2.2 空间中的平面与空间向量-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

1．2.2　空间中的平面与空间向量

 

 

 

思考1　过同一点的两个定方向可以确定一个平面吗？

[提示]　不一定，若两个定方向共线，则不能确定平面；若两个定方向不共线，则确定唯一平面．

思考2　一定点和一个定方向能确定一个平面吗？

[提示]　可以，过定点且垂直于定方向的平面是唯一确定的．

[知识梳理]

1．平面法向量的定义

如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．此时，也称n与平面α垂直，记作n⊥α.

2．平面的法向量的性质

(1)如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量；

(2)如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是

平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行；

(3)如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．

[即时练]

1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．

(1)零向量可以作为平面的法向量．(　　)

(2)平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(　　)

(3)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.(　　)

(4)如果向量a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．(多选)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　)

A． B．

C． D．

解析：选AD.

如图，由直三棱柱的性质知CC1，AA1，BB1均垂直于平面ABC，故选项A，D中，可以作为平面ABC的法向量．

3．已知n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，点A(0，－3，－1)，B(k，2k，2)在平面α内，则k＝________．

解析：由题得＝(k，2k＋3，3)，因为n＝(－3，1，2)是平面α的一个法

向量，点A，B在平面α内，所以n⊥，所以n·＝0，即n·＝－3k＋2k＋3＋6＝0，解得k＝9.

答案：9

(1)平面的法向量所在的直线垂直于该平面内的任何直线．

(2)平面的法向量有无数个，且它们相互平行．

[例1] (对接教材例2)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，＝λ.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)求平面ABB1A1的一个法向量；

(2)当λ＝时，求平面MCA1的一个法向量．

【解】　(1)因为x轴垂直于平面ABB1A1，所以n1＝(1，0，0)是平面ABB1A1的一个法向量．

(2)由题意得，M(3，1，0)，C(0，4，0)，A1(3，0，2).因此＝(－3，3，0)，＝(0，－1，2).设n2＝(x，y，z)是平面MCA1的一个法向量，

则取y＝2，则x＝2，z＝1.于是n2＝(2，2，1)是平面MCA1的一个法向量．

母题探究　若平面MCA1的一个法向量为n＝(2，3，3)，求λ的值及点M的坐标．