1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过A、B、C三层设计，覆盖空间向量坐标运算、模长、平行等核心知识点，从基础巩固到综合应用再到思维拔高，梯度清晰，适配新授课知识内化与能力进阶，培养空间观念、推理能力及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|坐标运算、模长、平行、垂直、夹角余弦的坐标表示|基础题型，单选多选为主，聚焦单一知识点，强化概念理解与运算技能| |B组|向量共面、法向量应用、几何综合问题|中等难度，结合具体几何情境，综合2-3个知识点，培养逻辑推理能力| |C组|轨迹问题、最值优化、复杂几何应用|高难度探究题，涉及动态几何与跨知识整合，发展空间观念与创新意识|

分层作业 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 目 录 A组 巩固过关 题型01   空间向量的坐标运算 题型02   空间向量模长的坐标表示 题型03 空间向量平行的坐标表示 题型04   空间向量垂直的坐标表示 题型05 空间向量夹角余弦的坐标表示 B组 能力进阶 C组 思维拔高   题型01   空间向量的坐标运算题型01 1．（25-26高二上·安徽·期末）（多选）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知向量，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．不能构成空间向量一个基底 3．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）（多选）已知向量，，，则下列说法正确的是（   ） A．，的夹角为钝角 B．与向量同向的单位向量为 C．在上的投影向量的长度为 D．存在实数，使得 空间向量模长的坐标表示题型02 4．（25-26高二下·浙江丽水·期末）在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 5．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽·期末）已知三棱锥中，平面的一个法向量为，若，则向量在法向量上的投影向量为____________． 空间向量平行的坐标表示题型03 7．（25-26高二上·广东广州·期末）已知空间向量，，若，则=（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·福建三明·期末）（多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 9．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 空间向量垂直的坐标表示题型04 10．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D．10 11．（25-26高二上·江西赣州·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D． 12．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知空间向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 空间向量夹角余弦的坐标表示题型05 13．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知向量，求______． 14．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 15．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知空间四点，则下列选项正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．⊥ D． 1．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）如图，平行六面体的底面是正方形，若，，则________. 2．（25-26高二上·四川成都·期末）空间直角坐标系中，，则四面体的外接球的体积的最小值为__________. 3．（25-26高二上·上海·期末）设，向量，，且，则（    ） A．-4 B．-1 C．4 D．1 4．（25-26高二上·全国·期末）设，已知向量，，，若共面，则______． 1．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）已知都是正数，向量，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为______． 3．（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知某正四棱柱的底面边长为2，高为，为其一条体对角线，点P在该正四棱柱底面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏镇江·期中）从正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为________． 5．（25-26高二下·浙江丽水·期末）如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 6．（25-26高二下·上海浦东新·期末）四面体中，，求的最小值为__________． 7．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）（多选）已知空间向量，，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点E在平面ABC内 D．向量是与平行的一个单位向量 8．（25-26高二上·山东济南·期末）在四棱锥中，，且底面，过点的平面与侧棱分别交于点，若四边形为矩形，则此矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知四棱锥平面，，点为中点，平面交于点，则四边形的面积为__________.    10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）在平行六面体中，，，点为上的任意一点，点为底面内一动点（含边界），则（   ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．平行六面体的高为 C． D．若，则点的轨迹长度为 11．（25-26高二上·广东·期末）（多选）如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（   ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．若直线与所成角为，则动点的轨迹长为 D．当时，的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 A组 巩固过关 题型01 题型01 空间向量的坐标运算 1.ACD 2.B 3.BCD 题型02 空间向量模长的坐标表示 4.[2,10] 5.B 6.(2,4,-2) 题型03 空间向量平行的坐标表示 7.C 8.BD 9.-2 颗型04 空间向量垂直的坐标表示 10.D 11.A 12.A 1/3 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型05 空间向量夹角余弦的坐标表示 13.-2v42 21 14.(①b=(4,-8,-2),c=(2,-1,0) g30 26 15.D B组 能力进阶 1.2V3 2.8√6m 3.D 4.5 C组 思维拔高 1.B 2. 7626 6 6 3.D 4.5 5.D 6 181 7.BCD 8.A 55 213 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.BCD 11.BCD 3/3 分层作业 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 目 录 A组 巩固过关 题型01   空间向量的坐标运算 题型02   空间向量模长的坐标表示 题型03 空间向量平行的坐标表示 题型04   空间向量垂直的坐标表示 题型05 空间向量夹角余弦的坐标表示 B组 能力进阶 C组 思维拔高   题型01   空间向量的坐标运算题型01 1．（25-26高二上·安徽·期末）（多选）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用空间向量数量积坐标运算即可判断B，利用空间向量垂直和平行的坐标表示即可判断AC，利用空间向量夹角的坐标表示即可判断D.. 【详解】空间向量 对于A，，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：ACD 2．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知向量，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．不能构成空间向量一个基底 【答案】B 【分析】用向量加法的坐标运算判断A，用向量模的坐标运算判断B，用向量数量积的坐标运算判断C，由，可判断D. 【详解】向量， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故是共面向量， 不能构成空间向量的一组基底，故D正确． 故选：B． 3．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）（多选）已知向量，，，则下列说法正确的是（   ） A．，的夹角为钝角 B．与向量同向的单位向量为 C．在上的投影向量的长度为 D．存在实数，使得 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的数量积，共线向量、单位向量的坐标表示，投影向量公式，垂直向量的坐标性质求解即可. 【详解】对于A，，所以，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，，， 所以与向量同向的单位向量为，故B正确； 对于C，在上的投影向量的长度为，故C正确； 对于D，， 若，则，，故D正确． 故选：BCD. 空间向量模长的坐标表示题型02 4．（25-26高二下·浙江丽水·期末）在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据空间向量的模长公式求出点的轨迹方程，设，，，结合空间向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换可求得的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， 则，， 所以， 则， 整理可得， 不妨设，，， ，， 所以 ， 当或时，取最大值， 当或时，取最小值. 综上所述，的取值范围是. 5．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示求出的值，可求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为，，且，则，解得， 所以，故，故， 故选：B. 6．（25-26高二上·安徽·期末）已知三棱锥中，平面的一个法向量为，若，则向量在法向量上的投影向量为____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 空间向量平行的坐标表示题型03 7．（25-26高二上·广东广州·期末）已知空间向量，，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以，使得， 因为，， 所以，解得. 故选：C. 8．（25-26高二上·福建三明·期末）（多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【分析】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD 9．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 【答案】 【分析】由向量共线的坐标表示求解 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故答案为：. 空间向量垂直的坐标表示题型04 10．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D．10 【答案】D 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】， ， 解得. 故选：D. 11．（25-26高二上·江西赣州·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，即，解得， 故选：A 12．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知空间向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，列方程求解，得的值. 【详解】由题可知，，解得. 故选：A. 空间向量夹角余弦的坐标表示题型05 13．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知向量，求______． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角坐标公式计算即可. 【详解】由题意得，， 所以. 故答案为： 14．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 15．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知空间四点，则下列选项正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．⊥ D． 【答案】D 【分析】AD选项，计算出，故，A错误，D正确；BC选项，利用夹角余弦公式计算出，BC错误. 【详解】AD选项，， 故，故，A错误，D正确； BC选项，， 故， 故与夹角的余弦值为，BC均错误. 故选：D 1．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）如图，平行六面体的底面是正方形，若，，则________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解. 【详解】 如上图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，则，， 设，由与,的夹角均为，且， 则，即，，即， 由，得， 代入，可得，据此可得， 又因为平行六面体的底面是正方形，所以上底面也是正方形， 则，所以， 用距离公式可得. 故答案为： 2．（25-26高二上·四川成都·期末）空间直角坐标系中，，则四面体的外接球的体积的最小值为__________. 【答案】 【分析】设四面体的外接球球心为，根据得到，再根据结合的范围求出的范围，再根据的范围即可求出的最小值，利用球的体积公式即可求解. 【详解】设四面体的外接球球心为，外接球半径为， 则，，， 由题意得，则，化简得， 同理，由得，由得， 则， 又， 由得， 化简得， 因为， 由二次函数图象可得当时，取最小值，当或时，取最大值， 即， 而， 所以当时，取得最小值，即取得最小值， 此时外接球的体积， 所以四面体的外接球的体积的最小值为. 故答案为：. 3．（25-26高二上·上海·期末）设，向量，，且，则（    ） A．-4 B．-1 C．4 D．1 【答案】D 【分析】由得，计算即可. 【详解】， ， ，， ，解得：. 故选：D 4．（25-26高二上·全国·期末）设，已知向量，，，若共面，则______． 【答案】5 【分析】利用空间向量共面定理即可求解. 【详解】因为共面，所以可设， 即， 所以，解得，所以. 故答案为： 1．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）已知都是正数，向量，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，利用1的代换可求的最小值. 【详解】因为且，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值是. 故选：B. 2．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为______． 【答案】/ 【分析】先求出向量在向量上的投影向量，然后利用向量求模公式计算即可. 【详解】设向量与向量的夹角为， 因为向量， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为： ， 向量在向量上的投影向量的模为： ， 故答案为：. 3．（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知某正四棱柱的底面边长为2，高为，为其一条体对角线，点P在该正四棱柱底面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为正方向建立空间直角坐标系，经计算的几何意义为到的距离的平方减2，则有与重合时最小，在底面端点时最大. 【详解】由题意分别以为正方向建立空间直角坐标系如下： 取对角线，则与重合，与重合，设点，易得， 则， 则， 令，表示点到的距离的平方， 因为点在底面运动， 则当取最小值时，应与重合，即，此时，则， 当取最大值时，应在底面端点，不妨令，则，则. 故的取值范围为， 故选：D. 4．（25-26高二下·江苏镇江·期中）从正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为________． 【答案】5 【分析】利用空间向量的坐标运算，分、、及既不平行也不垂直分别求解即可. 【详解】由题意可得的关系有：，，及既不平行也不垂直； 设正方体的八个顶点为， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间坐标系， 设正方体的棱长为1， 则，，，，，，，， 当时，则或； 当时，则或； 当时，则； 当既不平行也不垂直时： 如：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为，共5种情况. 5．（25-26高二下·浙江丽水·期末）如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面面平行可推出线面平行，找到P的轨迹，再求解轨迹长度. 【详解】    取 中点 ， 中点 ，连接, , , 为中点，为中点,所以, 平面，平面 所以; 设正方体 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，棱长为 2，则，，，， 所以，, 所以, 所以 ∵ 平面，平面,所以 又平面内，两条相交直线， 所以, 因为点在正方体的表面上运动，且平面， 因此的轨迹是平面与正方体表面相交形成的闭合折线段： , , , , 总轨迹长度：. 6．（25-26高二下·上海浦东新·期末）四面体中，，求的最小值为__________． 【答案】 【分析】设在平面上的投影为，问题转化为的最小值，因为平面上到三角形三顶点距离平方和最小的点是三角形重心，可得为的重心时，取得最小值，从而求解的最小值. 【详解】四面体体积公式为 ，其中是点到平面的距离， 已知，，代入得，得， 即点到平面的距离恒为 3； 设在平面上的投影为，则平面，且， 由勾股定理：， 三式相加得： ， 因为平面上到三角形三顶点距离平方和最小的点是三角形重心， （证明如下：若是的重心，则， 对平面上任意一点，有：， ，， ， 将上述三式左右两边分别相加： 根据重心的向量性质，最后一项为， 因此  (1) 同样用向量展开三角形三边平方： ， ， ， 三式相加得： (2) 对两边平方： 整理得：(3) 将 (3) 代入 (2)： 因此：(4) 将 (4) 代入 (1)，即得 当点P为G时，取得最小值.） 因此，当为的重心时，最小， 此时，； 因为，，设边上的高为，则得， 即点在与平行且距离为 2 的直线上， 建立空间直角坐标系： ，，设（）， 则 ， 因此， 这是关于的二次函数，开口向上，最小值在时取得， 所以， 所以， 所以 7．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）（多选）已知空间向量，，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点E在平面ABC内 D．向量是与平行的一个单位向量 【答案】BCD 【分析】应用空间向量数量积坐标公式计算判断A，应用投影向量公式计算判断B，利用空间向量共面的推论判断C即可，应用空间向量的关系得出平行再计算模长判断D. 【详解】对于A，因为空间向量，， 则，A错误； 对于B，在上的投影向量为，B正确； 对于C，若向量，， 可知四点共面，即点E在平面ABC内，故C正确； 对于D，设，向量， 则与平行，且 所以向量是与平行的一个单位向量，D正确； 故选：BCD. 8．（25-26高二上·山东济南·期末）在四棱锥中，，且底面，过点的平面与侧棱分别交于点，若四边形为矩形，则此矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作的平行线为轴，分别为轴建立空间直角坐标系，令，，，由求得，，利用求参数，进而求出对应线段长，即可得. 【详解】过作AP的平行线为轴，分别为轴，如图建系， 令，则，，，，， 分别在上，令，，， ，，， ，，， ，则， ，，， 所以，则， 所以，， 所以，，则矩形面积为. 故选：A 9．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知四棱锥平面，，点为中点，平面交于点，则四边形的面积为__________.    【答案】/ 【分析】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量求出，，从而求出，利用三角形面积公式求得的面积和的面积，相加即可得到四边形的面积. 【详解】因为四棱锥平面，且，所以如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，则. 设，则. 因为平面，则存在实数，使得. 所以，解得. 所以. ， 所以. ， 所以. 所以的面积为 的面积为. 所以四边形的面积为. 故答案为：    10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）在平行六面体中，，，点为上的任意一点，点为底面内一动点（含边界），则（   ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．平行六面体的高为 C． D．若，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】分析可知三棱锥为正四面体，求出其外接球半径，结合球体表面积公式可判断A选项；计算出点到平面的距离，可判断B选项；证明出平面，利用线面垂直的性质可判断C选项；建立空间直角坐标系，求出点的轨迹方程，结合扇形的弧长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，， 故、、均为边长为的等边三角形， 所以，故三棱锥是棱长为的正四面体， 将正四面体补成正方体，如下图所示： 则该正方体的棱长为， 设正四面体的外接球半径为，则，故， 故三棱锥外接球的表面积为，A错； 对于B选项，在正四面体中，设点在底面的射影点为点，如下图所示 由题意可知平面，的外接圆半径为， 所以，故平行六面体的高为，B对； 对于C选项，由空间向量数量积的定义可得 ， 因为，， 所以 ，所以，即，同理可证， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故，C对； 对于D选项，易知底面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为点为底面内一动点（含边界）， 设点，则， 整理可得， 在平面直角坐标系中，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在菱形内的一段圆弧， 设圆弧分别交线段、于点、，则，， 由余弦定理可得， 即，即， 即，解得，故为等腰三角形， 所以，故， 因此点的轨迹长度为，D对. 故选：BCD. 11．（25-26高二上·广东·期末）（多选）如图，正四棱柱中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（   ） A．当时，三棱锥的体积为 B．当时，的最小值为 C．若直线与所成角为，则动点的轨迹长为 D．当时，的取值范围是 【答案】BCD 【分析】A选项中取的靠近的三等分点的靠近的三等分点，得出点在线段上，根据等体积计算；先得出点在线段上，再结合对称性将问题转化为求的最小值；C选项中设，根据求出即可确定点的轨迹；D选项中以为原点建系，根据坐标求出长度，结合一元二次函数求取值范围. 【详解】对于A，当时，， 取的靠近的三等分点的靠近的三等分点， 由平面向量线性运算法则可知，点在线段上， 又，所以，即A错误； 对于B，当时，由，利用共线定理可得，三点共线，即点在线段上， 由对称性可知，线段上的点到两点之间的距离相等， 所以，等号成立时三点共线，故B正确； 对于C，由且可知，点在四边形内， 因为平面， 所以平面， 设，又平面，所以， 因为直线与所成角为，所以， 则点的轨迹是以为圆心，半径为，且在四边形内的半圆弧， 所以点的轨迹长为，故C正确； 对于D，由，，得， 以为原点，为轴，建立空间直角坐标系． 则，则， 则， 则，， 所以， ， ， 则， 因为，所以， 故，故D正确． 故选：BCD 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $