2.4 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

1．已知平面α的法向量n1＝(1，0，0)，平面β的法向量 n2＝(0，1，0)，则平面α与β的夹角为(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

解析：选D.因为n1·n2＝1×0＋0×1＋0×0＝0，所以n1⊥n2，故α⊥β，所以平面α与平面β的夹角为90°.

2．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，将△ABD沿AD翻折后，BC＝a，此时二面角B­AD­C的大小为(　　)

A．30° B．45°   

C．60° D．90°

解析：选C.分析知∠BDC就是二面角B­AD­C的平面角．因为在△BCD中，BC＝BD＝CD＝a，所以△BCD为正三角形，所以∠BDC＝60°.

3．如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是(　　)

A.30° B．45°

C．60° D．90°

解析：选C.在三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC，所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角，因为△ABC为正三角形，所以∠ABC＝60°.故选C.

4．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，AE⊥平面ABCD，若AE＝1，则平面ADE与平面BCE所成的角为(　　)

A．45° B．60°   

C．120° D．150°

解析：选A.

因为AE⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，E(0，0，1)，所以＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)，

设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，

则

令x＝1，则n＝(1，0，1)，

又平面ADE的一个法向量为m＝(1，0，0)，

设平面ADE与平面BCE所成的角为θ，则cos θ＝＝，又0°≤θ≤90°，所以θ＝45°.故选A.

5．如图，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，SD⊥平面PAC，P为侧棱SD上的点，则二面角P­AC­B的余弦值为(　　)

A． B．－   

C．－ D．－

解析：选B.

连接BD，交AC于点O，连接SO，则SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

设底面边长为a，则SO＝a，S(0，0，a)，D(－a，0，0)，＝(－a，0，－a)，

显然n＝(0，0，1)是平面ABC的一个法向量，

因为SD⊥平面PAC，所以＝(－a，0，－a)是平面PAC的一个法向量，

设二面角P­AC­B的平面角为θ，由图易知θ为钝角，所以cos θ＝－|cos 〈n，〉|＝－＝＝－.

6．(多选)如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，已知CM⊥AB，ON⊥AB，垂足M，N为两个不同的点，且〈，〉＝，设直线MC与ON所成的角为α，二面角C­AB­O的大小为β，则(　　)