1.2.4 二面角 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 聚焦二面角核心概念，通过基础巩固、中档综合、拔高探究三层设计，构建从定义应用到动态问题解决的知识进阶路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二面角定义、法向量求角|如折叠问题（题1）、直接法向量应用（题2），夯实概念理解| |中档|几何体中综合应用|结合正方体（题4）、正四棱锥（题3）等模型，提升运算与转化能力| |拔高|动态与探究问题|含动点（题12）、存在性（题14）、范围求解（题13），发展创新意识与逻辑推理|

1.2.4　二面角 1.如图所示,在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC,沿AD将△ABD折起,若折起后B,C两点间距离为a,则二面角B-AD-C的大小为 (　 ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2.[2025·湖南娄底高二期中] 已知二面角α-l-β中,平面α的一个法向量为n1=,平面β的一个法向量为n2=,则二面角α-l-β的平面角满足 (　 ) A.余弦值为 B.正弦值为 C.大小为60° D.大小为30° 3.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.如图在重檐四角攒尖中,它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥,若此正四棱锥的侧面积是底面积的倍,则侧面与底面所成的角的大小为 (　 ) A.30° B.45° C.60° D.15° 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为B1B的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. 5.[2026·河南新乡高二月考] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面α经过点B1,C1,平面β经过点B1,D1,当平面α,β分别截正方体所得截面面积最大时,平面α与平面β所成角的余弦值是 (　 ) A. B. C. D. 6.在如图所示的六面体中,四边形ADEH和BCFG均为直角梯形,A,D,C,B为直角顶点,其他四个面均为矩形,AB=BG=3,FC=4,BC=1,则平面EFGH与平面ABCD所成的角的大小为 (　 ) A.30° B.45° C.60° D.75° 7.(多选题)[2026·天津西青区高二期中] 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BB1的中点,则下列结论中正确的是 (　 ) A.直线FC1与直线AE平行 B.直线FC1与平面AB1E平行 C.直线FC1与平面ABCD所成角的正切值为 D.平面AB1E与平面ABCD所成角的正弦值为 8.[2025·北京一六一中学高二期中] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则平面A1BC1与平面ABCD所成的角的余弦值为　　　　.  9.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,沿对角线AC将△ABC折起,若BD=,则二面角B-AC-D的余弦值为　　　　.  10.(13分)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,其底面是等腰直角三角形,AB=2,∠ACB=90°,BB1=2,D,E分别是CC1,A1B的中点,求平面AED与平面AEC1所成角的余弦值. 11.在菱形APCD中,∠APC=60°,沿对角线AC折叠之后,使得点P到点B位置,且平面BAC⊥平面DAC,则平面BCD与平面CDA所成角的余弦值为 (　 ) A.2 B. C. D. 12.(多选题)[2025·辽宁沈阳二十中高二期中] 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,面对角线B1D1上有两个动点E,F,且EF=.则下列结论中正确的有 (　 ) A.三棱锥A-BEF的体积为定值 B.当E向D1运动时,二面角A-EF-B的大小不变 C.二面角E-AB-C的最小值为45° D.当E向D1运动时,AE⊥CF总成立 13.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,PA=AB=BC=AD=1,BC∥AD,已知Q是四边形ABCD内部一点(不包括边界),且二面角Q-PD-A的平面角的大小为30°,则△ADQ的面积的取值范围是　　　　.  14.(15分)如图,在多面体ABCDEF中,平面ABCD⊥平面CDEF,四边形CDEF为菱形,∠DCF=,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,DC=2BC=4,AB=3. (1)证明:BE⊥DF. (2)在棱FB上是否存在点M,使得平面MCD与平面ABCD所成角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AA1上的一个动点,F为棱B1C1上的一个动点,则平面EFB与平面ABCD所成角的余弦值的最大值是 (　 ) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.4　二面角 1.C　[解析] 折叠前后,都有AD⊥BD,AD⊥DC,所以∠BDC即为二面角B-AD-C的平面角.因为BD=DC=a,BC=a,所以△BDC为等边三角形,所以∠BDC=60°.故选C. 2.B　[解析] 设所求二面角的平面角的大小为θ,则|cos θ|===,所以θ=30°或θ=150°,故C,D错误;sin 30°=sin 150°=,故A错误,B正确.故选B. 3.B　[解析] 设侧面与底面所成的角的大小为θ,则由射影面积公式,知cos θ===,又0°≤θ≤90°,∴θ=45°. 4.B　[解析] 以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),E,所以=(1,0,1),=.易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),设平面A1ED的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则令x1=1,则n1=.设平面A1ED与平面ABCD所成的角为θ,则cos θ=|cos<n,n1>|===.故选B. 5.D　[解析] 如图,因为正方体中过体对角线的截面面积最大,所以题目转化为求平面BDD1B1与平面AB1C1D所成角的余弦值.以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,平面α与平面β所成的角为θ,连接AC,D1C,因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC,又AC⊥BD,BD∩DD1=D,BD,DD1⊂平面BDD1B1,所以AC⊥平面BDD1B1,同理D1C⊥平面AB1C1D,所以为平面BDD1B1的一个法向量,为平面AB1C1D的一个法向量.因为A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),所以=(-1,1,0),=(0,1,-1),所以cos θ===.故选D. 6.B　[解析] 方法一:因为四边形ADEH和BCFG均为直角梯形,A,D,C,B为直角顶点,其他四个面均为矩形,所以这个六面体是四棱柱.由题意可知DA,DC,DE两两垂直,以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0,0,0),E(0,0,4),G(1,3,3),H(1,0,3),所以=(1,0,-1),=(0,3,0).根据题意可知DE⊥平面ABCD,所以=(0,0,4)为平面ABCD的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面EFGH的一个法向量,则取x=1,则n=(1,0,1).因为cos <n,>===,所以平面EFGH与平面ABCD所成的角的大小为45°.故选B. 方法二:因为四边形ADEH与四边形BCFG均为直角梯形,A,D,C,B是直角顶点,其他四个面均为矩形,所以这个六面体是四棱柱.由题意可知DC,DE,DA两两垂直,所以DC⊥平面ADEH.延长EH,DA交于点M,延长FG,CB交于点N,连接MN.由题意知DC∥EF,所以DC∥平面EFGH.又平面EFGH∩平面ABCD=MN,所以DC∥MN,所以MN⊥平面ADEH,所以MN⊥EM,MN⊥DM,所以∠EMD即为平面EFGH与平面ABCD所成的角.因为AH∥DE,所以=,即=,所以AM=3,所以tan∠EMD===1,所以∠EMD=45°,所以平面EFGH与平面ABCD所成的角的大小为45°. 方法三:因为四边形ADEH与四边形BCFG均为直角梯形,A,D,C,B是直角顶点,其他四个面均是矩形,所以这个六面体是四棱柱.由题意可知DC,DE,DA两两垂直,所以DE⊥平面ABCD,同理HA,FC,GB都垂直于平面ABCD,所以矩形ABCD是矩形EFGH在平面ABCD上的射影.设平面EFGH与平面ABCD所成的角的大小为α,则cos α===,所以α=45°.故选B. 7.ABC　[解析] 如图,以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E,F.对于A,因为=,=,所以=,又AE与FC1不重合,所以AE∥FC1,故A正确;对于B,=(0,1,1),=,设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,-2,2),由·n=·(1,-2,2)=-1+0+1=0,得⊥n,又FC1⊄平面AB1E,所以直线FC1与平面AB1E平行,故B正确;对于C,=,平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1),则cos<,>===,设直线FC1与平面ABCD所成的角为θ,则sin θ=,则cos θ==,则tan θ==,故C正确;对于D,由B知平面AB1E的一个法向量为n=(1,-2,2),=(0,0,1),设平面AB1E与平面ABCD所成的角为α,则cos α=|cos<,n>|===,则sin α===,所以平面AB1E与底面ABCD所成角的正弦值为,故D错误.故选ABC. 8.　[解析] 如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A1(4,0,2),B(4,4,0),C1(0,4,2),∴=(0,4,-2),=(-4,4,0).设平面A1BC1的一个法向量为m=(x,y,z),则取z=2,则m=(1,1,2),易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),设平面A1BC1与平面ABCD所成的角为θ,则平面A1BC1与平面ABCD所成角的余弦值cos θ===. 9.　[解析] 如图所示,过B,D分别作BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,由题易知AC=2,∠BAC=60°,则BE=DF=,AE=CF=,EF=1.设二面角B-AC-D的平面角为α,则<,>=α,因为=++,所以=+++2·+2·+2·,即2=+1++2××cos(π-α),解得cos α=. 10.解:由题知A(,0,0),D(0,0,1),E,C1(0,0,2),所以=(-,0,1),=. 设平面AED的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 则即 令x1=1,得n1=(1,-1,). =,=(-,0,2), 设平面AEC1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则即令x2=,得n2=(,0,1). 设平面AED与平面AEC1所成的角为θ,则cos θ=|cos<n1,n2>|===. 11.D　[解析] 设菱形APCD的边长为1,取AC的中点O,连接BO,DO,如图所示,因为BA=BC,所以BO⊥AC,又平面BAC⊥平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC,BO⊂平面BAC,所以BO⊥平面DAC.以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C,B,D,所以=,=,=.设平面BCD的一个法向量为n=(x,y,z),则即取z=1,得n=(,1,1).易知平面CDA的一个法向量为=,所以|cos<,n>|===.故选D. 12.ABC　[解析] 因为EF为定值,所以S△BEF为定值,点A到平面BEF的距离即为点A到平面DD1B1B的距离,故三棱锥A-BEF的体积为定值,故A正确.平面EFB即为平面BDD1B1,而平面AEF即为平面AB1D1,故当E向D1运动时,二面角A-EF-B的大小不变,故B正确.以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,1,0),B(0,1,0),C(0,0,0),因为E,F在B1D1上,且EF=,所以可设E(t,1-t,1),F,≤t≤1,所以=(t-1,-t,1),=,所以·=(t-1)+·(-t)+1=2t2-3t+,故·不恒为零,故D错误.设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z),又=(-1,0,0),所以取y=1,则m=(0,1,t),易知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos<m,n>=,设二面角E-AB-C的平面角为θ,则θ为锐角,故cos θ==,因为≤t≤1,所以≤≤,所以≤cos θ≤,当且仅当t=1时,cos θ取得最大值,此时θ取得最小值45°,故C正确.故选ABC. 13.　[解析] 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为二面角Q-PD-A的平面角的大小为30°,点Q是四边形ABCD内部一点(不包括边界),所以点Q的轨迹是一条线段(不包括端点),易知这条线段的一个端点为D,设另一个端点为G,易知点G在y轴上,设G(0,b,0)(b>0).由题意可知D(2,0,0),P(0,0,1),所以=(-2,0,1),=(-2,b,0),易知平面APD的一个法向量为n1=(0,1,0).设平面PDG的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则即令z2=2,得n2=,则|cos<n1,n2>|===,可得b=,因为点Q在线段DG(不包括端点)上运动,所以△ADQ的面积的取值范围为. 14.解:(1)证明:如图①,连接CE,因为四边形CDEF为菱形,所以CE⊥DF,因为四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,所以BC⊥CD, 又平面ABCD⊥平面CDEF,平面ABCD∩平面CDEF=CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CDEF,又DF⊂平面CDEF,所以BC⊥DF, 又BC,CE⊂平面BCE,BC∩CE=C,所以DF⊥平面BCE,又BE⊂平面BCE,所以BE⊥DF. (2)设CD的中点为H,连接FH,则FH⊥DC,因为平面ABCD⊥平面CDEF,平面ABCD∩平面CDEF=CD,FH⊂平面CDEF,所以FH⊥平面ABCD,如图②,以C为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则C(0,0,0),D(4,0,0),B(0,2,0),F(2,0,2), 所以=(2,0,2),=(4,0,0),=(-2,2,-2),设=λ(0≤λ≤1), 则=(-2λ,2λ,-2λ),所以=+=(2-2λ,2λ,2-2λ). 设平面MCD的一个法向量为n1=(x,y,z), 则 令y=1,则n1=. 易知平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1), 所以|cos<n1,n2>|===,解得λ=,此时=. 15.A　[解析] 设平面EFB与平面ABCD所成的角为θ,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),设E(1,0,m)(0≤m≤1),F(n,1,1)(0≤n≤1),则=(0,-1,m),=(n-1,0,1).设平面EFB的一个法向量为n=(x,y,z),则即 令x=-1,则y=m(n-1),z=n-1,故n=(-1,m(n-1),n-1).易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),所以cos θ=|cos<n,m>|== ,因为m,n∈[0,1],所以cos θ=.当n=1时,cos θ=0,当n≠1时,cos θ=,因为n∈[0,1),m∈[0,1],所以(1-n)2∈(0,1],m2∈[0,1],所以∈[1,+∞),则当n=0,m=0时,分母取到最小值,此时cos θ取得最大值.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $