2.4 二面角-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

1．2.4　二面角

 

 

思考1　平面与平面的位置关系有几种？

[提示]　有平行和相交两种．

思考2　如何刻画平面与平面相交这种位置关系？

[提示]　 可引入平面与平面所成的角，进而把空间角转化为平面角．

[知识梳理]

1．二面角的概念

我们已经知道，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．

2．二面角的平面角

如图所示，在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角．

3．二面角的范围

我们约定，二面角及其平面角的取值范围为[0，π].

4．两个平面所成的角

两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小．

[即时练]

1．如图，

AB是圆的直径，PA⊥BC，C是圆上一点(不同于A，B)，则二面角P­BC­A的平面角为(　　)

A．∠PAC B．∠CPA

C．∠PCA D．∠CAB

解析：选C.因为C是圆上一点(不同于A，B)，AB是圆的直径，所以AC⊥BC.又PA⊥BC，AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC.又平面ABC∩平面PBC＝BC，PC∩AC＝C，所以由二面角的定义知∠PCA为二面角P­BC­A的平面角．故选C.

2．如图，已知PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，若∠APB＝60°，则二面角α­l­β的大小是________．

解析：设二面角α­l­β的大小为θ，由题意得θ＋∠APB＝180°，又∠APB＝60°，所以θ＝180°－∠APB＝120°.

答案：120°

构造二面角的平面角，一般在直线上取一点O，然后分别在两个半平面内作直线OA，OB均与该直线垂直，则∠AOB即为二面角的平面角．

知识点二　几何法求二面角(平面与平面所成的角)

[例1] (对接教材例2)若正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝，D是CB延长线上一点，且BD＝BC，则二面角B1­AD­B的大小为(　　)

A． B．

C． D．

【解析】　

由题意知AB＝BD＝3，BB1＝AA1＝，且∠ABD＝，连接AD，过B作BE⊥AD于E，连接AB1，B1E，B1D，则BE＝，而BB1⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以AD⊥BB1，而BB1∩BE＝B，BB1，BE⊂平面BEB1，所以AD⊥平面BEB1，易知AD⊥B1E，故二面角B1­AD­B的平面角为∠BEB1，所以tan ∠BEB1＝＝