2.3 直线与平面的夹角-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

1．2.3　直线与平面的夹角

 

 

思考1　直线与平面的位置关系有几种？

[提示]　直线在平面内和直线在平面外两种位置关系，直线在平面外又包括直线与平面相交和直线与平面平行．

思考2　类比异面直线的位置关系，如何刻画直线与平面相交这种位置关系？

[提示]　可引入直线与平面所成的角．

[知识梳理]

1．斜线与平面所成的角

注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的角，称为这条斜线与平面所成的角．

2．直线与平面所成的角

(1)定义：如图，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A′B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA′就是直线AB与平面α所成的角．

(2)范围：直线与平面α所成的角θ的范围是.当θ＝0时，AB∥α或AB⊂α；当θ＝时，AB⊥α.

[例1] 如图为正方体ABCD­A1B1C1D1，写出下列角：

(1)A1C1与平面ABCD所成的角；

(2)A1C1与平面BB1D1D所成的角；

(3)A1C1与平面BB1C1C所成的角；

(4)A1C1与平面ABC1D1所成的角．

【解】　(1)因为A1C1∥平面ABCD，所以A1C1与平面ABCD所成的角为0.

(2)因为A1C1⊥平面BB1D1D，所以A1C1与平面BB1D1D所成的角为.

(3)A1C1与平面BB1C1C所成的角为∠A1C1B1，而∠A1C1B1＝，所以A1C1与平面BB1C1C所成的角为.

(4)连接BC1，A1D，AD1，设A1D交AD1于点E，连接EC1，则A1C1与平面ABC1D1所成的角即为∠A1C1E＝，所以A1C1与平面ABC1D1所成的角为.

利用线面角定义，求线面角即求斜线与它在平面内的射影所成的角，所以找

该斜线在平面内的射影是关键，而找射影的关键是找垂线，所以求线面角的关键是找平面的垂线．

[跟踪训练1] (1)已知正方形ABCD的边长为，PA⊥平面ABCD，PA＝2，则PC与平面ABCD所成的角是(　　)

A．30°　　　　　　 B．45°   

C．60° D．90°

解析：选B.

由于PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，故∠PCA是PC与平面ABCD所成的角，由于正方形ABCD的边长为，所以AC＝＝2＝PA，所以∠PCA＝45°.故选B.

　(2)过平面α外一点P的斜线段是过这点的垂线段的倍，则斜线与平面α所成的角是________．

解析：

如图，连接AB，由PB⊥α，知∠PAB是斜线段PA与平面α所成的角，在Rt△PAB中，因为PA＝PB，所以 sin ∠PAB＝＝，因为∠PAB∈(0，)，所以∠PAB＝，即斜线段PA与平面α所成的角为.

答案：