1.2.2 空间中的平面与空间向量 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本同步练聚焦空间向量与平面关系，分层设计从基础概念到综合应用，梯度合理，通过辨析、计算与证明，强化空间观念与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|法向量计算、线面关系辨析|单选/多选题直接考查定义（如第1题法向量求解），夯实概念理解| |综合应用|面面垂直判定、空间距离计算|结合期中真题（如邯郸、广州题），中档难度，培养运算能力| |拓展探究|复杂几何体证明、存在性问题|解答题（如第10题长方体探究），融合模型意识与创新思维，提升综合应用能力|

1.2.2　空间中的平面与空间向量 1.B　[解析] 由题知=(-1,-2,1),=(1,-1,2),设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,-1,-1).故选B. 2.D　[解析] 由三垂线定理的逆定理知D正确. 3.C　[解析] 设点P(x,y,z)为平面α内任意一点,因为=(x-2,y+1,z-1),所以·n=(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0,可得x+y-2z+1=0.对于A,1+0-2×1+1=0,故A错误;对于B,0+1-2×1+1=0,故B错误;对于C,-1+2-2×2+1=-2≠0,故C正确;对于D,1-2-2×0+1=0,故D错误.故选C. 4.A　[解析] 对于A,若α⊥β,则u⊥v,即u·v=2m-3+5k=0,故A正确;对于B,若l⊥α,则t∥u,则==,解得n=-4,故B错误;对于C,若n=26,则t=(26,-2,-10),所以t·u=52-2-50=0,所以t⊥u,所以l∥α或l⊂α,故C错误;对于D,若α∥β,则u∥v,则==,解得m=-6,k=-15,故D错误.故选A. 5.B　[解析] 连接CO并延长,交AB于D,∵O为△ABC的垂心,∴CD⊥AB.又OC为PC在平面ABC内的射影,∴由三垂线定理知AB⊥PC. 6.D　[解析] 以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,取CC1,BC,AB的中点分别为M,N,Q,则平面EFG即为平面EGFMNQ,故AB与平面EGFMNQ相交,故A错误.E(2,0,1),G(1,0,2),F(0,1,2),B1(2,2,2),D(0,0,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),则=(-1,0,1),=(-2,1,1),=(2,2,2),因为·=0,·=0,所以=(2,2,2)是平面EFG的一个法向量,故B1D⊥平面EFG,故D正确.由正方体的性质可得B1C与B1D不平行,所以B1C不垂直于平面EFG,故C错误.=(-2,2,-2),因为·=-4≠0,所以=(-2,2,-2)与不垂直,故A1C与平面EFG不平行,故B错误.故选D. 7.BCD　[解析] 对于A,∵不存在实数λ,使得a=λn,∴a与n不共线,故A是假命题;对于B,∵n1·n2=0+6-6=0,∴n1⊥n2,∴α⊥β,故B是真命题;对于C,=(-1,1,1),=(-2,2,1),∵向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,∴n·=0,n·=0,∴-1+u+t=0,-2+2u+t=0,解得u=1,t=0,∴u+t=1,故C是真命题;对于D,∵点C是点A关于平面yOz的对称点,∴C(-1,2,3),∴B与C两点间的距离为=,故D是真命题.故选BCD. 8.(答案不唯一)　[解析] 设直线l的方向向量为d=(x,y,z),依题意可知所以令y=1,则z=-2,x=,所以d=(答案不唯一). 9.2,4,-10　 [解析] 因为m⊥n,所以m⊥n,所以m·n=0,即-2×1+4×(-2)+5λ=0,解得λ=2.因为n⊥α,所以k∥n,所以k=tn,即(μ,-8,γ)=t(-2,4,5),所以解得故λ,μ,γ的值依次为2,4,-10. 10.解:(1)证明:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则D1(0,0,1),B1(1,2,1),C(0,2,0),所以=(-1,0,-1). 设E(1,t,0),0≤t≤2,则=(1,t,-1), 因为·=-1+0+1=0,所以B1C⊥D1E. (2)若E是AB的中点,则E(1,1,0),又D(0,0,0),C1(0,2,1), 所以=(1,1,0),=(0,2,1). 设平面DEC1的一个法向量为n=(x1,y1,z1), 则取y1=1,则x1=-1,z1=-2, 故n=(-1,1,-2)为平面DEC1的一个法向量.设F(0,2,λ),0≤λ≤1,因为B(1,2,0),所以=(-1,0,λ). 若BF∥平面DEC1,则n·=1-2λ=0,解得λ=,所以F是CC1的中点,所以=. 11.C　[解析] 如图所示,以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则B(1,0,0),E,A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),所以=(-1,0,1),=.设n=(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量,则即取z=2,得平面A1BE的一个法向量为n=(2,1,2).设F(a,1,1)(0≤a≤1),因为=λ,所以(a-1,0,0)=λ(-a,0,0),所以a-1=-aλ,易知λ≠-1,所以a=,故F,又B1(1,0,1),所以=.因为B1F∥平面A1BE,所以·n=0,即2+1=0,解得λ=1.故选C. 12.ABD　[解析] 如图所示,以D为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),=(-2,2,-2),设P(2,a,0),a∈[0,2],Q(2,2,b),b∈[0,2],设=λ,λ∈[0,1],得R(2-2λ,2λ,2-2λ),=(2,a,-2),=(2,0,b),·=4-2b,当b=2时,D1P⊥CQ,故A正确;=(2-2λ,2λ,-2λ),·=2(2-2λ)-2λb,当λ=时,D1R⊥CQ,故B正确;若AR⊥A1C,则·=(-2λ,2λ,2-2λ)·(-2,2,-2)=4λ+12λ-4+4λ=0,解得λ=,此时·=·=-≠0,故C错误;若A1C=3A1R,则R,=,又=(-2,-2,0),=(0,2,2),设平面BDC1的一个法向量为n=(x,y,z),则即取x=,则y=-1,z=,所以平面BDC1的一个法向量为n=(,-1,),则·n=0,故D正确.故选ABD. 13.　[解析] 设点E的坐标为(x0,y0,z0),平面AB1D1的一个法向量为n=(x1,y1,z1).因为A(1,0,0),B1(1,1,2),D1(0,0,2),C(0,1,0),所以=(0,1,2),=(-1,0,2),=(x0,y0-1,z0),=(x0-1,y0,z0).因为CE⊥平面AB1D1,所以CE⊥AB1,CE⊥AD1,所以即①.因为 所以令z1=1,则n=(2,-2,1).由·n=0,得2x0-2y0+z0=2②.由①②可得,x0=,y0=,z0=,故点E的坐标为. 14.解:(1)证明:连接AC1,则AC1==4,∴AC1=AB.∵AD⊥BC1,∴D为BC1的中点, 又E为A1B的中点,∴DE∥A1C1, 又AC∥A1C1,∴DE∥AC,又DE⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,∴DE∥平面ABC. (2)以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),C1(2,0,2),A1(0,0,2),B(0,4,0),D(1,2,),所以=(2,0,0),=(0,4,-2),=(1,2,). 设=λ=(0,4λ,-2λ),0≤λ≤1, 则E(0,4λ,2-2λ),所以=(0,4λ,2-2λ). 设平面A1BC1的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则即 取z1=2,得n=(0,,2). 设平面ADE的一个法向量为m=(x2,y2,z2), 则即取z2=-2λ,得m=(4λ-2,-λ,-2λ). ∵平面ADE⊥平面A1BC1,∴n·m=3-3λ-4λ=0,解得λ=, ∴当平面ADE⊥平面A1BC1时,=. 15.D　[解析] 设O为AD1的中点,连接OM.以点D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 设AB=1,则A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),C1(0,1,1),D(0,0,0),D1(0,0,1),所以=(0,0,1),=(-1,1,-1),所以=λ=(-λ,λ,-λ),所以=+=(-λ,λ,1-λ),=(-1,0,1),线段AD1的中点为O,则=,所以=-=.设平面AD1M的一个法向量为n=(x,y,z),则 取x=λ,则n=(λ,2λ-1,λ).对于A,设平面BC1D的一个法向量为u=(x1,y1,z1),因为=(1,1,0),=(0,1,1),所以取x1=1,可得u=(1,-1,1),若平面AMD1∥平面BC1D,则n∥u,则==,解得λ=,故A中说法正确;对于B,设平面B1CD1的一个法向量为v=(x2,y2,z2),因为=(1,0,1),=(0,-1,1),所以取x2=1,可得v=(1,-1,-1),若平面AMD1⊥平面B1CD1,则n⊥v,即n·v=λ-(2λ-1)-λ=1-2λ=0,解得λ=,故B中说法正确;对于C,D,·=λ-+-λ=0,则OM⊥AD1,故=·||·||=||,因为||===,λ∈[0,1],所以当λ=时,||取得最小值,则△AMD1的面积最小,故D中说法错误,当λ=1时,||取得最大值,则△AMD1的面积最大,故C中说法正确.故选D. 16.解:(1)证明:∵AB=2BC,∠ABC=60°, ∴在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3BC2,∴AC2+BC2=4BC2=AB2, ∴∠ACB=90°,∴AC⊥BC,又AC⊥FB,FB∩BC=B,∴AC⊥平面FBC. (2)棱ED上不存在点Q,使平面EAC⊥平面QBC.证明如下: 因为AC⊥平面FBC,FC⊂平面FBC,所以AC⊥FC. 因为CD⊥FC,AC∩CD=C,所以FC⊥平面ABCD,所以CA,CF,CB两两垂直. 以C为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示. 在等腰梯形ABCD中,可得CB=CD. 设BC=1,则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),D,E, 所以=,=(,0,0),=(0,1,0). 设平面EAC的一个法向量为n=(x,y,z),则 即取z=1,得n=(0,2,1).不妨设Q(0≤t≤1),所以=. 设平面QBC的一个法向量为m=(a,b,c),则 即取c=1,得m=. 要使平面EAC⊥平面QBC,只需m·n=0,即-×0+0×2+1×1=0,此方程无解,所以棱ED上不存在点Q,使平面EAC⊥平面QBC. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.2　空间中的平面与空间向量 1.在空间直角坐标系中,A(1,2,1),B(0,0,2),C(2,1,3),则A,B,C三点所在平面的一个法向量的坐标是 (　 ) A.(1,1,-1) B.(1,-1,-1) C.(2,1,-1) D.(2,-1,-1) 2.下列说法中正确的是 (　 ) A.如果直线l与平面α外的一条直线l'在平面α内的射影垂直,则l⊥l' B.如果直线l与平面α外的一条直线l'垂直,则l与l'在平面α内的射影垂直 C.如果向量a与直线l在平面α内的射影垂直,则a⊥l D.如果非零向量a和平面α平行,且和直线l垂直,直线l不与平面α垂直,则a垂直于l在平面α内的射影 3.[2026·河北邯郸高二期中] 已知点P0(2,-1,1)在平面α内,向量n=(1,1,-2)为平面α的一个法向量,则下列各点不在平面α内的是 (　 ) A.(1,0,1) B.(0,1,1) C.(-1,2,2) D.(1,-2,0) 4.[2026·广州高二期中] 若平面α的一个法向量为u=(2,1,5),平面β的一个法向量为v=(m,-3,k),直线l的一个方向向量为t=(n,-2,-10),则下列说法正确的是 (　 ) A.若α⊥β,则2m-3+5k=0 B.若l⊥α,则n=4 C.若n=26,则l∥α D.若α∥β,则m=-6,k=15 5.如图所示,已知PO⊥平面ABC,且O为△ABC的垂心,则AB与PC的位置关系是(　 ) A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定 6.[2026·武汉华中师大一附中高二月考] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1A,C1D1,A1D1的中点,则 (　 ) A.AB∥平面EFG B.A1C∥平面EFG C.B1C⊥平面EFG D.B1D⊥平面EFG 7.(多选题)给出下列命题,其中是真命题的是(　 ) A.若直线l的一个方向向量为a=(0,1,-1),平面α的一个法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α B.若平面α,β的一个法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,6,-2),则α⊥β C.若平面α经过A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0)三点,向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t=1 D.已知A(1,2,3),B(1,-1,4),若点C是点A关于平面yOz的对称点,则B与C两点间的距离为 8.在空间直角坐标系中,平面α与平面β的一个法向量分别为n1=(2,1,1),n2=(0,2,1),若α∩β=l,则直线l的一个方向向量为　　　　(写出一个方向向量的坐标即可).  9.已知直线m的一个方向向量为m=(1,-2,λ),直线n的一个方向向量为n=(-2,4,5),平面α的一个法向量为k=(μ,-8,γ),m⊥n,n⊥α,则λ,μ,γ的值依次为　　　　　　.  10.(13分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1=DA=1,AB=2,点E在棱AB上运动. (1)证明:B1C⊥D1E. (2)设E为棱AB的中点,在棱CC1上是否存在一点F,使得BF∥平面DEC1?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,点F在棱C1D1上,且=λ,若B1F∥平面A1BE,则λ= (　 ) A. B. C.1 D. 12.(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=2,P,Q,R分别是AB,BB1,A1C上的动点,则下列结论正确的是 (　 ) A.对于任意给定的点P,存在点Q使得D1P⊥CQ B.对于任意给定的点Q,存在点R使得D1R⊥CQ C.当AR⊥A1C时,AR⊥D1R D.当A1C=3A1R时,D1R与平面BDC1的法向量垂直 13.已知点A(1,0,0),B1(1,1,2),D1(0,0,2),C(0,1,0),若在平面AB1D1内存在点E,使得CE⊥平面AB1D1,则点E的坐标是　　　　.  14.(15分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2AC=4,AA1=2,AB⊥AC,AD⊥BC1,垂足为D,点E为线段A1B上的一点. (1)若E为线段A1B的中点,证明:DE∥平面ABC; (2)若平面ADE⊥平面A1BC1,求的值. 15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=λ,λ∈[0,1],则下列说法不正确的是(　 ) A.若平面AMD1∥平面BC1D,则λ= B.若平面AMD1⊥平面B1CD1,则λ= C.△AMD1的面积最大时,λ=1 D.△AMD1的面积最小时,λ= 16.(15分)在如图所示的几何体中,面CDEF为正方形,面ABCD为等腰梯形,且AB∥CD,AB=2BC,∠ABC=60°,AC⊥FB. (1)求证:AC⊥平面FBC. (2)棱ED上是否存在点Q,使平面EAC⊥平面QBC?证明你的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $