1），所以点P（1，2，3）到平面α的距离d＝＝＝. 9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AA1＝2BC＝2，则直线BD1与CD之间的距离为　　. 解析：以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立空间直线坐标系Axyz，则＝（－2，1，2），＝（－2，0，0），＝（0，1，0），设与BD1，CD都垂直的一个向量n＝（x，y，z），则取z＝1，则x＝0，y＝－2，所以与BD1，CD都垂直的一个向量n＝（0，－2，1），所以直线BD1与CD之间的距离为＝＝. 10.〔一题多解〕如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. （1）证明：FC1∥平面AB1E； （2）求直线BB1与平面AB1E所成角的正弦值； （3）求点F到平面AB1E的距离. 解：（1）证明：以D为原点， DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（2，0，0），E（0，0，1），B1（2，2，2），F（2，2，1），C1（0，2，2）. 法一　因为＝（－2，0，1），＝（－2，0，1），则＝，所以∥， 又因为A，E，F，C1四点不共线，所以AE∥FC1，又因为AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E， 所以FC1∥平面AB1E. 法二　因为＝（－2，0，1），＝（0，2，2），设平面AB1E的一个法向量为n＝（x，y，z）， 则有即取x＝1，所以n＝（1，－2，2）， 因为＝（－2，0，1），所以·n＝（－2）×1＋0×（－2）＋1×2＝0，得⊥n， 又因为FC1⊄平面AB1E，所以FC1∥平面AB1E. （2）设直线BB1与平面AB1E所成角为θ，＝（0，0，2）， 所以sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝｜｜＝， 所以直线BB1与平面AB1E所成角的正弦值为. （3）设点F到平面AB1E的距离为d，因为＝（0，2，1）， 所以d＝＝＝，所以点F到平面AB1E的距离为. 11.埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.若正四棱锥P-ABCD的高为3，AB＝3，点E满足＝2，则点D到平面AEC的距离为（　　） A.　　 B.　　C.　　 D. 解析：A　如图，连接BD，设AC与BD相交于点O，连接PO，故以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，又由题意可得AB＝3，PO＝3，所以OA＝OB＝OC＝OD＝OP＝3，所以O（0，0，0），A（3，0，0），P（0，0，3），B（0，3，0），C（－3，0，0），D（0，－3，0），不妨设E（x，y，z），因为＝2，所以（x，y，z－3）＝2（－x，3－y，－z），即x＝－2x，y＝6－2y，z－3＝－2z，解得x＝0，y＝2，z＝1，即E（0，2，1），所以＝（－3，－3，0），＝（6，0，0），＝（－3，2，1）.设平面AEC的法向量为m＝（x，y，z），则m·＝0，m·＝0，即取y＝1，得m＝（0，1，－2），所以点D到平面AEC的距离d＝＝＝.故选A. 12.〔多选〕如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为面A1ABB1的中心，E，F分别为BC和D1C1的中点，则（　　） A.B1D⊥平面A1EF B.平面ACD1与平面A1EF相交 C.点O到直线A1E的距离为 D.点O到平面A1EF的距离为 解析：BCD　如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），E（，1，0），F（0，，1），O（1，，），A1（1，0，1），B1（1，1，1），D1（0，0，1），C1（0，1，1），设平面A1EF的法向量为n＝（x，y，z），由＝（－1，，0），＝（－，1，－1），则令x＝2，则y＝4，z＝3，则n＝（2，4，3），设平面ACD1的法向量为m＝（a，b，c），由＝（－1，1，0），＝（0，－1，1），则令a＝1，则b＝c＝1，则m＝（1，1，1），对A，∵＝（1，1，1），则≠≠，即与n不共线，∴B1D与平面A1EF不垂直，A错误；对B，∵≠≠，则m与n不共线，∴平面ACD1与平面A1EF相交，故B正确；对C，＝（－，，－），＝（－，1，－1），则点O到直线A1E的距离为＝，故C正确；对D，＝（0，，－），点O到平面A1EF的距离为＝，故D正确. 13.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，AA1＝2AB＝4，M，N分别为EE1，BB1的中点，平面CMN与直线DD1交于点G，则D1G＝　4　；点A到平面CMN的距离为　　. 解析：连接AD，BF，设其交点为O.由正六棱柱的性质知，AD⊥BF，且OB＝OF，取B1F1的中点P，连接OP，则OP⊥平面ABCDEF.以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.因为AA1＝2AB＝4，M，N分别为EE1，BB1的中点，所以A（0，－1，0），C（，2，0），M（－，2，2），N（，0，2），则＝（，3，0），＝（－2，0，2），＝（0，－2，2）.设平面CMN的一个法向量为n＝（x，y，z），则令y＝1，则n＝（，1，1）.设G（0，3，a），则＝（－，1，a）.由·n＝－×＋1＋a＝0，解得a＝0，又D1（0，3，4），所以D1G＝4.点A到平面CMN的距离d＝＝. 14.（2024·天津高考17题）如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点. （1）求证D1N∥平面CB1M； （2）求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值； （3）求点B到平面CB1M的距离. 解：（1）证明：以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，B（2，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），B1（2，0，2），C1（1，1，2），D1（0，1，2）， 则M（0，1，1），N（，，2）， 所以＝（，－，0），＝（1，－1，2）， ＝（－1，0，1）. 设平面CB1M的法向量为n＝（x1，y1，z1）， 则即 取x1＝1，得z1＝1，y1＝3，则n＝（1，3，1）. ·n＝（，－，0）·（1，3，1）＝－＝0， 所以⊥n，显然D1N⊄平面CB1M，所以D1N∥平面CB1M. （2）易知＝（1，－1，2），＝（－1，1，0）， 设平面BB1C1C的法向量为m＝（x2，y2，z2）， 则即 取x2＝1，得y2＝1，z2＝0，则m＝（1，1，0）. 设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ， 则cos θ＝｜cos＜n，m＞｜＝＝＝， 所以平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为. （3）易知＝（0，0，2）. 设点B到平面CB1M的距离为d， 则d＝＝＝， 所以点B到平面CB1M的距离为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $