2.3 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角为(　　)

A．40° B．50°   

C．130° D．170°

解析：选A.因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，所以直线l与平面α所成的角等于130°－90°＝40°.

2．设平面α的一个法向量为n＝(a，0，1)，直线l的一个方向向量为d＝(3，－4，0)，若直线l与平面α所成的角为，则正数a＝(　　)

A．－ B．   

C．－ D．

解析：选D.依题意可得|cos 〈n，d〉|＝＝sin ＝，解得a＝或a＝－(舍去).故选D.

3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切值约为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选A.作出正四棱锥E­ABCD如图所示， 设底面边长为a，则塔高EF

＝a，

AF＝AC＝a，

所以侧棱与底面所成的角∠EAF的正切值为＝＝.故选A.

4．已知AB⊥平面α于点B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为(　　)

A．90° B．60°   

C．45° D．30°

解析：选C.设AC和平面α所成的角为θ，则cos 60°＝cos θcos 45°，故cos θ＝，又0°≤θ≤90°，所以θ＝45°.

5．在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝3，OB＝4，OC＝5，D是AB的中点，E为OC的中点，则DE与平面OAB所成的角为(　　)

A． B．   

C． D．

解析：选C.因为OA，OB，OC两两垂直，所以以，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系如图，所以O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，5)，D(，2，0)，E(0，0，)，＝(－，－2，)，因为OC⊥平面OAB，所以＝(0，0，5)为平面OAB的一个法向量，设DE与平面OAB

所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝

＝，因为θ∈，所以θ＝.故选C.

6．(多选)(2026·济南月考)在三棱锥P­ABC中，P(1，1，0)，A(2，0，1)，B(0，2，1)，C(0，0，0)，则(　　)

A．＝

B．向量与夹角的余弦值为

C．向量n＝(1，1，－2)是平面ABC的一个法向量

D．PB与平面ABC所成角的正弦值为

解析：选ACD.因为P(1，1，0)，B(0，2，1)，所以||＝＝，故A正确；

因为A(2，0，1)，B(0，2，1)，C(0，0，0)，

所以＝(2，0，1)，＝(0，2，1)，

所以cos 〈，〉＝＝＝，故B错误；

n＝(1，1，－2)，因为·n＝2×1＋0×1＋1×(－2)＝0，

·n＝0×1＋2×1＋1×(－2)＝0，

所以n＝(1，1，－2)是平面ABC的一个法向量，故C正确；

因为＝(－1，1，1)，

所以PB与平面ABC所成角的正弦值为