1.2.4 二面角（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“二面角”核心知识点，系统梳理二面角的定义、平面角、范围等概念，构建“平面角概念-空间二面角度量-向量法求解”的学习支架，详细阐述法向量夹角与二面角关系及坐标法解题步骤。 资料通过即学即练、典例与变式分层设计，培养数学眼光（空间观念）和数学思维（逻辑推理），如折叠问题中用向量法分析二面角，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

1.2.4 二面角 教学目标 1.能明确平面与平面的夹角。 2.会用向量法解决平面与平面的夹角问题。 教学重难点 1.重点 运用向量法求解空间平面与平面的夹角。 2.难点 （1）用向量法求解二面角。 （2）两个平面的法向量的夹角与二面角的关系。 知识点01 二面角及其度量 1.二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.如图所示，其中，直线l称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面，如图中的α，β. 2.二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角. 3.二面角的范围：[0，π]. 4.两个平面所成的角 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小. 【即学即练】 （25-26高二·全国·寒假作业）如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小_______． 【答案】或 【分析】略. 【详解】略. 知识点02 利用空间向量求解二面角的大小 1.设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，α1与α2所成角的大小为θ. θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉， sin θ＝sin〈n1，n2〉. 【注意】(1)若求两个平面的夹角，直接利用公式cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. (2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角. 2.利用坐标法求二面角的步骤 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图.用坐标法解题的步骤如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系. (2)求法向量：在建立的坐标系下求或找两个平面的法向量n1，n2. (3)计算：设n1与n2所成锐角为θ，cos θ＝. (4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ. 【即学即练】 1.（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    【答案】/ 【分析】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，易得平面的法向量为，求出平面的法向量为，使用向量夹角公式即可求解. 【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图：    则有， 且有， 易得为平面的法向量， 设平面的法向量为，， 则有，令，则， 则， 即平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为， 故答案为：. 2.（2026·广东深圳·二模）在菱形中，，将沿折起得到．若二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 【答案】 【分析】作的中点，作平面，以为坐标原点，为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，根据几何关系可得为正三角形，分别表示出各点的坐标，利用向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】作的中点，作平面，以为坐标原点，为轴， 过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，可得为正三角形， 于是，得到， 且， 则， 故． 故答案为： 题型01 二面角的概念 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）图，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角．若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角．设平面与平面的夹角为，则______． 【答案】 【分析】略 【详解】略 【变式1】（25-26高二上·上海·期中）小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角；④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是的有______（请填写序号） 【答案】③④ 【分析】根据异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，两个非零向量的夹角的概念即可判断. 【详解】异面直线所成的角的范围为，①错误； 直线与平面所成的角的范围为，②错误； 二面角的范围为，③正确； 两个非零向量的夹角为，④正确. 故答案为：③④ 【变式2】（25-26高二·全国·寒假作业）（1）如图①，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小＝__________．    （2）如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小__________． 【答案】 或 【分析】略 【详解】略 【变式3】（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）若两平面的法向量，夹角的余弦值为，则两个平面的夹角为______． 【答案】 【分析】设两平面夹角为，得到，求出. 【详解】两个平面的夹角设为，则， 故. 故答案为：. 题型02 空间向量求二面角 【典例1】（25-26高二下·浙江·阶段检测）在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法1，利用长方体的线面垂直性质找出二面角的平面角，再通过直角三角形的边角关系计算得到二面角的余弦值；法2，建立空间直角坐标系，分别求出二面角两个半平面的法向量，通过计算法向量的夹角余弦值得到二面角的余弦值. 【详解】法1：长方体中侧棱底面，因此，且， 所以二面角的平面角就是. 由题意，矩形中，，，， 由勾股定理得斜边. 在中，，即二面角的余弦值为. 法2：在长方体中，以为原点， 分别以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 设侧棱，结合已知，， 得，，，， 而二面角的两个半平面为面和面， 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，得； 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，，即， 该二面角为锐角，设为，则. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角余弦值． 【详解】由题意知两两垂直， 则以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系． ∴，， 由， 设平面的法向量， 则，取，得， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则， ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 【变式2】（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，则由图可知，为钝角， 所以. 【变式3】（25-26高二下·福建漳州·期末）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)如图： 在矩形中，分别为的中点，连接，则， 平面，平面，所以平面. 在与中，因为，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，且，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据面面平行的判定定理进行证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【详解】（1）略 （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因， 则，即. 令，则， 设平面的法向量为， 所以， 所以所求二面角的余弦值为． 【变式4】（25-26高二下·西藏昌都·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，与相交于点O，平面，，，点E为线段中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小． 【答案】(1)因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 底面ABCD为正方形，，，平面PBD，平面PBD， 所以平面PBD，平面PBD，所以， 平面ABCD，平面ABCD，所以， 在中，，，又点E为线段PO中点，所以， 因为，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及性质证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图所示，建立空间直角坐标系，    则，，，，， 则，，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即，令，则，所以． 由（1）可知，为平面PAC的法向量， 设平面PAC与平面PBC夹角为，则， 又，所以，即平面PAC与平面PBC夹角为． 题型03 根据二面角的大小求解其他问题 【典例1】（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，二面角的平面角就是向量与的夹角，进而得与的夹角为，再根据数量积定义求解即可. 【详解】因为，为的中点，所以， 因为， 所以二面角的平面角就是向量与的夹角，为， 因为向量与方向相反， 所以与的夹角为 ， 因为，， 所以 【变式1】（25-26高二上·山东日照·期末）已知二面角的大小为，棱上有两点，线段和分别在面和内，且，．若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】由图得，再根据向量数量积的运算律和定义代入数据即可得到答案. 【详解】因为，二面角的大小为， 所以，． 因为， 由题意得， 所以． 所以， 所以. 故答案为：. 【变式2】（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，．沿AC把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为________． 【答案】 【分析】以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角即可. 【详解】以点 为坐标原点，平面 为 平面， 方向分别为 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，则 ， 在矩形 中，作 于 于 于 ，则 为 在平面 上的射影. 因为 ，所以 . 所以 ，所以 ， ， 所以 ，所以 ， 设平面 的法向量为 . 则 ，令 ，则 ， 因为平面 的一个法向量为 ， 所以 . 由图可知二面角 为锐角. 所以二面角 的余弦值为 . 【变式3】（25-26高二下·北京海淀·期中）如图，为直四棱柱，底面ABCD是等腰梯形，，.点在平面内，是等腰三角形. ①若，直线与平面所成角的正弦值为__________； ②若二面角为，四棱锥的体积为__________. 【答案】 / 【分析】①问求线面角的正弦值，由等腰三角形条件确定点的坐标特征，再利用空间中两点距离公式及线面角的定义，将正弦值转化为垂线段与斜线段的比值直接求解； ②建立空间直角坐标系，依次求出底面梯形几何量（下底长、高、面积），并利用法向量（定义法列方程组）与二面角的余弦值建立方程解出高，最后代入棱锥体积公式得出结果. 【详解】已知直四棱柱底面是等腰梯形，，，. 过点分别作底边的垂线，垂足分别为. 因为，所以四边形为矩形，. 在中，，（腰长），由三角函数定义： ， 由等腰梯形的对称性，得. 因此下底. 上底面与底面全等，其面积：高 以为原点，方向为轴，梯形高方向（在底面内垂直于）为轴， 侧棱方向为轴.设侧棱长为，得各点坐标： ， 平面即为平面.点在该平面内，且为等腰三角形， 故在的垂直平分线上，得. 记为到上底面的距离， 已知，则解得. 设直线与平面所成角为，则 ②在平面内 设平面的法向量，则， 取，，则，故. 设平面的法向量， 点坐标为，取，则.另取. 则，取，则，代入得， 又，故，因此. 二面角的大小为，其余弦值为. 两法向量夹角的余弦值为： ， ， ， 所以：， 结合二面角方向判断，二面角为钝角，余弦值为负， 得：，解得（取正值）. 四棱锥体积： 代入得： 1.（25-26高二下·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式列式求解. 【详解】设二面角的大小为，由， 得，， 则， 而，由对角线与所成角的余弦值为，得， 解得，又，解得， 所以二面角的大小为. 2．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】利用两个平面所成角的余弦公式求解. 【详解】，则， 又因为，， 所以. 3．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.    【答案】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】由题意，可构建如下空间直角坐标系，则， 所以，若平面的一个法向量为，    所以，取，则， 而是平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故答案为： 4．（2026·上海·二模）在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 【答案】 【分析】法一在正四棱台中，由异面直线所成角可得，再根据面面角定义计算求解即可，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，进而利用二面角的向量求法并结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】法一：在正四棱台中，， 因为，，所以为异面直线与所成的角， 即，过点作平面的垂线，垂足为， 作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示： 由正四棱台性质可知，点在线段上，， 所以，，， 由二面角定义可知即为二面角的平面角， 而，故. 法二：如图，作出符合题意的图形，作下底面中心，上底面中心， 以为原点，建立空间直角坐标系，设正四棱台的高为， 由题意得，，则，， ，，则，， 因为异面直线与所成角为， 所以，解得， 由题意得面的法向量为， 则，，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 得到，由图可知，是锐角，则， 由已知得，由同角三角函数的基本关系得， 故. 5.（2026高三·全国·专题练习）已知是棱长为6的正方体，，分别是棱，上的动点，且．当共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为________． 【答案】/ 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据题意，得到时， 四点共面，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，当时，即为的中点时，四点共面， 可得，且， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以， 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 6．（25-26高二下·贵州毕节·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，，，E为的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)连接，在中， 由余弦定理得 ， . 又，. 由侧棱底面，底面， . 又平面，平面 平面，. (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，从而证得； （2）建立空间直角坐标系，由面面角的向量求法求得平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1）略 （2）建立空间直角坐标系如图所示，则 ，，，， ， 设平面的法向量为， 则， 令，得平面的一个法向量为. 又底面，平面，所以平面平面. 因为平面平面，平面， 所以平面. 所以平面的一个法向量为 平面与平面的夹角的余弦值为. 7．（2026高一上·广东江门·竞赛）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1)取的中点为，连接， 又为的中点，则且， 又正方形中，为的中点，则且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 故，又因为平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，通过证明四边形为平行四边形可证得结论； （2）取的中点为，的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量法求二面角的正弦值. 【详解】（1）略. （2）取的中点为，的中点为，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又四边形为正方形，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的正弦值为． 8．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，. (1)求证：直线 (2)若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)因为平面，平面， 所以， 因为点分别是的中点，所以， 因为，所以， 所以，且，平面， 所以平面，平面， 所以； (2) 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面； （2）首先根据体积公式求侧棱长，再以点为原点建立空间直角坐标系，根据垂直关系，分别求平面和平面的法向量，再代入向量公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，则，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即，得， 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，连结， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， 因为 平面平面，且平面平面， 又，点是的中点，所以， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， ，，，， ，， 设平面与平面所成锐二面角为， 则, 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 9．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点． (1)求异面直线ND1与B1C夹角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量夹角公式求解即可； （2）建立空间直角坐标系，确定平面法向量，再结合向量夹角公式求解. 【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 得，，，， 由为的中点，得， 所以，， 所以， 故异面直线与夹角的余弦值为. （2）由（1）得，，，，），， 则有，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有，， 分别取，则有，，，， 即，， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 10．（25-26高二下·广东广州·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：法一：取中点，连结， 因为为正三角形，所以， 又因为正三棱柱中，平面平面，交线为， 所以平面，因为面，所以， 可得，所以． 又因为，所以，所以， 因为，且面，可得面． 又因为面，所以， 因为四边形是正方形，可得， 又因为，且面，所以面． 法二：取中点，以为原点，的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，所以，即 又因为，所以，即， 因为平面，且，所以平面． (2)． 【分析】（1）法一：取中点，连结，证得，再由四边形是正方形，得到，利用线面垂直的判定定理，即可证得面． 法二：以为原点，建立空间直角坐标系，求得和，得到和，利用线面垂直的判定定理，即可证得面． （2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，． 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 由（1）知平面．所以为平面的法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 1.（2026高三下·重庆·竞赛）四面体满足，，则二面角的余弦值为________． 【答案】 【分析】以为原点，为轴建立空间直角坐标系，根据条件分别得出的坐标，利用平面的法向量即可求解. 【详解】以为原点，为轴，建立空间直角坐标系以及底面的平面图： ，，由于，， 在中，由余弦定理得，所以， 设，所以，故， 设，由于，，， 所以有，，，解得，，， 所以， 设平面的法向量为，，， 则有，即，令，则，，即， 设平面的法向量为， 设二面角的平面角为，且为锐角， 则 即二面角的余弦值为． 2．（25-26高二上·四川遂宁·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有___________. ①当向运动时，二面角的大小不变 ②二面角的最小值为 ③当向运动时，总成立 ④在方向上的投影向量为 【答案】①②④ 【分析】根据已知条件建系结合二面角定义及二面角余弦的坐标公式计算判断①②，再应用数量积为0判断垂直判定③，最后应用投影向量定义计算判断④. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为在上，且，故可设，，， 所以，. 对于①，连接，平面即为平面，而平面即为平面， 故当向运动时，二面角的大小不变，①对； 对于②，设平面的法向量为，又， 所以， 所以 取，则，所以是平面的一个法向量， 又平面的一个法向量为，所以， 设二面角的平面角为，则为锐角，故， 因为，故，所以， 当且仅当时取最大值，此时取最小值，②对； 对于③，因为， 故不恒为零，③错； 对于④，因为，，所以， 故在方向上的投影向量为，④对. 故答案为：①②④. 3.（25-26高二下·河南濮阳·期末）（多选）如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】若中点为，根据已知并应用线面、面面垂直的判定定理证明平面平面判断A，构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求线面角、异面直线所成角、面面角的正余弦值判断B、C、D. 【详解】由 ​，，可得和均为等腰三角形， 若中点为，则，且，又， 故，所以， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则平面平面，故A正确； 以为原点， 为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 由为中点，即，为中点，即， 由，，， 设平面的一个法向量， 则， 取，则，，故， 设直线与平面所成角为， 则，故B错误； 由，， 则，故C正确； 由，，设平面的一个法向量， 则，取，则，，故， 又平面法向量， 则，故D正确. 4.（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将几何问题转化为关于二面角的函数问题，再求解三角函数的最值即可. 【详解】取的中点记为，连接，，.，，则二面角的平面角为. 记二面角的大小为，则. 如图所示，以为原点，为轴，为轴， 过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. ，. ，，. 直线和所成角为， ，. 当，即，有最小值，最小值为. 5．（24-25高二下·江苏徐州·期末）如图，在多面体中，，分别在平面的两侧，且平面平面，平面平面，，若四边形是边长为的正方形，（），则二面角余弦值的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用面面垂直性质建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据向量点积公式求二面角余弦值表达式，通过换元法求表达式的值域，得到二面角余弦值的取值范围. 【详解】建立以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向， 垂直平面方向为轴的空间直角坐标系， 则， 因为平面平面，交线为，因此平面为（平面）， 的横坐标，，，， 由勾股定理可得， 设且，联立方程， 解得，，即， 同理，平面平面，交线为，在平面下方， 同理得，在面中，法向量为沿着轴方向的单位向量， 在面中，设法向量为， 向量，则， 即，解得， 所以面的法向量为， 二面角余弦值为， 令，则， 对等式两边平方得，再令， 令，所以， 由二次函数性质可得，当时，， 当或时，，且， 因此的范围是，即原表达式可简化为， 整理可得， 该函数是关于的增函数， 当时，， 当时，，且， 因此得到，又因为二面角为钝角， 所以，对不等式开方得. 6．（25-26高一下·广东肇庆·期末）如图，在直三棱柱中，，平面平面，为线段（不含端点）上的动点．    (1)求证：平面； (2)求证：是直角三角形； (3)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)在直三棱柱中，连接，由，得四边形为正方形， 则，而平面平面，平面平面， 平面，所以平面. (2)由（1）知，平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又， 平面，因此平面，而平面， 所以，即是直角三角形. (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质推理得证. （2）由（1）的结论，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （3）以点为原点建立空间直角坐标系，令，求出相关点的坐标及平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求出范围. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在直三棱柱中，由（2）知直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令， 则，令，， ，， 设平面的法向量，则， 取，得，平面，即平面，设其法向量为， 则，取，得，设平面与平面的夹角为， 因此， 由，得，则， ，即， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围是. 7．（2026·山东聊城·一模）如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示． (1)若平面平面ABCE，证明：平面； (2)若二面角为120°，求二面角的余弦值． 【答案】(1)在平行四边形中，因为是的中点， 所以． 又，则，， 所以，． 又，则，即． 又平面平面，平面平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质以及勾股定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求出二面角余弦值. 【详解】（1）略 （2）分别取，的中点，，连接，． 由（1）知，． 因为，分别为，的中点，所以，则． 因为，所以，， 所以为二面角的平面角，则. 由题意，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则， ，，． 设平面的法向量为，所以 令，则． 设平面的法向量为，所以 令，则． 所以， 所以二面角的余弦值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.4 二面角 教学目标 1.能明确平面与平面的夹角。 2.会用向量法解决平面与平面的夹角问题。 教学重难点 1.重点 运用向量法求解空间平面与平面的夹角。 2.难点 （1）用向量法求解二面角。 （2）两个平面的法向量的夹角与二面角的关系。 知识点01 二面角及其度量 1.二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.如图所示，其中，直线l称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面，如图中的α，β. 2.二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角. 3.二面角的范围：[0，π]. 4.两个平面所成的角 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小. 【即学即练】 （25-26高二·全国·寒假作业）如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小_______． 知识点02 利用空间向量求解二面角的大小 1.设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，α1与α2所成角的大小为θ. θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉， sin θ＝sin〈n1，n2〉. 【注意】(1)若求两个平面的夹角，直接利用公式cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. (2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角. 2.利用坐标法求二面角的步骤 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图.用坐标法解题的步骤如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系. (2)求法向量：在建立的坐标系下求或找两个平面的法向量n1，n2. (3)计算：设n1与n2所成锐角为θ，cos θ＝. (4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ. 【即学即练】 1.（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    2.（2026·广东深圳·二模）在菱形中，，将沿折起得到．若二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 题型01 二面角的概念 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）图，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角．若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角．设平面与平面的夹角为，则______． 【变式1】（25-26高二上·上海·期中）小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角；④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是的有______（请填写序号） 【变式2】（25-26高二·全国·寒假作业）（1）如图①，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小＝__________．    （2）如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小__________． 【变式3】（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）若两平面的法向量，夹角的余弦值为，则两个平面的夹角为______． 题型02 空间向量求二面角 【典例1】（25-26高二下·浙江·阶段检测）在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·福建漳州·期末）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【变式4】（25-26高二下·西藏昌都·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，与相交于点O，平面，，，点E为线段中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小． 题型03 根据二面角的大小求解其他问题 【典例1】（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·山东日照·期末）已知二面角的大小为，棱上有两点，线段和分别在面和内，且，．若，，则的长为___________． 【变式2】（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，．沿AC把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为________． 【变式3】（25-26高二下·北京海淀·期中）如图，为直四棱柱，底面ABCD是等腰梯形，，.点在平面内，是等腰三角形. ①若，直线与平面所成角的正弦值为__________； ②若二面角为，四棱锥的体积为__________. 1.（25-26高二下·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______． 3．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.    4．（2026·上海·二模）在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 5.（2026高三·全国·专题练习）已知是棱长为6的正方体，，分别是棱，上的动点，且．当共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为________． 6．（25-26高二下·贵州毕节·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，，，E为的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 7．（2026高一上·广东江门·竞赛）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 8．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，. (1)求证：直线 (2)若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 9．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点． (1)求异面直线ND1与B1C夹角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 10．（25-26高二下·广东广州·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 1.（2026高三下·重庆·竞赛）四面体满足，，则二面角的余弦值为________． 2．（25-26高二上·四川遂宁·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有___________. ①当向运动时，二面角的大小不变 ②二面角的最小值为 ③当向运动时，总成立 ④在方向上的投影向量为 3.（25-26高二下·河南濮阳·期末）（多选）如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 4.（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏徐州·期末）如图，在多面体中，，分别在平面的两侧，且平面平面，平面平面，，若四边形是边长为的正方形，（），则二面角余弦值的取值范围为______． 6．（25-26高一下·广东肇庆·期末）如图，在直三棱柱中，，平面平面，为线段（不含端点）上的动点．    (1)求证：平面； (2)求证：是直角三角形； (3)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 7．（2026·山东聊城·一模）如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示． (1)若平面平面ABCE，证明：平面； (2)若二面角为120°，求二面角的余弦值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $