2.1 第2课时 异面直线与空间向量-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

第2课时　异面直线与空间向量

 

 

 

思考　同学们在分组讨论异面直线所成的角时，有同学认为异面直线l1，l2所成的角为θ就是其方向向量u，v的夹角〈u，v〉；有同学认为异面直线l1，l2所成的角为θ与其方向向量u，v的夹角〈u，v〉互补．你认为谁的观点正确？

[提示]　都不正确，异面直线所成的角与其方向向量的夹角既有区别又有联系，事实上，它们是相等或互补的关系．

[知识梳理]

设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ.

如图，则(1)θ的取值范围为.

(2)θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉．

(3)sin θ＝sin__〈v1，v2〉，cos θ＝|cos__〈v1，v2〉|．

(4)l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0.

[例1] 如图，圆锥PO的轴截面PAB是边长为4的等边三角形，C是OB的中点，D是底面圆周上一点，∠DOC＝.

(1)求DC的值；

(2)求异面直线PA与DC所成角的余弦值．

【解】　(1)在△OCD中，OD＝2，OC＝1，∠DOC＝，根据余弦定理，得DC＝＝.

(2)如图，以点O为坐标原点，OB，OP所在直线分别为y轴和z轴，平面DOC内过点O且垂直于OB的直线为x轴，建立空间直角坐标系，P(0，0，2)，A(0，－2，0)，C(0，1，0)，D(，－1，0)，

＝(0，－2，－2)，＝(－，2，0)，

设异面直线PA与DC所成的角为θ，

则cos θ＝＝＝＝，所以异面直线PA与

DC所成角的余弦值为.

求空间直线所成角的三种方法

(1)几何法：把空间中的两条直线平移到一个公共点，再通过解三角形求角．

(2)基底法：确定一组基底，用基底表示两直线的方向向量．

(3)坐标法：建立空间直角坐标系，用坐标表示两直线的方向向量. 

[跟踪训练1] (1)已知直线l1的方向向量为a＝(1，0，m)，直线l2的方向向量为b＝(0，1，m)，若l1与l2所成的角为60°，则m＝(　　)

A．1 B．－1

C．±1 D．0

解析：选C.因为直线l1的方向向量为a＝(1，0，m)，直线l2的方向向量为b＝(0，1，m)，l1与l2所成的角为60°，所以＝＝＝cos 60°＝，解得m＝±1.

(2)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝1，且AB⊥AC，异面直线CB1与C1A1所成的角为60°，则该直三棱柱的侧面积为______．

解析：

以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AA1＝a(a>0)，则C(0，1，0)，A1(0，0，a)，B1(1，0，a)，C1(0，1，a)，＝(1，－1，a)，＝(0，－1，0)，

因为异面直线CB1与C1A1所成的角为60°，