2.3 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

**基本信息** 高中数学直线与平面所成角同步练，通过基础概念应用、空间坐标运算到综合情境探究的三层设计，实现从单一公式到动态问题解决的知识巩固路径，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义公式直接应用|如第1题利用方向向量与法向量夹角求线面角，强化概念理解| |能力提升|坐标法与几何模型|如第5题建立空间直角坐标系计算线面角，提升运算能力| |综合拓展|动态探究与跨情境|如第14题存在性问题探究，结合空间向量解决复杂几何问题，培养模型意识|

1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角为(　　) A．40° B．50° C．130° D．170° 解析：选A.因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，所以直线l与平面α所成的角等于130°－90°＝40°. 2．设平面α的一个法向量为n＝(a，0，1)，直线l的一个方向向量为d＝(3，－4，0)，若直线l与平面α所成的角为，则正数a＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选D.依题意可得|cos 〈n，d〉|＝＝sin ＝，解得a＝或a＝－(舍去).故选D. 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切值约为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.作出正四棱锥E­ABCD如图所示， 设底面边长为a，则塔高EF＝a， AF＝AC＝a， 所以侧棱与底面所成的角∠EAF的正切值为＝＝.故选A. 4．已知AB⊥平面α于点B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 解析：选C.设AC和平面α所成的角为θ，则cos 60°＝cos θcos 45°，故cos θ＝，又0°≤θ≤90°，所以θ＝45°. 5．在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝3，OB＝4，OC＝5，D是AB的中点，E为OC的中点，则DE与平面OAB所成的角为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.因为OA，OB，OC两两垂直，所以以，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系如图，所以O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，5)，D(，2，0)，E(0，0，)，＝(－，－2，)，因为OC⊥平面OAB，所以＝(0，0，5)为平面OAB的一个法向量，设DE与平面OAB所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝ ＝，因为θ∈，所以θ＝.故选C. 6．(多选)(2026·济南月考)在三棱锥P­ABC中，P(1，1，0)，A(2，0，1)，B(0，2，1)，C(0，0，0)，则(　　) A．＝ B．向量与夹角的余弦值为 C．向量n＝(1，1，－2)是平面ABC的一个法向量 D．PB与平面ABC所成角的正弦值为 解析：选ACD.因为P(1，1，0)，B(0，2，1)，所以||＝＝，故A正确； 因为A(2，0，1)，B(0，2，1)，C(0，0，0)， 所以＝(2，0，1)，＝(0，2，1)， 所以cos 〈，〉＝＝＝，故B错误； n＝(1，1，－2)，因为·n＝2×1＋0×1＋1×(－2)＝0， ·n＝0×1＋2×1＋1×(－2)＝0， 所以n＝(1，1，－2)是平面ABC的一个法向量，故C正确； 因为＝(－1，1，1)， 所以PB与平面ABC所成角的正弦值为 ＝＝＝，故D正确． 7．(2026·德州期中)已知平面α的一个法向量为a＝(x，1，2－x)，直线l的一个方向向量为b＝(0，11，0)，则直线l与平面α所成角的正弦值的最大值为________. 解析：设直线l与平面α所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝ ＝＝ ， 当x＝1时，sin θ取得最大值，最大值为. 答案： 8．已知三棱锥O­ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝2，OB＝1，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为________． 解析： 因为OA，OB，OC两两垂直，以O为原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，易得O(0，0，0)，A(0，0，2)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，则＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，设m＝(x，y，z)是平面ABC的法向量， 则 令y＝1，则m＝(2，1，1)， 所以|cos 〈，m〉|＝＝＝， 故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为. 答案： 9．已知平面α的一个法向量为n＝(1，1，0)，则向量＝(0，1，1)在平面α内的投影向量的长度为________． 解析：因为平面α的一个法向量为n＝(1，1，0)，向量＝(0，1，1)，所以 cos 〈n，〉＝＝，设直线AB与平面α所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝，因为0≤θ≤，所以θ＝. 所以向量＝(0，1，1)在平面α内的投影向量的长度为||·cos θ＝×＝. 答案： 10. (13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD＝PD＝2CD＝2，PB＝3，点E为棱PC上的点，且BC⊥DE.若PE＝2CE，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值． 解：由底面ABCD为矩形可知，BC⊥CD，又因为BC⊥DE，DE∩CD＝D，CD，DE⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD，可知BC⊥PC，BC＝AD＝2，PB＝3，所以PC＝，在△PCD中，PC2＝PD2＋CD2，所以PD⊥CD.因为AD∥BC，所以AD⊥平面PCD，因为PD⊂平面PCD，所以PD⊥AD，又CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD，故以点C为原点，以CD，CB所在直线分别为x轴、y轴，过点C且平行于PD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 则C(0，0，0)，B(0，2，0)，D(1，0，0)，P(1，0，2)，又在△PCD中，＝2，则E(，0，)，＝(－，0，)，＝(1，0，2)，＝(0，2，0). 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即 令z＝1，得n＝(－2，0，1)，设直线DE与平面PBC所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝. 故直线DE与平面PBC所成角的正弦值为 . 11. 已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在棱A1B1上(包括端点)，且满足＝λ，则当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选D. 如图，以A为原点AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz， 则P(λ，0，1)，0≤λ≤1，B(1，0，0)，C(0，1，0)， N， ＝， 平面ABC的一个法向量为n＝(0，0，1)， 设直线PN与平面ABC所成的角为θ， 所以sin θ＝＝， 当λ＝时，(sin θ)max＝，此时角θ最大．故选D. 12．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，E为侧棱BB1上的一点，且＝，则直线AE与平面A1ED1所成角的余弦值为________． 解析： 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A1(2，0，3)，E(2，2，2)，D1(0，0，3)，A(2，0，0)，所以＝(0，2，－1)，＝(2，2，－1)，＝(0，－2，－2). 设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即 取z＝2，则n＝(0，1，2)， 设直线AE与平面A1ED1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝， 所以cos θ＝＝. 答案： 13. (15分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，BC＝CD＝AB＝2，E为棱AB的中点． (1)证明：AD∥平面PEC；(6分) (2)若∠PBA＝60°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．(9分) 解：(1)证明：由于E为棱AB的中点，AB∥CD，所以AE＝CD，AE∥CD，所以四边形AECD是平行四边形，所以AD∥CE，由于AD⊄平面PEC，CE⊂平面PEC， 所以AD∥平面PEC. (2)依题意可知PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB， ∠PBA＝60°，所以PA＝4×tan60°＝4.又∠ABC＝90°， 故以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴，过点B作平行于PA的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，4，0)，P(0，4，4)，＝(0，0，4)， C(2，0，0)，E(0，2，0)，＝(－2，2，0)，＝(0，－2，－4)， 设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令z＝1，则n＝(－2，－2，1)， 设直线PA与平面PCE所成的角为θ， 所以sin θ＝＝＝. 14．(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥BA，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3，点M在棱PD上(不包括端点)，点N为BC中点. 是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：如图 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)，N(2，1，0)，假设存在M，设＝λ，则＝λ，其中λ∈(0，1)，设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，由＝(2，2，－3)，＝(0，3，－3)可得即令z＝2，则y＝2，x＝1，即n＝(1，2，2).＝λ＝(0，3λ，－3λ)，则M(0，3λ，3－3λ)，＝(2，1－3λ，3λ－3)，设MN与平面PCD所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，解得λ＝1或λ＝，因为λ∈(0，1)，所以λ＝，故存在点M满足题意，此时＝. 15．在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.已知平面α的方程为x－2y＋z－7＝0，直线l是两平面x＋y＋2＝0与y－z＋2＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为__________． 解析：由题可知平面x－2y＋z－7＝0的一个法向量n1＝(1，－2，1)，平面x＋y＋2＝0的一个法向量n2＝(1，1，0)，平面y－z＋2＝0的一个法向量n3＝(0，1，－1). 设直线l的方向向量为l＝(x，y，z)， 因为直线l是两平面x＋y＋2＝0与y－z＋2＝0的交线，则有l⊥n2，l⊥n3， 即取x＝1，则l＝(1，－1，－1)，设直线l与平面α所成的角为θ， 所以sin θ＝＝＝＝，故直线l与平面α所成角的正弦值为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $