2.2 空间中的平面与空间向量-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦空间中的平面与空间向量核心知识点，系统梳理平面法向量的定义、性质及待定系数法求法，衔接三垂线定理及其逆定理，构建向量法证明线面、面面平行与垂直的学习支架，助力学生逐步掌握空间几何关系。 该资料以生活实例（如旗杆与平台）导入，培养数学眼光观察现实世界，通过逻辑推理（如三垂线定理证明）和向量运算（如长方体法向量求解）发展数学思维，借助空间坐标系表达几何关系提升数学语言能力。课中辅助教师引导探究，课后即时练与跟踪训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1．2.2　空间中的平面与空间向量 新课导入 学习目标 观察图片，旗杆底部的平台与地面平行，旗杆所在的直线与护旗战士所在的直线平行，旗杆所在的直线与竖直楼面平行．试想，其中涉及的直线的方向向量与平面的法向量各自是什么位置关系？ 1.理解平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量． 2.能用向量法证明直线与平面、平面与平面的平行、垂直问题． 3.掌握三垂线定理及其逆定理，并会利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直． 思考1　过同一点的两个定方向可以确定一个平面吗？ [提示]　不一定，若两个定方向共线，则不能确定平面；若两个定方向不共线，则确定唯一平面． 思考2　一定点和一个定方向能确定一个平面吗？ [提示]　可以，过定点且垂直于定方向的平面是唯一确定的． [知识梳理] 1．平面法向量的定义 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．此时，也称n与平面α垂直，记作n⊥α. 2．平面的法向量的性质 (1)如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量； (2)如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行； (3)如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)零向量可以作为平面的法向量．(　　) (2)平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(　　) (3)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.(　　) (4)如果向量a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(多选)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　) A． B． C． D． 解析：选AD. 如图，由直三棱柱的性质知CC1，AA1，BB1均垂直于平面ABC，故选项A，D中，可以作为平面ABC的法向量． 3．已知n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，点A(0，－3，－1)，B(k，2k，2)在平面α内，则k＝________． 解析：由题得＝(k，2k＋3，3)，因为n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，点A，B在平面α内，所以n⊥，所以n·＝0，即n·＝－3k＋2k＋3＋6＝0，解得k＝9. 答案：9 (1)平面的法向量所在的直线垂直于该平面内的任何直线． (2)平面的法向量有无数个，且它们相互平行． [例1] (对接教材例2)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，＝λ.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面ABB1A1的一个法向量； (2)当λ＝时，求平面MCA1的一个法向量． 【解】　(1)因为x轴垂直于平面ABB1A1，所以n1＝(1，0，0)是平面ABB1A1的一个法向量． (2)由题意得，M(3，1，0)，C(0，4，0)，A1(3，0，2).因此＝(－3，3，0)，＝(0，－1，2).设n2＝(x，y，z)是平面MCA1的一个法向量， 则取y＝2，则x＝2，z＝1.于是n2＝(2，2，1)是平面MCA1的一个法向量． 母题探究　若平面MCA1的一个法向量为n＝(2，3，3)，求λ的值及点M的坐标． 解：因为＝λ，所以＝λ＝λ(0，4，0)＝(0，4λ，0)，所以＝＋＝－＋＝(0，0，－2)＋(0，4λ，0)＝(0，4λ，－2)，＝(－3，4，－2)． 又因为平面MCA1的一个法向量为n＝(2，3，3)， 所以 解得λ＝，此时点M的坐标为(3，2，0). 待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量，； (3)列方程组：由n⊥，n⊥，列出方程组 (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)； (6)得结论：得到平面的一个法向量． [跟踪训练1] 在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的一个法向量； (2)求平面A1BC的一个法向量． 解：易知B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2). (1)＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)， 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即取x1＝y1＝1，z1＝0，则n＝(1，1，0)，所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，1，0)(答案不唯一). (2)＝(－1，1，0)，BA1＝(－1，0，2)， 设平面A1BC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则即 取x2＝y2＝2，故z2＝1，则m＝(2，2，1)， 所以平面A1BC的一个法向量为m＝(2，2，1)(答案不唯一). [知识梳理] 1．三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． 2．三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． [例2] (对接教材例3)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心．求证：B1O⊥PA. 【证明】　如图所示， 连接AC，BD，交点即为O.由题可得PA是平面BB1D1D的一条斜线段，B1O是平面BB1D1D内的一条线段．由条件可知，AO⊥平面BB1D1D，连接PO，则PO为PA在平面BB1D1D内的射影．连接B1P，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则B1D1＝，D1P＝DP＝，DO＝BO＝，BB1＝1， 所以B1P＝，PO＝，B1O＝， 所以PO2＋B1O2＝B1P2，所以PO⊥B1O. 根据三垂线定理可得B1O⊥PA. 在利用三垂线定理或其逆定理证明线线垂直时，首先需分清平面的斜线、斜线在平面内的射影，找准它们的位置是解题的关键． [跟踪训练2] 在三棱锥P­ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB. 证明：如图， 过点P作PH⊥平面ABC，垂足为H，连接AH并延长交BC于点E，连接BH并延长交AC于点F.因为PH⊥平面ABC，PA⊥BC，斜线段PA在平面ABC内的射影为线段AH，由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH. 同理可证BF⊥AC，则H为△ABC的垂心，连接CH并延长交AB于点G，于是CG⊥AB，而线段CH是斜线段PC在平面ABC内的射影，故PC⊥AB. [知识梳理] 1．如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，那么n∥v⇔l⊥α；n⊥v⇔l∥α或l⊂α． 2．如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，那么n1⊥n2⇔α1⊥α2；n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合． 角度1　平行问题 [例3] 如图， 在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥AB，点D，E，F分别为A1B1，AA1，CD的中点，AB＝AC＝AA1＝2.求证：EF∥平面ABC. 【证明】　 在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，且AC⊥AB，则A1C1⊥A1B1. 以点A1为坐标原点，A1A，A1B1，A1C1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(2，0，2)，A1(0，0，0)，D(0，1，0)，E(1，0，0)，F，则＝， 平面ABC的一个法向量为m＝(1，0，0)，则·m＝0，故⊥m， 因为EF⊄平面ABC，故EF∥平面ABC. 证明线面、面面平行问题的方法 (1)用向量法证明线面平行：①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． (2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． [跟踪训练3] 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点．证明：平面MNP∥平面CC1D1D. 证明： 以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).易知＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)， 且即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D. 角度2　垂直问题 [例4] 如图所示， 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点． 求证：(1)EF⊥平面B1AC； (2)A1C⊥平面AD1B1. 【证明】　(1)方法一：设＝a，＝c，＝b，连接BD(图略)，则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c). 因为＝＋AA1＝a＋b，所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝0. 所以⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC. 方法二： 设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2).所以＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0). 所以·＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，·＝(－1)×(－2)＋(－1)×2＋1×0＝0，所以⊥，⊥，所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC. 方法三：由方法二得＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1). 设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，则y＝1，z＝－1，所以n＝(1，1，－1)，所以＝－n，所以∥n，所以EF⊥平面B1AC. (2)由(1)方法二得，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，C(0，2，0)，所以＝(2，2，0)，＝(－2，2，－2). 又＝(0，2，2)，所以·＝(－2)×0＋2×2＋(－2)×2＝0， 所以⊥，即A1C⊥AB1.·＝(－2)×2＋2×2＋(－2)×0＝0， 所以⊥，所以A1C⊥D1B1. 又因为AB1∩D1B1＝B1，AB1，D1B1⊂平面AD1B1，所以A1C⊥平面AD1B1. 利用向量法证明几何中的垂直问题的方法 (1)用向量法证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直即可． (2)用向量法证明两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再求得它们的数量积为0即可． [跟踪训练4] 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点． (1)求证：平面APM⊥平面BB1C1C； (2)试判断直线BC1与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由． 解：(1)证明：方法一：由题意可得，AM⊥BC，AM⊥BB1，因为BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BB1C1C，所以AM⊥平面BB1C1C，因为AM⊂平面APM，所以平面APM⊥平面BB1C1C. 方法二：以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，0，0)，C1(2，0，)，M(1，1，0)， 所以＝(1，1，0)，＝(2，－2，0)， 1＝(2，－2，), 所以 所以AM⊥BC，AM⊥BC1， 因为BC∩BC1＝B，BC，BC1⊂平面BB1C1C，所以AM⊥平面BB1C1C，因为AM⊂平面APM，所以平面APM⊥平面BB1C1C. (2)设BP＝t(0≤t≤)，则P(0，2，t)，由(1)方法二可知＝(2，－2，)，＝(0，2，t)， 若直线BC1与AP能垂直，则·＝0－4＋t＝0，解得t＝，因为t＝＞，所以直线BC1与AP不能垂直． 1．(教材P42T1改编)已知两个不同的平面α和β，平面α的一个法向量为v1＝(1，2，1)，平面β的一个法向量v2＝(2，4，2)，则平面α与平面β(　　) A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上均有可能 解析：选A.由题意知v2＝2v1，即v1，v2共线，则α∥β.故选A. 2．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).则下列结论正确的有(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．AP∥BD 解析：选ABC.由题意可知，，都是非零向量，对于A，·＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，所以⊥，即AP⊥AB，故A正确；对于B，·＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以⊥，即AP⊥AD，故B正确；对于C，因为AP⊥AD，AP⊥AB，AD，AB⊂平面ABCD，AD∩AB＝A，所以AP⊥平面ABCD，故C正确；对于D，因为AP⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AP⊥BD，故D错误． 3．已知平面α的法向量为m＝(2，3，z)，平面β的法向量为n＝(x，1，5)，若α∥β，x，z∈R，则xz＝________． 解析：因为平面α的法向量为m＝(2，3，z)，平面β的法向量为n＝(x，1，5)，且α∥β， 所以m∥n，则＝＝，解得x＝，z＝15，所以xz＝10. 答案：10 4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝1，E是CD上靠近D点的三等分点． (1)求平面D1EB1的一个法向量； (2)在平面ABB1A1上是否存在一点F，使得EF⊥平面AED1？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 解： (1)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由题得D1(0，0，1)，E(0，1，0)，B1(1，3，1)，则＝(0，1，－1)，＝(1，2，1)，设平面D1EB1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 令y＝1，则n＝(－3，1，1)，则平面D1EB1的一个法向量为n＝(－3，1，1). (2)由题意得A(1，0，0)，则＝(1，－1，0)，设F(1，a，b)，则＝(1，a－1，b).因为EF⊥平面AED1，所以为平面AED1的一个法向量， 则 解得所以存在点F(1，2，1)，使得EF⊥平面AED1. 1．已学习：平面的法向量、三垂线定理及逆定理以及利用向量法证明平行与垂直问题． 2．须贯通：(1)利用待定系数法求平面法向量；(2)利用空间向量解决平行与垂直的关系，体现了数形结合、转化与化归的思想方法． 3．应注意：平面的法向量的不唯一性． 学科网（北京）股份有限公司 $