1.2.3 直线与平面的夹角(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

该高中数学导学案聚焦“直线与平面的夹角”，通过迈克尔·杰克逊45度倾斜舞步情境导入，引导学生思考夹角定义，衔接线线角知识，以定义理解、最小角定理、向量法为支架，构建从直观到抽象的学习脉络。 资料特色在于情境贴近生活激发兴趣，结合直观想象，提供定义法、公式法、向量法多种解题路径，母题探究与变式训练培养数学思维和运算能力，自我诊断与随堂检测助力学生巩固知识，提升空间几何问题解决能力。

1.2.3　直线与平面的夹角 课标 要求 1.能用向量语言表述直线与平面的夹角（直观想象）． 2.能用向量方法解决线面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用（数学运算）． 　　迈克尔•杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之王”．迈克尔•杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其像谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔杰克逊早在1993年就申请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”． 【问题】　 45度到底指的是哪个角呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　直线与平面的夹角 1.直线和平面所成的角 【想一想】 　斜线与平面的夹角为［0，］，对吗？ 2.最小角定理 提醒：在公式①中，令θ2=90°，则cos θ=cos θ1•cos 90°=0.∴θ=90°，即当OM⊥OB时，有OM⊥OA，此即三垂线定理；反之，若令θ=90°，则cos θ1•cos θ2=0.∵θ1≠90°，∴θ2=90°，即当OM⊥OA时，有OM⊥OB，此即三垂线定理的逆定理．由此可知三垂线定理及其逆定理可以看成是此公式的特例． 3.用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ=　　 　　或θ=　　　　　，特别地cos θ=　　　　　　或sin θ=　　　　　　． 【想一想】 　直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线与平面的夹角的取值范围是［0，］．（　　） （2）直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．（　　） （3）一条直线与平面α所成的角是它和平面α内所有直线所成的角的最小角．（　　） （4）若平面α的法向量为u，直线l的方向向量为v，直线l与平面α所成的角为θ，则cos θ=．（　　） 2.已知向量m，n，分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉=－，则直线l与平面α所成的角为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 3.已知平面α的一个法向量为n=（1，－1，0），则x轴与平面α所成角的大小为（　　 ） A．　　　 B．　　 C．　　　 D． 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为　　　　． 题型一　利用定义求直线与平面的夹角 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°． （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值． 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）若本例条件不变，问题（2）改为：D为PB上的一点，且BD=PB，试求AD与平面PAC夹角的正弦值． 2.（变设问）若本例（2）条件不变，求AD与平面PBC的夹角的正弦值． 规律方法 求直线和平面所成角的步骤 （1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； （2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； （3）把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． 1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2a，AD=a，AA1=a，则直线B1C与平面ABCD所成的角是（　　） A．45° B．90° C．正切值为2　　 D．正切值为 2.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90°，且AB=AD，则AD与平面BCD所成的角是（　　） A．30°　　 B．45° C．60°　　 D．90° 题型二　利用cos θ=cos θ1cos θ2求直线与平面夹角 〔一题多解〕（链接教科书第45页例1）已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=a，BC=a，求OA与平面α所成的角． 尝试解答 规律方法 cos θ=cos θ1•cos θ2的应用 （1）利用公式cos θ=cos θ1•cos θ2求直线与平面的夹角，应明确图形中θ，θ1，θ2； （2）①当θ=90°⇔θ2=90°，即符合三垂线定理； ②由0＜cos θ2＜1，所以cos θ＜cos θ1⇒θ1＜θ，即θ1为所有θ角中最小的角． 　PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，每两条射线的夹角为60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 题型三　利用空间向量求直线与平面的夹角 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点．求直线BE与平面EAC所成角的正弦值． 尝试解答 【母题探究】 （变设问）若点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°，求出的值． 规律方法 用法向量求线面角的正弦值的流程图 已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直．若点C到平面AB1D1的距离为，则直线B1D与平面AB1D1所成角的余弦值为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 1.若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是（　　） A．［0，］　　 B．［，］ C．［，］　　 D．［，］ 2.如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OC，则直线CD与平面PAC所成的角是（　　） A．45°　　 B．90° C．30°　　 D．60° 3.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，BB1=2，点D是棱BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的大小为（　　） A．　　 B． C．　　 D． 4.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉=－，则l与α所成的角为　　　　． 完成课后作业　第一章　1.2　1.2.3 答案 答案 1.2.3　直线与平面的夹角 【基础落实】 新知初探 知识点 1.90°　0°　射影 想一想 提示：错误．斜线与平面的夹角为（0，）． 2.cos θ=cos θ1•cos θ2　射影　最小的角 3.－〈v，n〉　〈v，n〉－　sin〈v，n〉　|cos〈v，n〉| 想一想 提示：不是．直线和平面的夹角为． 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）× 2.A　设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ=|cos〈m，n〉|=．∵θ∈［0，］，∴θ=．选项A正确，选项B、C、D错误，故选A． 3.C　依题意x轴的方向向量可以为m=（1，0，0），设x轴与平面α所成角为θ，则sin θ===，因为θ∈［0，］，所以θ=，故选C． 4.30°　解析：如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1⊥平面AA1C1C，所以∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成角，设正方体的棱长为1，则OB1=，CB1=，sin ∠B1CO==，可得∠B1CO=30°．即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°． 【典例研析】 【例 1】　解：（1）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC． 又∠BCA=90°，所以AC⊥BC， 又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA⋂AC=A，所以BC⊥平面PAC． （2）取PC的中点E，连接DE． 因为D为PB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC． 连接AE，则AE是AD在平面PAC内的射影，且DE⊥AE， 所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角．设PA=AB=a， 在Rt△ABC中，因为∠ABC=60°，∠BCA=90°，所以BC=，DE=， 在Rt△ABP中，AD=a， 所以sin∠DAE===． 即AD与平面PAC夹角的正弦值为． 母题探究 1.解：由已知BC⊥AC，BC⊥PA，AC⋂PA=A， 所以BC⊥平面PAC，BC⊥PC，过PB的三等分点D作DE∥BC，则DE⊥平面PAC，由BD=PB且DE=BC，连接AE，AD， 则∠DAE为AD与平面PAC的夹角，不妨设PA=AB=1，因为∠ABC=60°， 所以BC=，DE=×=，PB=，BD=． 在△ABD中，AD2=AB2＋BD2－2AB•BD•cos 45°=，所以AD=， 所以sin∠DAE===． 即AD与平面PAC夹角的正弦值为． 2.解：由本例（1）知BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC． 过A作AE⊥PC于E．所以AE⊥平面PBC． 连接ED，则∠ADE为AD与平面PBC的夹角． 设PA=2a，AB=2a， 所以PB=2a．故AD=a． 在△APC中，AP=2a， AC=AB•sin 60°=2a×=a，所以PC==a，设∠ACP=θ， 则AE=AC•sin θ=AC×=a×=a=a， 所以sin∠ADE===． 即AD与平面PBC夹角的正弦值为． 跟踪训练 1.A　长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1B⊥平面ABCD，所以∠B1CB就是直线B1C与平面ABCD所成的角，在Rt△B1BC中，BC=AD=a，BB1=AA1=a，所以tan∠B1CB==1，所以∠B1CB=45°．故选A． 2.B　如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E．因为平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD，平面ABD⋂平面BCD=BD，所以AE⊥平面BCD，所以AD与平面BCD所成的角是∠ADE，因为∠BAD=90°，且AB=AD，所以∠ADE=45°．所以AD与平面BCD所成的角是45°．故选B． 【例 2】　解：法一　∵OA=OB=OC=a，∠AOB=∠AOC=60°，∴AB=AC=a． 又∵BC=a，∴AB2＋AC2=BC2. ∴△ABC为等腰直角三角形． 同理△BOC也为等腰直角三角形． 取BC的中点H，连接AH，OH， ∴AH=a，OH=a，又AO=a， ∴AH2＋OH2=AO2. ∴△AHO为等腰直角三角形． 且AH⊥OH． 又∵AH⊥BC，OH⋂BC=H，OH，BC⊂平面α， ∴AH⊥平面α． ∴OH为AO在α平面内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角． 在Rt△AOH中，sin∠AOH==． ∴∠AOH=45°． ∴OA与平面α所成的角为45°． 法二　∵∠AOB=∠AOC=60°， ∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线， 作∠BOC的角平分线OH交BC于H． 又OB=OC=a，BC=a，∴∠BOC=90°． 故∠BOH=45°，由公式cos θ=cos θ1•cos θ2， 得cos∠AOH==， ∴OA与平面α所成的角为45°． 跟踪训练 C　如图，∵∠CPA=∠CPB，∴PC在平面APB内的射影PH是∠APB的平分线．∴cos∠CPH===． 【例 3】　解：连接EM，MC，因为EA=EB，M是AB的中点，所以EM⊥AB， 因为平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE⋂平面ABCD=AB，EM⊂平面ABE， 所以EM⊥平面ABCD， 又CM⊂平面ABCD，所以EM⊥CM， 在菱形ABCD中，因为∠ABC=60°， 所以△ABC是正三角形， 所以MC⊥AB，所以ME，MC，MB两两垂直． 所以以点M为坐标原点，MB，MC，ME所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（－1，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），E（0，0，）， =（1，，0），=（1，0，），=（－1，0，）， 设m=（x，y，z）是平面ACE的一个法向量， 则即 令z=1，得m=（－，1，1）， 设直线BE与平面EAC所成的角为θ， 则sin θ=|cos〈，m〉|===， 所以直线BE与平面EAC所成角的正弦值为． 母题探究 解：由题意可知， 平面ABE的一个法向量为n=（0，1，0）， =（1，0，），=（0，，－）， 设=λ=（0，λ，－λ），0≤λ≤1， 则=＋=（1，λ，－λ）， 因为直线AP与平面ABE所成的角为45°， 所以sin 45°=|cos〈，n〉|===， 整理可得4－6λ=0，解得λ=，所以=． 跟踪训练 A　如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接AO，过点C作CH⊥AO于点H，连接CO，AC．易得平面AB1D1⊥平面AA1C1C，且平面AB1D1⋂平面AA1C1C=AO，CH⊂平面AA1C1C，所以CH⊥平面AB1D1，则CH=．设AA1=a（a＞0），则AO=CO=，AC=2，则根据三角形面积公式得S△AOC=×AO×CH=×AC×AA1，代入解得a=2（负值舍）．以A1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz．则A（0，0，2），B1（2，0，0），D1（0，2，0），D（0，2，2），所以=（0，2，－2），=（2，0，－2），=（－2，2，2）．设平面AB1D1的法向量为n=（x，y，z），则即令x=，得平面AB1D1的一个法向量n=（，，1）．cos〈，n〉==，所以直线B1D与平面AB1D1所成角的余弦值为=，故选A． 随堂检测 1.D　由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为． 2.C　如图，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz．设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A（0，－a，0），C（0，a，0），D（－a，0，0），S（0，0，a），P（－，0，），则=（0，－2a，0），=（－，a，），=（－a，－a，0）．设平面PAC的法向量为n=（x，y，z），则n•=0，n•=0，∴可取n=（1，0，1）．设直线CD与平面PAC所成的角为θ，则sin θ=|cos〈，n〉|===，又0°≤θ≤90°，∴θ=30°．故选C． 3.B　如图，取AC，A1C1的中点分别为M，M1，连接MM1，BM，过点D作DN∥BM交MM1于点N，则易证DN⊥平面AA1C1C，连接AN，则∠DAN为AD与平面AA1C1C所成的角．在Rt△DNA中，sin∠DAN===，∠DAN=． 4.　解析：设l与α所成的角为θ，则sin θ=|cos〈m，n〉|=．因为θ∈［0，］，所以θ=． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $