1.2.5 空间中的距离（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦空间向量与立体几何中的空间距离问题，系统梳理空间两点距离、点到直线、点到平面、平行直线与平面、平行平面距离的概念及向量求法，构建从基础定义到向量应用的递进式学习支架。 资料以题型分类（如点到平面、异面直线距离等）为主线，搭配随学随练与分层练习（基础通关、素养提升等），通过向量法培养学生数学思维（逻辑推理、运算能力）和数学语言表达能力，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第一章 空间向量与立体几何 1.2.5　空间中的距离 课标要点 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 学习重难点 重点： 几种距离的求法． 难点： 用向量方法求空间距离． 知识点 空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长． 随学随练 已知＝(2，1，1)，＝(1，3，1)，则点A，B之间的距离为________． 答案： 知识点点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离．点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度． 随学随练特别提醒 如图，若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝，点P到直线l的距离也可以表示为d＝＝，其中l是直线l的一个方向向量． 1．（25-26高二下·陕西安康·期中）若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量、，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 2．（25-26高一下·四川成都·期中）四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，由向量关系求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则，所以， 所以点到直线的距离为. 知识点点到平面的距离 (1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离．点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度． (2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝． 特别提醒 由于＝n0为平面的一个单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段的方向向量的数量积的绝对值，即d＝|·n0|. 随学随练1．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到平面距离的向量公式，求出点到平面的距离，再结合锥体体积公式计算即得. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PMN的法向量，由求解. 【详解】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，可得. 因为， 所以点A到平面PMN的距离. 知识点 相互平行的直线与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离． (2)如图，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝． 知识点相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． (2)一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长． (3)如图，如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量)，A和B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离为d＝． 随学随练1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 2．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 题型  点到平面距离的向量求法 ▌例1 （25-26高二下·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，又， 则点到平面的距离为. ▌对点练1-1．如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，从而利用点到平面的距离公式进行求解. 【详解】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 可得，, 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 其中， 点C到平面的距离. 故选：C． 题型  平行平面距离的向量求法 ▌例1如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. ▌对点练1-1两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，故选B. 题型 点到直线距离的向量求法 ▌例1（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据 四点共面，求得；再建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的求解公式，计算即可. 【详解】根据题意，因为平面，且满足， 故 ，解得； 以为坐标原点，建立如下空间直角坐标系： 故， 则， 则在上的投影为，又， 故点到直线的距离. ▌对点练1-1（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量法求点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题， 所以点到直线的距离为. 题型 异面直线距离的向量求法 ▌例1（25-26高二上·四川绵阳·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）    A． B． C．与夹角是 D．直线与直线的距离是 【答案】A 【分析】设，依题得，运用向量数量积的运算计算即可判断A，B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项． 【详解】设， 则， A选项：， ， 所以，A正确， B选项： 所以B错误， C选项：，设夹角为， 计算得， ， 因此C错误， D选项：在平行六面体中， 易得， 则得，故， 故点到直线的距离即直线与直线的距离． 因， 且， 则， 因此直线距离为，所以D错误. 故选：A ▌对点练1-1如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意，先建立空间直角坐标系，然后写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据点分别为直线上写出点的坐标，这样就得到，然后根据的取值范围而确定 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则有： ，，，，， 可得： 设，且 则有：， 可得： 则有： 故 则当且仅当时， 故答案为： 题型 空间线段点的存在性问题 ▌例1（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数基本关系求出余弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）连接，因为为线段的中点，所以， 由题意知面面，且面面， 又面，所以平面，取边的中点记为，则． 以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 易知，所以； （2）由（1）可知， 所以，，， 记平面的一个法向量， 所以 ，不妨取，得，即， 记直线与平面所成角为， 则， 考虑到，有，从而， 所以直线与平面所成角的余弦值为． （3）设，其中． ， ， ，记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得，即， 则点到平面的距离， 整理得：，即， 解得或（舍去）， 所以当点位于线段的靠近点的三等分点时， 点到平面的距离为． ▌对点练1-1 （25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，， ，平面，． (1)设钝二面角大小为，求的值； (2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； (3)在上，在上，求最小值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，再结合二面角为钝角的条件计算即可； （2）通过设参数表示点的坐标，利用向量法计算线面角，即可判断存在性并求线段比例； （3）用参数表示的坐标，将转化为二次函数求最值即可求解. 【详解】（1）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则可得； 令平面的法向量为，则，即， 令，则可得， 所以， 因为二面角为钝二面角，所以. （2）若存在，设，, 则，故，所以， 设与平面所成角为， 所以， 即，所以或（舍去）， 所以存在点，且. （3）设， 则， 这是关于的二次函数，最小值在时取得， 即， 所以当时，，故. 基础通关 1．（25-26高二下·江苏泰州·期中）已知直线l过点，其方向向量为，则点到直线l的距离为_____________. 【答案】2 【详解】依题意，，所以点到直线l的距离 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）在四棱锥中，是边长为1的等边三角形，，，，，则四棱锥的外接球表面积为____． 【答案】 【分析】求外接球的表面积，先找球心，再求半径，根据球心在四棱锥高上，球心到顶点的距离等于半径，设球心，求半径，计算表面积即可． 【详解】在等腰梯形中，，，则， 在底面中连接， 则， 即，， 以为原点，，分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系：    可得：，，，， 因为，则底面外接圆，也即是的外接圆， 即的中点即为底面外接圆圆心，坐标为， 设，由，，， ，，； 可得， 解得，，，即， 由四棱锥外接球的性质，外接球的球心在过垂直于底面的直线上， 故设球心，半径为， 则，，， 由得：，解得， 因此外接球半径平方：， 外接球表面积：． 3．（25-26高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，为的边上的高，则_____． 【答案】/ 【详解】依题意，，，，， 所以. 4．（25-26高二下·云南曲靖·期中）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，，，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出直线对应的方向向量和平面的法向量，利用向量垂直关系证明线面平行； （2）先求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式计算两个法向量夹角的余弦值，结合二面角与法向量夹角的关系，得到平面与平面所成角的余弦值； （3）利用点到平面距离的向量公式求出点到平面的距离． 【详解】（1） 因为四边形为正方形，所以，， 又，所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，显然是平面的一个法向量， 因为，所以， 又平面，所以平面； （2）由（1）得，，， 设平面的法向量， 所以，即， 令，得， 设平面的法向量， 所以，即， 令，得， 所以 所以平面与平面所成角的余弦值为； （3）由（2）得平面的一个法向量，， 所以点到平面的距离． 5．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量后，借助点到平面的距离公式计算即可得； （3）利用空间向量求出线面角的正弦值． 【详解】（1） 连接交于点，连接， 因为是矩形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面； 所以平面； （2）因为平面，是矩形， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，令，得， 所以点到平面的距离； （3）显然是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 6．（25-26高二下·贵州遵义·期中）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． (1)证明：、、、四点共面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为空间内一组基底，根据空间向量线性运算结合空间向量共面基本定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，根据点到平面距离空间向量法计算即可. 【详解】（1）因为为非零向量且不共线， 所以可以作为空间内一组基底， 因为在侧棱上，， 所以， 同理可得， 因为为的中点，所以， 因为, 所以共面，即、、、四点共面； （2）以点为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 7．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【分析】（1）作，由面面垂直的性质定理得到面，进而得出，结合，证得平面；（2）①建立空间直角坐标系，根据点到面的距离公式，求出，②求面和面的法向量，根据二面角的向量公式求出的值. 【详解】（1）过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，面， 面面，面面， 所以面， 又因为面，所以， 因为四边形是矩形，所以， 所以， 因为，， ，面，面， 所以面. （2）因为面，面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，，则，， 且由得， ①设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 所以， 又，所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此； ②设，则， 即有，且， 设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 即， 由已知是面的一个法向量， 所以， 解得． 8．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长是2的正方体中，是底面的中心，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可. （2）由题意可得，建立空间直角坐标系，由异面直线的向量求法，求解即可. 【详解】（1）因为F为的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 所以， 所以， 故， 因此异面直线与所成角的大小为. 9．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在棱长为的正方体中，分别为线段，的中点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可； （2）利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 已知正方体棱长为，则，，，， 所以，，因， 所以. （2）由题可得，，，. ，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点到直线的距离为. （3）根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设平面与平面所成角为， 故， 即平面与平面所成角的余弦值为. 10．（25-26高二下·福建厦门·期中）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点D到平面的距离. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可； （2）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）因平面，平面， 则，又四边形为矩形，则. 如图建立以A为原点的空间直角坐标系，    则， ，，. 设平面法向量为，则， 取，则. 设直线与平面夹角为， 则； （2）由（1）解析可得， 所以到平面的距离为： 素养提升 11．（25-26高二下·重庆·期中）在直四棱柱中，底面是平行四边形，且，，，，分别为，的中点. (1)求平面与平面的夹角的正弦值； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解； （2）利用向量法先求点到平面的距离，再由三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）在直四棱柱中，有平面，又， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 又，，， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以； （2）由（1）点到平面的距离为：， 又，所以， 又因为，， 所以， 所以三棱锥的体积为. 12．（25-26高二下·湖南·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，E是CD的中点，AC与BE相交于点H，点F在侧棱PD上，． (1)证明：平面； (2)当时，求点P到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）因为底面平面ABCD，所以． 在和中，，即， 故，得，即， 又平面，故平面PAC． （2）由已知得，， 故以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 当时，，则， 设平面HEF的法向量为， 则，令，可得， 所以点P到平面EFH的距离． 13．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在正方体中，，，分别是，的中点．    (1)与平面所成角的正切值为________；（本小题直接写出答案即可） (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线面夹角的定义即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可． 【详解】（1）由正方体得，平面，四边形为正方形， 连接，则与平面所成角即为， 因为是中点，所以， 在中，．    （2）以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 所以直线与所成角的余弦值为． （3）设平面的法向量为， 则得取，则， 得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为．    14．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，，点是线段的中点，点在线段上，满足平面． (1)求证：是线段的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先判断四点共面，再结合线面平行的性质得到，最后结合平行四边形的性质求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，进而利用面面角的向量求法求解即可. （3）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）在中，过点N作交BC于点Q，连接QM， 如图，作出符合题意的图形， 在三棱柱中，因为，所以， 所以四点共面，因为直线平面，平面， 平面平面，所以． 所以四边形是平行四边形， 得到，所以为的中点． （2）因为平面，平面， 所以，又因为正方形，， 故可以B为原点建立空间直角坐标系，如下图， 因为，所以，，，， ， ，，所以，． 设平面的一个法向量为， 由，得，取，得， 易知平面的法向量， 得到， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）设平面的一个法向量为， 而，由中点坐标公式得，则， 由，得，取，得， 又，设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得. 迁移创新 15．（25-26高二下·江苏苏州·期中）下列关于空间向量的命题中不正确的是（    ） A．已知两个向量，，则与的夹角为锐角 B．已知过点的平面法向量为，则点到平面距离为 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．已知，，则在上的投影向量坐标为 【答案】AC 【分析】根据向量共线判断A；根据点到平面的坐标计算判断B；根据基底的概念判断C；根据投影向量计算判断D. 【详解】对于A：由题意知，，所以与同向共线，夹角为0，不是锐角，A错误. 对于B：，所以点到平面距离为，B正确. 对于C：假设存在实数，使得， 整理得. 因为是空间的一组基底，所以， 存在非零解满足条件，所以三个向量线性相关，故不能作为基底，C错误. 对于D：在上的投影向量为，D正确. 16．（25-26高二下·江苏南京·期中）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则平面与平面夹角的余弦值为 B．若，则平面平面 C．若，则点到直线的距离的最小值为 D．存在唯一有序实数对，使得 【答案】BC 【分析】先根据题意建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，进而根据二面角的向量求法即可判断选项A；利用空间向量证明面面平行即可判断选项B；根据点到直线距离的向量求法即可判断选项C；根据题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上，再数形结合可判断D． 【详解】依题意，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 由正方体的棱长为，且点为棱的中点， 则，，，，，，， 对于A，若，，则，即点与点重合，即， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为，故A错误； 对于B，若，则，即， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 结合选项A知平面的法向量为， 所以，即，即平面平面，故B正确； 对于C，若，则，与三点共线，即在线段上， 设，，则， 则，， 所以点到直线的距离为， 所以当，即为线段的中点时，点到直线的距离取最小值，且最小值为，故C正确； 对于D，易知与均垂直于平面，连接，， 则，，若，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 若，则，则点在以为圆心，为半径的圆上（均为侧面内部）， 两圆的圆心距，故两圆弧相交（如图所示）， 故符合条件的点有两个，对应的有两组，故D错误． 17．（25-26高二下·江苏南通·期中）棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点（如图1），则下列结论正确的是（   ） A．直线与底面所成角的正切值为 B．异面直线与的距离为 C．若点为平面上的动点，且直线与所成角为，则动点的轨迹长度为 D．若，交于点，正方形的四个顶点在其所在平面内绕着点逆时针旋转，得到一个十面体（如图2），则该十面体的体积为 【答案】ACD 【分析】A建立空间直角坐标系计算线面角正弦，再应用同角三角函数关系即可求解判断；B应用空间向量计算异面直线间距离即可；C求证平面，即可确定轨迹为圆；D将图形分割为三棱锥进行求解. 【详解】对于A，如图建立空间直角坐标系. 则， ， 又平面的一个法向量显然为， 设与平面夹角为，则， 所以，故A正确； B选项，因为，， 设异面直线公垂向量，又因为， 所以，令，则， 设异面直线与的距离为，B选项错误； C选项，因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，同理可得，， 因为平面，所以平面， 设平面，因为平面，所以， 因为直线与所成角为，所以， 则动点Q的轨迹是半径为的圆，故其长度为，故C正确； D选项，连接， 因为平面，所以三棱锥的高为， 则，同理可得，， 因为，且，所以， 所以， ， 因为，所以， 所以， 因为， 所以十面体的体积为，故D正确. 18．（25-26高二下·江苏南京·期中）在四棱锥中，面，，，，，点为的中点，点为的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．与面交于点，则 C．点到平面的距离为 D．三棱锥与的外接球体积之比为 【答案】ABC 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，由向量的数量积 判断A；求出平面的法向量，再由空间点到平面的距离公式判断C；由几何关系找到各外接球圆心位置求出半径判断D；设，求出平面的法向量，再由判断B. 【详解】 因为平面 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 又，，点为的中点，点为的中点， 则， 由中点坐标公式可得， A，，， 所以，即，故A正确； B，设，，则，， 设平面的法向量为，， 由，可得，令，则， 因为 ，解得， 所以，故B正确； C，设平面的法向量为， 由，可得，令，可得， 又，所以点到平面的距离为，故C正确； D，因为平面，所以三棱锥的外接球的球心为中点， 又，所以其外接球半径为； 因为，，，所以， 又平面所以三棱锥的外接球的球心为的中点， ，所以其外接球半径为， 所以外接球半径之比为，即外接球体积之比为，故D错误； 19．（25-26高二下·贵州·期中）在四面体中，是正三角形，，，为的中点，点在线段上且满足，则（    ）    A．异面直线与所成角的余弦值为 B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为 D．四面体的外接球表面积为 【答案】ACD 【分析】取线段的中点，连接、，则，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；利用锥体体积公式可判断B选项；设球心为，求出球心坐标，结合球体表面积公式可判断D选项. 【详解】因为是正三角形，，，则， 即也是等边三角形，取线段的中点，连接、，则，， 且，同理可得， 又因为，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    根据题意得、、、、、， 对于A选项，，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为，A对； 对于B选项，因为，则， 所以点到平面的距离等于点到平面距离的， 故，B错； 对于C选项，设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 又因为，所以点到平面的距离为，C对； 对于D选项，设外接球球心为， 由可得，解得， 即外接球球心为，外接球半径为， 故四面体的外接球表面积为，D对. 20．（25-26高二下·江苏常州·期中）如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（    ）    A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 【答案】ACD 【分析】A，通过向量表示即可. B，在A的基础上利用数量积求模. C，利用数量积求夹角余弦值. D，通过距离确定球心位置和半径后，通过等体积法求出截面半径以及面积. 【详解】选项A，，所以，正确. 选项B，， 所以，错误. 选项C，，且， 所以，正确. 选项D，因为，，所以为等腰直角三角形.    取中点，因为，所以该外接球是以为球心，. 对于锥体的体积， 因为投影落在上，所以， 所以到面的距离. 因为， 所以，解得. 所以截面半径， 所以，正确. 21．（25-26高二下·江苏·期中）给出下列命题，其中正确的是（   ） A．向量，．若夹角为钝角，则实数t的取值范围为 B．在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是 C．平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2 D．在空间四边形ABCD中，，，则在上的投影向量为 【答案】BD 【分析】应用向量夹角为钝角列式计算判断A，应用点关于面对称判断B，利用空间向量线性运算可得，结合数量积的运算律可求得，进而得到所求结果判断C，应用投影向量计算判断D. 【详解】向量，，若夹角为钝角，则 且不共线，所以且， 则实数t的取值范围为，A选项错误； 在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是，B选项正确； 平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成， 四边形为平行四边形，，又， ， ，， 因为在空间四边形中，与成角，或， 又，， 当时，，，即此时两点间的距离为； 当时，，，即此时两点间的距离为； 综上所述：两点间的距离为或，C选项错误； 在空间四边形ABCD中，，，则与的夹角为， 则在上的投影向量为，D选项正确； 22．（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图所示，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．不存在点，使得平面平面 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．若正方体棱长为1，则以为球心，为半径的球体被平面所截图形面积的最小值为+2 【答案】AC 【分析】通过证明平面平面，判断A；建立空间坐标系，利用线线垂直的向量求法及面面垂直判定定理即可判断B；利用线面角的向量求法即可判断C；利用截面圆性质求出截面圆半径，代入圆的面积求解公式即可判断D. 【详解】对于A，连接，， 正方体中，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面. 又，平面，，所以平面平面. 又平面，所以平面.故A正确. 以为坐标原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则，，，，，，，， 所以，，. 所以，， 所以，，即，， 又，平面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面. 所以当点为中点时，，，三点共线，所以平面与平面为同一平面， 此时平面，所以平面平面. 故存在点，使得平面平面，B错误. 由平面，取平面的法向量为. 设，，则. 设直线与平面所成角为， 则 ， 因为，所以，所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故C正确. 当时，已知为边长为2的等边三角形， 此时，，，， 设点到平面的距离为， 则. 当点与点重合时，取最小值，最小值为1， 此时截面的半径取最小值，为， 所以截面面积的最小值为，故D错误. 23．（25-26高二下·江苏徐州·期中）已知正方体的棱长为为中点，.下列论述正确的是（    ） A．若，则点到平面的距离为 B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值为 D．平面与侧面所成角的余弦值的最小值为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，由点到平面距离的空间向量法计算判断A；由点到平面的距离，结合计算判断B，若点为线段的中点，计算得判断C，由二面角空间向量法结合二次函数性质计算判断D. 【详解】以点为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，设，则， 由可得， 所以，即， 对于A，若，则， ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 所以点到平面的距离为，故A正确； 对于B，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 所以点到平面的距离为， 即点到平面的距离为定值， 因为的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，若，即点为线段的中点，， 此时，，， 因为， 所以的最小值不为，故C错误； 对于D，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 由正方体性质可知侧面的一个法向量为， 则二面角的余弦值为， 由二次函数性质可知，当或时，有最大值为， 所以有最小值， 即平面与侧面所成角的余弦值的最小值为，故D正确. 2 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 1.2.5　空间中的距离 课标要点 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 学习重难点 重点： 几种距离的求法． 难点： 用向量方法求空间距离． 知识点 空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长． 随学随练 已知＝(2，1，1)，＝(1，3，1)，则点A，B之间的距离为________． 知识点点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离．点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度． 随学随练特别提醒 如图，若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝，点P到直线l的距离也可以表示为d＝＝，其中l是直线l的一个方向向量． 1．（25-26高二下·陕西安康·期中）若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·四川成都·期中）四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 知识点点到平面的距离 (1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离．点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度． (2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝． 特别提醒 由于＝n0为平面的一个单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段的方向向量的数量积的绝对值，即d＝|·n0|. 随学随练1．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 知识点 相互平行的直线与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离． (2)如图，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝． 知识点相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． (2)一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长． (3)如图，如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量)，A和B分别是平面α与平面β内的点，则平面α与平面β之间的距离为d＝． 随学随练 1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 2．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 题型  点到平面距离的向量求法 ▌例1 （25-26高二下·湖北·期中）已知点是平面内一点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 题型  平行平面距离的向量求法 ▌例1如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 A． B． C． D． 题型 点到直线距离的向量求法 ▌例1（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 题型 异面直线距离的向量求法 ▌例1（25-26高二上·四川绵阳·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）    A． B． C．与夹角是 D．直线与直线的距离是 ▌对点练1-1如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______． 题型 空间线段点的存在性问题 ▌例1（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． ▌对点练1-1 （25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，， ，平面，． (1)设钝二面角大小为，求的值； (2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； (3)在上，在上，求最小值． 基础通关 1．（25-26高二下·江苏泰州·期中）已知直线l过点，其方向向量为，则点到直线l的距离为_____________. 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）在四棱锥中，是边长为1的等边三角形，，，，，则四棱锥的外接球表面积为____． 3．（25-26高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，为的边上的高，则_____． 4．（25-26高二下·云南曲靖·期中）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，，，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 5．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 6．（25-26高二下·贵州遵义·期中）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． (1)证明：、、、四点共面； (2)若，求点到平面的距离． 7．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 8．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长是2的正方体中，是底面的中心，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 9．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在棱长为的正方体中，分别为线段，的中点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 10．（25-26高二下·福建厦门·期中）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点D到平面的距离. 素养提升 11．（25-26高二下·重庆·期中）在直四棱柱中，底面是平行四边形，且，，，，分别为，的中点. (1)求平面与平面的夹角的正弦值； (2)求三棱锥的体积. 12．（25-26高二下·湖南·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，E是CD的中点，AC与BE相交于点H，点F在侧棱PD上，． (1)证明：平面； (2)当时，求点P到平面的距离． 13．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在正方体中，，，分别是，的中点．    (1)与平面所成角的正切值为________；（本小题直接写出答案即可） (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 14．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，，点是线段的中点，点在线段上，满足平面． (1)求证：是线段的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 迁移创新 15．（25-26高二下·江苏苏州·期中）下列关于空间向量的命题中不正确的是（    ） A．已知两个向量，，则与的夹角为锐角 B．已知过点的平面法向量为，则点到平面距离为 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．已知，，则在上的投影向量坐标为 16．（25-26高二下·江苏南京·期中）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则平面与平面夹角的余弦值为 B．若，则平面平面 C．若，则点到直线的距离的最小值为 D．存在唯一有序实数对，使得 17．（25-26高二下·江苏南通·期中）棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点（如图1），则下列结论正确的是（   ） A．直线与底面所成角的正切值为 B．异面直线与的距离为 C．若点为平面上的动点，且直线与所成角为，则动点的轨迹长度为 D．若，交于点，正方形的四个顶点在其所在平面内绕着点逆时针旋转，得到一个十面体（如图2），则该十面体的体积为 18．（25-26高二下·江苏南京·期中）在四棱锥中，面，，，，，点为的中点，点为的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．与面交于点，则 C．点到平面的距离为 D．三棱锥与的外接球体积之比为 19．（25-26高二下·贵州·期中）在四面体中，是正三角形，，，为的中点，点在线段上且满足，则（    ）    A．异面直线与所成角的余弦值为 B．三棱锥的体积为 C．点到平面的距离为 D．四面体的外接球表面积为 20．（25-26高二下·江苏常州·期中）如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（    ）    A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 21．（25-26高二下·江苏·期中）给出下列命题，其中正确的是（   ） A．向量，．若夹角为钝角，则实数t的取值范围为 B．在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是 C．平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2 D．在空间四边形ABCD中，，，则在上的投影向量为 22．（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图所示，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B．不存在点，使得平面平面 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．若正方体棱长为1，则以为球心，为半径的球体被平面所截图形面积的最小值为+2 23．（25-26高二下·江苏徐州·期中）已知正方体的棱长为为中点，.下列论述正确的是（    ） A．若，则点到平面的距离为 B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值为 D．平面与侧面所成角的余弦值的最小值为 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年7月9日高中数学作业》参考答案 题号 15 16 17 18 19 20 21 22 23 答案 AC BC ACD ABC ACD ACD BD AC ABD 1．2 【详解】依题意，，所以点到直线l的距离 2． 【分析】求外接球的表面积，先找球心，再求半径，根据球心在四棱锥高上，球心到顶点的距离等于半径，设球心，求半径，计算表面积即可． 【详解】在等腰梯形中，，，则， 在底面中连接， 则， 即，， 以为原点，，分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系：    可得：，，，， 因为，则底面外接圆，也即是的外接圆， 即的中点即为底面外接圆圆心，坐标为， 设，由，，， ，，； 可得， 解得，，，即， 由四棱锥外接球的性质，外接球的球心在过垂直于底面的直线上， 故设球心，半径为， 则，，， 由得：，解得， 因此外接球半径平方：， 外接球表面积：． 3．/ 【详解】依题意，，，，， 所以. 4．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出直线对应的方向向量和平面的法向量，利用向量垂直关系证明线面平行； （2）先求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式计算两个法向量夹角的余弦值，结合二面角与法向量夹角的关系，得到平面与平面所成角的余弦值； （3）利用点到平面距离的向量公式求出点到平面的距离． 【详解】（1） 因为四边形为正方形，所以，， 又，所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，显然是平面的一个法向量， 因为，所以， 又平面，所以平面； （2）由（1）得，，， 设平面的法向量， 所以，即， 令，得， 设平面的法向量， 所以，即， 令，得， 所以 所以平面与平面所成角的余弦值为； （3）由（2）得平面的一个法向量，， 所以点到平面的距离． 5．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量后，借助点到平面的距离公式计算即可得； （3）利用空间向量求出线面角的正弦值． 【详解】（1） 连接交于点，连接， 因为是矩形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面； 所以平面； （2）因为平面，是矩形， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，令，得， 所以点到平面的距离； （3）显然是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 6．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为空间内一组基底，根据空间向量线性运算结合空间向量共面基本定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，根据点到平面距离空间向量法计算即可. 【详解】（1）因为为非零向量且不共线， 所以可以作为空间内一组基底， 因为在侧棱上，， 所以， 同理可得， 因为为的中点，所以， 因为, 所以共面，即、、、四点共面； （2）以点为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 7．(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【分析】（1）作，由面面垂直的性质定理得到面，进而得出，结合，证得平面；（2）①建立空间直角坐标系，根据点到面的距离公式，求出，②求面和面的法向量，根据二面角的向量公式求出的值. 【详解】（1）过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，面， 面面，面面， 所以面， 又因为面，所以， 因为四边形是矩形，所以， 所以， 因为，， ，面，面， 所以面. （2）因为面，面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，，则，， 且由得， ①设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 所以， 又，所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此； ②设，则， 即有，且， 设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 即， 由已知是面的一个法向量， 所以， 解得． 8．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可. （2）由题意可得，建立空间直角坐标系，由异面直线的向量求法，求解即可. 【详解】（1）因为F为的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 所以， 所以， 故， 因此异面直线与所成角的大小为. 9．(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可； （2）利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 已知正方体棱长为，则，，，， 所以，，因， 所以. （2）由题可得，，，. ，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点到直线的距离为. （3）根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设平面与平面所成角为， 故， 即平面与平面所成角的余弦值为. 10．(1)； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可； （2）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）因平面，平面， 则，又四边形为矩形，则. 如图建立以A为原点的空间直角坐标系，    则， ，，. 设平面法向量为，则， 取，则. 设直线与平面夹角为， 则； （2）由（1）解析可得， 所以到平面的距离为： 11．(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解； （2）利用向量法先求点到平面的距离，再由三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）在直四棱柱中，有平面，又， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 又，，， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以； （2）由（1）点到平面的距离为：， 又，所以， 又因为，， 所以， 所以三棱锥的体积为. 12．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）因为底面平面ABCD，所以． 在和中，，即， 故，得，即， 又平面，故平面PAC． （2）由已知得，， 故以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 当时，，则， 设平面HEF的法向量为， 则，令，可得， 所以点P到平面EFH的距离． 13．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线面夹角的定义即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可． 【详解】（1）由正方体得，平面，四边形为正方形， 连接，则与平面所成角即为， 因为是中点，所以， 在中，．    （2）以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 所以直线与所成角的余弦值为． （3）设平面的法向量为， 则得取，则， 得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为．    14．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先判断四点共面，再结合线面平行的性质得到，最后结合平行四边形的性质求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，进而利用面面角的向量求法求解即可. （3）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）在中，过点N作交BC于点Q，连接QM， 如图，作出符合题意的图形， 在三棱柱中，因为，所以， 所以四点共面，因为直线平面，平面， 平面平面，所以． 所以四边形是平行四边形， 得到，所以为的中点． （2）因为平面，平面， 所以，又因为正方形，， 故可以B为原点建立空间直角坐标系，如下图， 因为，所以，，，， ， ，，所以，． 设平面的一个法向量为， 由，得，取，得， 易知平面的法向量， 得到， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）设平面的一个法向量为， 而，由中点坐标公式得，则， 由，得，取，得， 又，设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得. 15．AC 【分析】根据向量共线判断A；根据点到平面的坐标计算判断B；根据基底的概念判断C；根据投影向量计算判断D. 【详解】对于A：由题意知，，所以与同向共线，夹角为0，不是锐角，A错误. 对于B：，所以点到平面距离为，B正确. 对于C：假设存在实数，使得， 整理得. 因为是空间的一组基底，所以， 存在非零解满足条件，所以三个向量线性相关，故不能作为基底，C错误. 对于D：在上的投影向量为，D正确. 16．BC 【分析】先根据题意建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，进而根据二面角的向量求法即可判断选项A；利用空间向量证明面面平行即可判断选项B；根据点到直线距离的向量求法即可判断选项C；根据题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上，再数形结合可判断D． 【详解】依题意，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 由正方体的棱长为，且点为棱的中点， 则，，，，，，， 对于A，若，，则，即点与点重合，即， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为，故A错误； 对于B，若，则，即， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 结合选项A知平面的法向量为， 所以，即，即平面平面，故B正确； 对于C，若，则，与三点共线，即在线段上， 设，，则， 则，， 所以点到直线的距离为， 所以当，即为线段的中点时，点到直线的距离取最小值，且最小值为，故C正确； 对于D，易知与均垂直于平面，连接，， 则，，若，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 若，则，则点在以为圆心，为半径的圆上（均为侧面内部）， 两圆的圆心距，故两圆弧相交（如图所示）， 故符合条件的点有两个，对应的有两组，故D错误． 17．ACD 【分析】A建立空间直角坐标系计算线面角正弦，再应用同角三角函数关系即可求解判断；B应用空间向量计算异面直线间距离即可；C求证平面，即可确定轨迹为圆；D将图形分割为三棱锥进行求解. 【详解】对于A，如图建立空间直角坐标系. 则， ， 又平面的一个法向量显然为， 设与平面夹角为，则， 所以，故A正确； B选项，因为，， 设异面直线公垂向量，又因为， 所以，令，则， 设异面直线与的距离为，B选项错误； C选项，因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，同理可得，， 因为平面，所以平面， 设平面，因为平面，所以， 因为直线与所成角为，所以， 则动点Q的轨迹是半径为的圆，故其长度为，故C正确； D选项，连接， 因为平面，所以三棱锥的高为， 则，同理可得，， 因为，且，所以， 所以， ， 因为，所以， 所以， 因为， 所以十面体的体积为，故D正确. 18．ABC 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，由向量的数量积 判断A；求出平面的法向量，再由空间点到平面的距离公式判断C；由几何关系找到各外接球圆心位置求出半径判断D；设，求出平面的法向量，再由判断B. 【详解】 因为平面 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 又，，点为的中点，点为的中点， 则， 由中点坐标公式可得， A，，， 所以，即，故A正确； B，设，，则，， 设平面的法向量为，， 由，可得，令，则， 因为 ，解得， 所以，故B正确； C，设平面的法向量为， 由，可得，令，可得， 又，所以点到平面的距离为，故C正确； D，因为平面，所以三棱锥的外接球的球心为中点， 又，所以其外接球半径为； 因为，，，所以， 又平面所以三棱锥的外接球的球心为的中点， ，所以其外接球半径为， 所以外接球半径之比为，即外接球体积之比为，故D错误； 19．ACD 【分析】取线段的中点，连接、，则，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；利用锥体体积公式可判断B选项；设球心为，求出球心坐标，结合球体表面积公式可判断D选项. 【详解】因为是正三角形，，，则， 即也是等边三角形，取线段的中点，连接、，则，， 且，同理可得， 又因为，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    根据题意得、、、、、， 对于A选项，，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为，A对； 对于B选项，因为，则， 所以点到平面的距离等于点到平面距离的， 故，B错； 对于C选项，设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 又因为，所以点到平面的距离为，C对； 对于D选项，设外接球球心为， 由可得，解得， 即外接球球心为，外接球半径为， 故四面体的外接球表面积为，D对. 20．ACD 【分析】A，通过向量表示即可. B，在A的基础上利用数量积求模. C，利用数量积求夹角余弦值. D，通过距离确定球心位置和半径后，通过等体积法求出截面半径以及面积. 【详解】选项A，，所以，正确. 选项B，， 所以，错误. 选项C，，且， 所以，正确. 选项D，因为，，所以为等腰直角三角形.    取中点，因为，所以该外接球是以为球心，. 对于锥体的体积， 因为投影落在上，所以， 所以到面的距离. 因为， 所以，解得. 所以截面半径， 所以，正确. 21．BD 【分析】应用向量夹角为钝角列式计算判断A，应用点关于面对称判断B，利用空间向量线性运算可得，结合数量积的运算律可求得，进而得到所求结果判断C，应用投影向量计算判断D. 【详解】向量，，若夹角为钝角，则 且不共线，所以且， 则实数t的取值范围为，A选项错误； 在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是，B选项正确； 平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成， 四边形为平行四边形，，又， ， ，， 因为在空间四边形中，与成角，或， 又，， 当时，，，即此时两点间的距离为； 当时，，，即此时两点间的距离为； 综上所述：两点间的距离为或，C选项错误； 在空间四边形ABCD中，，，则与的夹角为， 则在上的投影向量为，D选项正确； 22．AC 【分析】通过证明平面平面，判断A；建立空间坐标系，利用线线垂直的向量求法及面面垂直判定定理即可判断B；利用线面角的向量求法即可判断C；利用截面圆性质求出截面圆半径，代入圆的面积求解公式即可判断D. 【详解】对于A，连接，， 正方体中，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面. 又，平面，，所以平面平面. 又平面，所以平面.故A正确. 以为坐标原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则，，，，，，，， 所以，，. 所以，， 所以，，即，， 又，平面，且，所以平面， 又平面，所以平面平面. 所以当点为中点时，，，三点共线，所以平面与平面为同一平面， 此时平面，所以平面平面. 故存在点，使得平面平面，B错误. 由平面，取平面的法向量为. 设，，则. 设直线与平面所成角为， 则 ， 因为，所以，所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故C正确. 当时，已知为边长为2的等边三角形， 此时，，，， 设点到平面的距离为， 则. 当点与点重合时，取最小值，最小值为1， 此时截面的半径取最小值，为， 所以截面面积的最小值为，故D错误. 23．ABD 【分析】建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，由点到平面距离的空间向量法计算判断A；由点到平面的距离，结合计算判断B，若点为线段的中点，计算得判断C，由二面角空间向量法结合二次函数性质计算判断D. 【详解】以点为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，设，则， 由可得， 所以，即， 对于A，若，则， ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 所以点到平面的距离为，故A正确； 对于B，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 所以点到平面的距离为， 即点到平面的距离为定值， 因为的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，若，即点为线段的中点，， 此时，，， 因为， 所以的最小值不为，故C错误； 对于D，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 由正方体性质可知侧面的一个法向量为， 则二面角的余弦值为， 由二次函数性质可知，当或时，有最大值为， 所以有最小值， 即平面与侧面所成角的余弦值的最小值为，故D正确. 46 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $