1.4 空间向量的应用（8大题型）（分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用（8大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：求平面的法向量 2 题型二：利用向量研究平行问题 4 题型三：利用向量研究垂直问题 6 题型四：异面直线所成的角 8 题型五：线面角 9 题型六：二面角 11 题型七：距离问题 13 题型八：空间线段点的存在性问题 16 拓展培优练 21 题型一：求平面的法向量 1．（2024·高二·全国·专题练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 2．（2024·高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    3．（2024·高二·河南漯河·阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 4．（2024·高二·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，G在棱CD上，且，H为的中点．    (1)求. (2)求平面的一个法向量 5．（2024·高二·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．    题型二：利用向量研究平行问题 6．（2024·高二·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 7．（2024·高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 8．（2024·高二·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 9．（2024·高二·全国·随堂练习）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 10．（2024·高二·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 题型三：利用向量研究垂直问题 11．（2024·高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 12．（2024·高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．证明平面. 13．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．证明：．    14．（2024·高二·全国·假期作业）如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 15．（2024·高二·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 16．（2024·高二·江西景德镇·期末）在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 题型四：异面直线所成的角 17．（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 18．（2024·辽宁抚顺·三模）在直三棱柱中，，为的中点，点满足，则异面直线所成角的余弦值为 ． 19．（2024·高二·全国·专题练习）在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ． 20．（2024·高一·陕西延安·阶段练习）在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 21．（2024·高二·天津·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 . 题型五：线面角 22．（河南省焦作市2023-2024学年高二6月期末考试数学试题）如图，在三棱柱中，，，两两垂直，，，，D为的中点，以点A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 23．（2024·高三·浙江·阶段练习）如图，五面体ABCDEF中，已知面面，，，. (1)求证：. (2)若，，点P为线段中点，求直线与平面夹角的正弦值. 24．（2024·高二·广东河源·阶段练习）如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，． (1)证明：是等边三角形； (2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值． 25．（2024·福建泉州·模拟预测）在四棱锥中，．    (1)求证： (2)当点到平面的距离为时，求直线与平面所成的角的正弦值． 题型六：二面角 26．（2024·高二·青海海东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． (1)证明：； (2)求平面ADEF与平面PCD的夹角． 27．（2024·高二·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． (1)求证：平面﹔ (2)求二面角的余弦值． 28．（2024·高三·辽宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，底面是直角梯形，，，.    (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 29．（2024·四川成都·模拟预测）在平行六面体中，，． (1)若空间有一点满足：，求； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值． 30．（2024·高二·黑龙江大庆·期中）四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点. (1)求证：平面平面BDE； (2)当E为PC中点时，求所成二面角锐角的大小. 题型七：距离问题 31．（2024·高二·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 32．（2024·高二·山东烟台·阶段练习）如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. (1)求的长度； (2)求点D到平面的距离. 33．（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 34．（2024·高二·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 35．（2024·高二·辽宁葫芦岛·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求到直线的距离； (2)求到平面的距离． 36．（2024·高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为分别为的中点，求异面直线与的距离． 题型八：空间线段点的存在性问题 37．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 38．（2024·高二·安徽六安·期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 39．（2024·北京朝阳·一模）如图，在多面体中，平面⊥平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且. (1)求证：⊥； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段BD上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 40．（2024·高二·湖北·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)在棱PC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 41．（2024·高二·湖北武汉·期末）如图，四边形是边长为1的正方形，平面平面，且. (1)求证：平面 (2)在线段上是否存在点（不含端点），使得平面与平面的夹角为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 42．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4． (1)求点A到平面PCD的距离； (2)线段BP上是否存在点E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 43．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上的一动点. (1)求证：当点为线段的中点时，平面； (2)当点位于线段的什么位置时，与平面所成角的正弦值为，请说明理由. 44．（2024·高二·北京石景山·期末）如图1，在直角梯形ABCD中，，，且.现以为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折起，使，M为线段DE上的动点，如图2. (1)求二面角的大小； (2)设，若AM所在直线与平面BCE相交，求的取值范围. 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东临沂·二模）已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A．直线MN与所成角的余弦值为 B．平面与平面夹角的余弦值为 C．在上存在点Q，使得 D．在上存在点P，使得平面 6．（2024·青海西宁·模拟预测）在直三棱柱中，，，为线段的中点，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川成都·三模）在棱长为5的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽马鞍山·三模）已知点，，，，，都在同一个球面上，为正方形，若直线经过球心，且平面．则异面直线，所成的角最小为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·重庆九龙坡·三模）在棱长为2的正方体中，P，E，F分别为棱的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（    ） A．直线平面 B．直线与平面所成角的正切值为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 10．（多选题）（2024·高三·湖北·开学考试）如图，平面，，，，，，，则（    ） A． B．平面 C．平面与平面的夹角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 11．（多选题）（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（    ） A．平面平面 B．点到平面的距离为8 C．当时，水面的形状是四边形 D．当时，所装的水的体积为 12．（2024·河南·三模）在空间直角坐标系中，已知，则几何体的体积为 . 13．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知空间中有三点，，，则点O到直线的距离为 . 14．（2024·黑龙江佳木斯·三模）矩形ABCD，，，现将绕对角线BD旋转，使C旋转到，并使AB和边所在直线成角最大，则此时点A和之间的距离为 ． 15．（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且． (1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 16．（2024·江西新余·二模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.    (1)若为的中点，证明：平面平面； (2)若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 17．（2024·西藏·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，于点.    (1)求证：； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18．（2024·贵州六盘水·三模）已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，平面平面，，，，点为的中点，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 19．（2024·吉林·模拟预测）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，. (1)求证：； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用（8大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：求平面的法向量 2 题型二：利用向量研究平行问题 6 题型三：利用向量研究垂直问题 12 题型四：异面直线所成的角 18 题型五：线面角 22 题型六：二面角 27 题型七：距离问题 34 题型八：空间线段点的存在性问题 42 拓展培优练 54 题型一：求平面的法向量 1．（2024·高二·全国·专题练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 【解析】因为，，所以， 因为平面，平面，平面， 所以， 所以是三条两两垂直的线段， 以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 于是，，. 易得是平面的法向量. 设平面的一个法向量为， 则，解得. 又，解得. 所以即为平面的法向量， 所以即为平面的法向量，是平面的法向量. 2．（2024·高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【解析】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示： 由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 3．（2024·高二·河南漯河·阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 【解析】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直. 如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A－xyz， 则，， ，，， 于是，， 设平面ACE的一个法向量为， 则，即，所以， 令，则，，即 所以平面ACE的一个法向量. 4．（2024·高二·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，G在棱CD上，且，H为的中点．    (1)求. (2)求平面的一个法向量 【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点， 则有，，，，，，，，， . （2）设平面的法向量， ，，， 则有，即，令，则， 所以. 5．（2024·高二·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．    【解析】∵⊥底面，底面是直角梯形 且， ∴两两垂直． 以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则，易知向量是平面的一个法向量． 设为平面的法向量， 则即， 取，则， 所以平面的一个法向量为. 题型二：利用向量研究平行问题 6．（2024·高二·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 【解析】（1）由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有, 则, 所以, ， 即, 又,平面, 故平面.又平面， 所以平面平面. （2）根据题意，有, 则, 故 又不共线，所以为平面的一个法向量. 又因为,且 即,且平面， 故有平面. 7．（2024·高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 【解析】因为底面为矩形，底面，所以AB，AD，AO两两互相垂直， 所以分别以AB，AD，AO所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，即 ，取，得 所以 又平面，所以直线平面 8．（2024·高二·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 【解析】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以平面. 9．（2024·高二·全国·随堂练习）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 【解析】（1）证明：以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为， 则 所以，， 因为，， 所以，， 因为平面，平面，， 所以平面． （2）由（1）知，是平面的一个法向量， 由点，，得， 因为， 所以， 因为平面，且， 所以平面． （3）由题可知，， 设平面的一个方向量为， 由得，取则， 因为，，即， 所以， 所以平面平面． 10．（2024·高二·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【解析】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，． 由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 题型三：利用向量研究垂直问题 11．（2024·高二·全国·专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【解析】由题意得两两垂直，以B为原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设平面AEC1的一个法向量为， 则， 令，得，所以， 因为， 所以，所以平面平面. 12．（2024·高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．证明平面. 【解析】证明：以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， 可得，，， 则且， 所以，，且，平面， 所以平面. 13．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．证明：．    【解析】如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∵，，点为棱的中点， ∴，，，，， ∵，， ∴，即，∴． 14．（2024·高二·全国·假期作业）如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 【解析】证明：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， 当时，，所以， 可得，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 15．（2024·高二·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）取中点，连接，如图， 又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 16．（2024·高二·江西景德镇·期末）在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 【解析】（1）依题意可知两两相互垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， . （2）因为， ， . 题型四：异面直线所成的角 17．（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为 ． 【答案】/0.4 【解析】令正方体棱长为2，构建如下图示空间直角坐标系，则， 所以，故，， 若直线与直线所成角为，则. 故答案为： 18．（2024·辽宁抚顺·三模）在直三棱柱中，，为的中点，点满足，则异面直线所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线所成的角为，则． 故答案为：. 19．（2024·高二·全国·专题练习）在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ． 【答案】/ 【解析】如图所示，分别取的中点，由正三棱柱的性质可得两两垂直， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，则， 所以异面直线与所成角的大小为． 故答案为：． 20．（2024·高一·陕西延安·阶段练习）在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】 法一：如图建立空间直角坐标系，则，，，， 则，， 所以， 所以，异面直线与所成角的余弦值为. 法二：如图，在正四棱柱下方补一个完全相同的正四棱柱， 连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 则，所以或其补角为异面直线与所成的角， 在中，. 所以，异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 21．（2024·高二·天津·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 . 【答案】/ 【解析】直三棱柱，且， 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 设直线与成的角为， 则， 直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 题型五：线面角 22．（河南省焦作市2023-2024学年高二6月期末考试数学试题）如图，在三棱柱中，，，两两垂直，，，，D为的中点，以点A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）依题意可得，，，，，，， 则，， 所以， 所以； （2）因为，，， 设平面的法向量为， 则，取， 设直线与平面所成角为， 则，所以直线与平面所成角的正弦值为. 23．（2024·高三·浙江·阶段练习）如图，五面体ABCDEF中，已知面面，，，. (1)求证：. (2)若，，点P为线段中点，求直线与平面夹角的正弦值. 【解析】（1）取中点M，连接，因为，所以， 又因为平面平面，且平面平面， 所以平面，平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，平面，所以， 又，所以； （2）因为在直角梯形中，，，， 易求得，又，，所以三角形为等边三角形， 如图，以M为原点建立直角坐标系，，，，，， 因为P是中点，所以点P坐标为， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，则可取， 设直线与平面夹角为， 所以. 24．（2024·高二·广东河源·阶段练习）如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，． (1)证明：是等边三角形； (2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：由及AB，CD分别是上、下底面的直径可知，A，B，C，D四点共面． 作于点F，则，，故， 因为，所以， 故是等边三角形． （2）以为原点，过点与平面ABCD垂直的直线为x轴， 分别以，所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接， 则，，，由题易知，故， ，，， 设平面BCE的法向量为， 则即，取，得， 记直线BD与平面BCE所成的角为θ， 则． 故直线BD与平面BCE所成角的正弦值为． 25．（2024·福建泉州·模拟预测）在四棱锥中，．    (1)求证： (2)当点到平面的距离为时，求直线与平面所成的角的正弦值． 【解析】（1），为中点，连接，则， ，，则， 又，，平面，则有平面， 平面，则平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面， 以为原点，为轴，为轴，平面内垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 有，，， 所以，即. （2）时，设， 则， ， 平面的一个法向量为，则有， 令，则，得， 点到平面的距离为，则有，解得， 所以，，， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 题型六：二面角 26．（2024·高二·青海海东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点． (1)证明：； (2)求平面ADEF与平面PCD的夹角． 【解析】（1）∵平面ABCD，平面， ∴， 又四边形ABCD为正方形， 故，AB，PA为平面PAB上的相交直线， ∴平面PAB， ∵平面， ∴， ∵等腰三角形PAB中F是PB的中点， ∴， ∵，平面， ∴平面ADEF， ∵平面ADEF， ∴． （2）平面ABCD，平面， 故， 易知AB，AD，AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系， 如图所示，则，，，，，， 由（1）得平面ADEF， 可得平面ADEF的一个法向量， 设平面PCD的一个法向量， 则， 解得，令得，故， ∴， 设平面ADEF与平面PCD的夹角为，则， 故， ∴平面ADEF与平面PCD的夹角为60°． 27．（2024·高二·江苏盐城·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． (1)求证：平面﹔ (2)求二面角的余弦值． 【解析】（1） 如图，连接交于，连接， 由是的中点可得，又为正方形， 所以，所以，所以，即， 又，即，所以/， 又平面，平面，所以平面； （2） 因平面平面，且平面平面，为等边三角形，点是线段的中点， 可得，又平面，故得平面. 如图，取的中点为，连接，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，， 所以，，则， 设平面的法向量为，由， 则，故可取； 又平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 28．（2024·高三·辽宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，底面是直角梯形，，，.    (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【解析】（1）取的中点，连接、，因为为棱的中点， 所以且， 又且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为是直角梯形，，，， 所以，， 所以，即， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 设二面角为，则， 所以，即二面角的正弦值为. 29．（2024·四川成都·模拟预测）在平行六面体中，，． (1)若空间有一点满足：，求； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值． 【解析】（1）由，可知，， 因为， ， 所以． （2）连接，，，， 设， 由，，可得， 所以三棱锥为正四面体， 所以顶点在底面上的射影落在直线上，且垂足为的外心， 则，平面， 所以，， 由菱形知，， 因为，、平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面， 故以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 令，得， 设平面的法向量为，则 令，得， 设平面与平面所成夹角为，则， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为． 30．（2024·高二·黑龙江大庆·期中）四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点. (1)求证：平面平面BDE； (2)当E为PC中点时，求所成二面角锐角的大小. 【解析】（1）底面ABCD是正方形， ， 平面ABCD，平面ABCD， ，又平面PAC， 平面PAC，又平面BDE， 平面平面BDE. （2）平面ABCD，平面ABCD， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面ABE的法向量为，则， 解得，令得，故， 设平面DBE的法向量为， 则， 解得，令得，故， 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以，所以锐二面角为. 题型七：距离问题 31．（2024·高二·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 【解析】（1）   ，，． 又，，面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设为面PEF的法向量， 令，则，，，， 设点D到平面PEF的距离为d，则． （2）设点AC到平面PEF的距离为，，则． 32．（2024·高二·山东烟台·阶段练习）如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. (1)求的长度； (2)求点D到平面的距离. 【解析】（1）如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设，由已知可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以.即的长度为6. （2）设平面的法向量为，且， 则有，即，令得， 又， 所以点D到平面的距离. 33．（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质可知，，四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为正方形，所以， 因为，，， 所以平面， 所以， 因为， 所以， 又因为平面 所以平面. （2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 取，则，， 所以， 设二面角的大小为， 则，解得， 所以，平面的一个法向量， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 34．（2024·高二·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【解析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，                     设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面所的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 35．（2024·高二·辽宁葫芦岛·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求到直线的距离； (2)求到平面的距离． 【解析】（1） 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以到直线的距离为 （2）由（1）得，， 设平面的法向量为，则 取，则，，得， 所以到平面的距离为 36．（2024·高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为分别为的中点，求异面直线与的距离． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则, 则, 设，的公垂线所在向量为， 则且， 取，则，又， 故与的距离为． 题型八：空间线段点的存在性问题 37．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1） 因为四边形是菱形，所以. 因为，，平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以，即. 因为，平面，且，所以平面. （2）取棱的中点，连接，因为四边形是菱形，， 所以为等边三角形，故⊥， 又平面，平面， 所以，，故，，两两垂直， 故以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设，则，，，， 故，，， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，得. 平面的一个法向量为，设面与面所成的锐二面角为， 则， 整理得，解得或（舍去）. 故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是. 38．（2024·高二·安徽六安·期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）取中点，连接， ∵分别为的中点， ，， ∵底面四边形是矩形，为棱的中点， ，， ，， 故四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面， ∴平面. （2）假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 平面，则是四棱锥的高. 设，则，矩形的面积 ，所以. 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故. 设， ， 设平面的一个法向量为， 则，令得，， . 由题意可得， 整理得，解得或，又因为，所以， 故存在点，位于的中点处满足题意. 39．（2024·北京朝阳·一模）如图，在多面体中，平面⊥平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且. (1)求证：⊥； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段BD上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为四边形为正方形，所以⊥， 因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥； （2）因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 又，故，，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则， 则， ， 设直线与平面所成角的大小为， 则； （3）设，即， 当时，与重合，此时与平面不平行， 当时，设，则， 解得，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 则，解得， 故线段BD上存在点M，使得直线平面AFM，此时. 40．（2024·高二·湖北·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)在棱PC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）在PD上找中点G，连接AG，EG，如图： ∵G和E分别为PD和PC的中点， ∴，且， 又∵底面ABCD是直角梯形，，， ∴且．即四边形ABEG为平行四边形， ∴， ∵平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD； （2）因为平面，平面， 所以，又， 以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，，， 由F为棱PC上一点，设， ， 设平面FAD的法向量为， 由可得，解得：， 令，则，则， 取平面ADC的法向量为， 则二面角的平面角满足：, 解得：，解得：或（舍去）， 故存在满足条件的点F，此时． 41．（2024·高二·湖北武汉·期末）如图，四边形是边长为1的正方形，平面平面，且. (1)求证：平面 (2)在线段上是否存在点（不含端点），使得平面与平面的夹角为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）以点为原点，以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， ， ，故EC⊥DF，EC⊥DA， ∵，平面ADF， 平面； （2）设，则的坐标为， 设平面的法向量为， 则由，令，则， 则法向量， 平面与平面的夹角为，且平面的法向量为， ， ， ∴解得， 为线段上靠近的三等分点. 42．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4． (1)求点A到平面PCD的距离； (2)线段BP上是否存在点E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 【解析】（1）由题意，， 由PB⊥平面ABCD，PB⊂平面PBC， 可得平面PBC⊥平面ABCD， 而DC⊥BC，且平面平面，平面ABCD， ∴DC⊥平面PBC，平面PBC， 可得DC⊥PC， ∵CD＝3，PC＝， ∴， 设A到平面PCD的距离为h，则， 即h＝， ∴点A到平面PCD的距离为； （2）以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则D（3，3，0），C（3，0，0），P（0，0，4）， 设，则，， 若DE⊥平面PAC，则， 解得，不合题意， 故线段BP上不存在点E，使得DE⊥平面PAC． 43．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上的一动点. (1)求证：当点为线段的中点时，平面； (2)当点位于线段的什么位置时，与平面所成角的正弦值为，请说明理由. 【解析】（1）连接，， ∵点为线段的中点，四边形为矩形， ∴，，三点共线，则点为的中点. ∵点，分别为和的中点， ∴. 在直三棱柱中，， ∴平面， 又平面，∴. 又，∴四边形为正方形， ∴. ∵， ∴平面. ∵， ∴平面. （2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设， 设，∴， 即，∴. 设平面的一个法向量为， ，. 由，得，令，得， 又. 设与平面所成角为， 由题意得 ， 求得或. 故当或时，与平面所成角的正弦值为. 44．（2024·高二·北京石景山·期末）如图1，在直角梯形ABCD中，，，且.现以为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折起，使，M为线段DE上的动点，如图2. (1)求二面角的大小； (2)设，若AM所在直线与平面BCE相交，求的取值范围. 【解析】（1）因为，所以，易得DA，DC，DE两两垂直，以D为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，. （1），，， 设平面ABE的法向量 ， ， 令，得，. 所以平面ABE的法向量. 设平面CBE的法向量 ， 令，得， 所以平面CBE的法向量， 二面角为钝角，所以二面角的大小为. （2）因为，所以且，， 因为AM所在直线与平面BCE相交， 所以，解得， 所以的取值范围为. 1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴， 建立空间直角坐标系，，，，，， 故，， ，设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 因为，故平面， 为平面上的动点，直线与直线的夹角为30°， 平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆， 即为点的轨迹，其中， 由对称性可知，，故半径， 故点的轨迹长度为. 故选：C. 2．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，，则，， ， ， 所以， 故直线CE与DF所成的角为. 故选：D 3．（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【答案】C 【解析】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 4．（2024·江苏盐城·模拟预测）棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示： 则，设， 所以，，设平面的法向量为， 则，令，则．于是， 则点到平面距离之和为， 设，则，， 因为，所以，所以， 函数开口向上，对称轴为，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为. 故选：B 5．（2024·山东临沂·二模）已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A．直线MN与所成角的余弦值为 B．平面与平面夹角的余弦值为 C．在上存在点Q，使得 D．在上存在点P，使得平面 【答案】C 【解析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1， 所以，， ， 对于A，，， 直线MN与所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， ，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 平面与平面夹角的余弦值为： ，故B错误； 对于C，因为Q在上，设，所以，， 则，所以， 所以，， 所以，解得：. 故上存在点，使得，故C正确； 对于D，因为，所以四点共面， 而平面，所以上不存在点P，使得平面，故D错误. 故选：C. . 6．（2024·青海西宁·模拟预测）在直三棱柱中，，，为线段的中点，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 则，故， 因为轴平面，则可取平面的法向量为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 7．（2024·四川成都·三模）在棱长为5的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 球心，取的中点，的中点，连接， 则，， ， 故，， 又，平面， 故⊥平面， 故当位于平面与内切球的交线上时，满足， 此时到平面的距离为 ， ，其中为平面截正方体内切球所得截面圆的半径， 故点的轨迹为以为半径的圆， 故点的轨迹长度为. 故选：B 8．（2024·安徽马鞍山·三模）已知点，，，，，都在同一个球面上，为正方形，若直线经过球心，且平面．则异面直线，所成的角最小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设球的半径为，记中心为， 因为为正方形，直线经过球心，且平面， 所以过点且的中点为球心，设球心为， 以为原点，、、分别为，，轴正半轴，建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 所以，， 所以， 所以，， 又，即， 所以 ，当且仅当时等号成立， 设直线，所成的角为，则， 又，所以. 故选：C 9．（多选题）（2024·重庆九龙坡·三模）在棱长为2的正方体中，P，E，F分别为棱的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（    ） A．直线平面 B．直线与平面所成角的正切值为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】由题意，在正方体中，棱长为2，分别为棱的中点，为侧面的中心，建立空间直角坐标系如下图所示， 则 对于A项，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，因为直线平面， 所以直线平面，A正确； 对于B项，   ， 设平面的一个法向量为， 则，取， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以，所以， 故，故B正确； 对于C项，   ，故C不正确； 对于D项，如图， 三棱锥恰好在长方体上，且为体对角线， 所以为三棱锥外接球的直径，由几何知识， 所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选题）（2024·高三·湖北·开学考试）如图，平面，，，，，，，则（    ） A． B．平面 C．平面与平面的夹角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】因为平面，， 由题意，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 可得，，，，，， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 依题意，是平面的法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 设为平面的一个法向量，则， 即，令，可得， 依题意，，， 设为平面的法向量， 则，即，不妨令，可得， 所以， 故平面与平面的夹角的余弦值为，故C正确； 设直线与平面所成角为，， 则，故D错误. 故选：BC. 11．（多选题）（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（    ） A．平面平面 B．点到平面的距离为8 C．当时，水面的形状是四边形 D．当时，所装的水的体积为 【答案】ABD 【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则, 因为静止时水面与表面的交线与的夹角为0，所以平面， 设平面的法向量为，， 点到平面的距离为，， ，而， 令，所以平面的法向量为， 对A，，，，， 故平面， 所以平面的法向量为，又， 所以平面平面，故A正确； 对B，，所以到平面的距离为，故B正确； 对C，因为，所以，当时，截面为六边形，故C错误； 对D，当时，设水面与的交点分别为，设，则， 则，，故， 设水面与交点为，所以， ，此时过作交于点，连接， 设的面积为,的面积为，则，， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD 12．（2024·河南·三模）在空间直角坐标系中，已知，则几何体的体积为 . 【答案】 【解析】因为， 所以，，，， ，，， 所以，，即，， 又，，， ，，即，， ，平面，所以平面， 所以这个点是一个三棱台的个顶点，且与该三棱台的底面垂直， 又， 所以几何体的体积： . 故答案为： 13．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知空间中有三点，，，则点O到直线的距离为 . 【答案】 【解析】因为，，， 所以, 所以，. 所以, 所以. 所以点O到直线的距离为. 故答案为：. 14．（2024·黑龙江佳木斯·三模）矩形ABCD，，，现将绕对角线BD旋转，使C旋转到，并使AB和边所在直线成角最大，则此时点A和之间的距离为 ． 【答案】 【解析】如图：将绕对角线旋转，点的轨迹为圆，且圆的半径为，圆所在平面与直线垂直. 建立如图空间直角坐标系，则，， 设，，，. 设直线与的夹角为，则， 所以，当，即即时，取得最大值. 此时，. 故答案为： 15．（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且． (1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）当点为中点时，平面平面， 证明如下：因为四棱锥是正四棱锥，所以，所以. 在正方形中，，所以， 在正方形中，，因为，所以， 因为面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为四棱锥是正四棱锥且所有棱长均为，设， 则，，两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则， 设，则，因为，， 所以，则，解得，所以， 所以， 设平面的法向量为，则有， 取，则，故， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16．（2024·江西新余·二模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.    (1)若为的中点，证明：平面平面； (2)若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 【解析】（1）取中点为，由条件可得为梯形的中位线，则， 又，则， 且，平面，平面， 根据线面垂直的判定定理，得平面， 平面，. 由，则，又，为梯形的两腰，则与相交， 平面， 又平面，所以平面平面. （2）取的中点为Q，由，， 则，， 因此△为等边三角形，. 由（1）知平面，，，两两垂直， 如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 由，，则， ，，，， 由， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 由 取，得，，得. 设平面的一个法向量为， 由 取，得，， 即平面的一个法向量为. 记平面与平面夹角的大小为， 所以，化简得，即，所以实数的值为. 17．（2024·西藏·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，于点.    (1)求证：； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【解析】（1）因为平面，平面，所以． 因为，，所以． 结合，得， 因为平面，平面，所以 又，平面，且，所以平面． 又平面，所以， 又，，平面，且，所以平面. 又平面，所以, （2）如图，以点为坐标原点，过点且平行于的直线为轴，，所在的直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设，，,， 则，得， 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则，，所以是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则，，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 18．（2024·贵州六盘水·三模）已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，平面平面，，，，点为的中点，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：取的中点为，连结，因为为中点， 则，且， 因为，，，所以 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面; （2）在中，，所以， 在中，，即， 因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面， 故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，所以， 易知平面的一个法向量为， 设二面角为，由图知为钝角， 所以， 所以， 故二面角的正弦值为． 19．（2024·吉林·模拟预测）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，. (1)求证：； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值. 【解析】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以. （2）由平面平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则，取，得， 设是平面的法向量，则，取，得， 则平面FOD与平面夹角的余弦值为. （3）， 则点到直线的距离， 当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$