2.1 第2课时 异面直线与空间向量-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦异面直线与空间向量的核心知识点，系统梳理异面直线所成角与方向向量夹角的关系（相等或互补，余弦值取绝对值），以及公垂线段的定义和距离计算。基于空间向量基础，构建从角的概念辨析到坐标法、基底法求解，再到公垂线段与距离应用的学习支架。 该资料以斜拉桥链条实例导入，引导学生用数学眼光观察现实问题。通过辨析方向向量夹角与异面直线所成角的关系，培养数学思维的严谨性。例题与跟踪训练结合坐标法等，用数学语言解决问题，课中助力教师引导探究，课后帮助学生通过分层练习查漏补缺，巩固知识。

第2课时　异面直线与空间向量 新课导入 学习目标 中国的基建和制造业突飞猛进，被网友赋予了“基建狂魔”的称号．斜拉桥两旁的链条纵横交错，不但对桥起到保护和加固作用，也成了一道美丽的风景．任意两条链条所在直线所成的角是多少？本节课我们一起来探讨． 1.了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量的夹角之间的关系． 2.会求空间中两条直线所成的角． 3.了解空间中两条异面直线的公垂线段． 思考　同学们在分组讨论异面直线所成的角时，有同学认为异面直线l1，l2所成的角为θ就是其方向向量u，v的夹角〈u，v〉；有同学认为异面直线l1，l2所成的角为θ与其方向向量u，v的夹角〈u，v〉互补．你认为谁的观点正确？ [提示]　都不正确，异面直线所成的角与其方向向量的夹角既有区别又有联系，事实上，它们是相等或互补的关系． [知识梳理] 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. 如图，则(1)θ的取值范围为. (2)θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉． (3)sin θ＝sin__〈v1，v2〉，cos θ＝|cos__〈v1，v2〉|． (4)l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0. [例1] 如图，圆锥PO的轴截面PAB是边长为4的等边三角形，C是OB的中点，D是底面圆周上一点，∠DOC＝. (1)求DC的值； (2)求异面直线PA与DC所成角的余弦值． 【解】　(1)在△OCD中，OD＝2，OC＝1，∠DOC＝，根据余弦定理，得DC＝＝. (2)如图，以点O为坐标原点，OB，OP所在直线分别为y轴和z轴，平面DOC内过点O且垂直于OB的直线为x轴，建立空间直角坐标系，P(0，0，2)，A(0，－2，0)，C(0，1，0)，D(，－1，0)， ＝(0，－2，－2)，＝(－，2，0)， 设异面直线PA与DC所成的角为θ， 则cos θ＝＝＝＝，所以异面直线PA与DC所成角的余弦值为. 求空间直线所成角的三种方法 (1)几何法：把空间中的两条直线平移到一个公共点，再通过解三角形求角． (2)基底法：确定一组基底，用基底表示两直线的方向向量． (3)坐标法：建立空间直角坐标系，用坐标表示两直线的方向向量. [跟踪训练1] (1)已知直线l1的方向向量为a＝(1，0，m)，直线l2的方向向量为b＝(0，1，m)，若l1与l2所成的角为60°，则m＝(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．0 解析：选C.因为直线l1的方向向量为a＝(1，0，m)，直线l2的方向向量为b＝(0，1，m)，l1与l2所成的角为60°，所以＝＝＝cos 60°＝，解得m＝±1. (2)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝1，且AB⊥AC，异面直线CB1与C1A1所成的角为60°，则该直三棱柱的侧面积为______． 解析： 以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AA1＝a(a>0)，则C(0，1，0)，A1(0，0，a)，B1(1，0，a)，C1(0，1，a)，＝(1，－1，a)，＝(0，－1，0)， 因为异面直线CB1与C1A1所成的角为60°， 所以＝cos 60°，即＝，解得a＝(负值已舍去)， 所以该直三棱柱的侧面积为2××1＋×＝2＋2. 答案：2＋2 [知识梳理] 如图1，2所示，若v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，A∈l1，B∈l2：则 (1)l1与l2异面⇒v1与v2不平行； (2)l1与l2异面⇔v1，v2，不共面． (“l1与l2异面”是“v1与v2不平行”的充分不必要条件) [例2] 已知点A(0，1，1)，B(1，0，2)，C(1，－2，3)，D(－1，－2，1)，则直线AB，CD的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．重合 D．异面 【解析】　由题得，＝(1，－1，1)，＝(－2，0，－2)，＝(1，－3，2) ， 因为不存在实数t，使得＝t，所以，不共线，所以直线AB，CD不平行，不重合，故选项A，C不正确； 假设，，三个向量共面，因为不存在实数k使得＝k，所以，不共线， 设＝λ＋μ，则 此方程组无解， 可得，，三个向量不共面， 所以直线AB，CD不相交，所以直线AB，CD异面，故选项B不正确，D正确．故选D. 【答案】　D 利用向量法判断直线异面应注意的问题 (1)向量平行与向量共线是一个概念，直线平行与直线共线完全不同． (2)异面直线是指两条直线不能在任何一个平面内，可转化为四点不共面问题，进而转化为三个向量不共面的问题． [跟踪训练2] 已知空间中两条不同的直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.由∀λ∈R，a≠λb可知，a与b不共线，所以两条不同的直线m，n不平行，可能相交，也可能异面，所以“∀λ∈R，a≠λb”不是“直线m，n相交”的充分条件； 由两条不同的直线m，n相交可知，a与b不共线，所以∀λ∈R，a≠λb，所以“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要条件，综上所述，“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要不充分条件．故选B. [知识梳理] 1．公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．(直线MN称为公垂线) 2．距离：两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．(是两直线上任意两点连线的最小值) [例3] 在正三棱柱ABC­A1B1C1中，棱长都为2，试找出异面直线BA1与CB1的公垂线，并求两条异面直线BA1与CB1之间的距离． 【解】　如图，以AC的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(0，，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，B1(0，，2). ＝(1，－，2)，＝(1，，2). 假设MN为BA1与CB1的公垂线， 即∃M∈BA1，N∈CB1，使MN⊥BA1，MN⊥CB1，令＝λ，＝v． 设M(x1，y1，z1)， 所以＝(x1，y1－，z1)， 所以(x1，y1－，z1)＝λ(1，－，2)， 所以x1＝λ，y1＝－λ＋，z1＝2λ， 即点M(λ，－λ＋，2λ)， 同理可求得点N(v－1，v，2v)， 所以＝(v－λ－1，v＋λ－，2v－2λ). 又MN⊥BA1，MN⊥CB1， 所以⊥，⊥， 所以 解得 所以＝， 所以||＝ ＝. 故在BA1与CB1上存在点M，N，当BM＝BA1，CN＝CB1时，MN为BA1与CB1的公垂线且两条异面直线BA1与CB1之间的距离为. 判断异面直线的公垂线段的思路 (1)首先判断出该线段与两条异面直线都相交． (2)然后借助于空间向量，利用数量积为零，判断出该线段与两条异面直线都垂直． [跟踪训练3] 已知圆柱OO′的底面半径为3，高为4，A，B两点分别在两底面圆周上，并且AB＝5，求异面直线AB与OO′之间的距离． 解： 如图，作CO′∥AO，CO′＝AO，交底面圆于点C，连接AC，易知AC∥OO1，则直线AB与OO′之间的距离等于OO′与平面ABC的距离，由图形可知，直线AB与OO′之间的距离等于O′到BC的距离， 因为AB＝5，AC＝4，且AC⊥BC， 所以BC＝＝3，易知△O′CB为等边三角形，所以O′到BC的距离为， 所以异面直线AB与OO′之间的距离为. 1．(教材P37练习AT2改编)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则(　　) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．l1，l2异面但不垂直 解析：选B.因为a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，所以a⊥b，所以l1⊥l2. 2．(多选)若两条异面直线所成的角为，则这两条异面直线所在的方向向量的夹角可能为(　　) A． B． C． D． 解析：选AB.因为异面直线所成的角与其所在方向向量的夹角相等或互补，则所求两条异面直线所在的方向向量的夹角为或.故选AB. 3．在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，底面ABC为正三角形，PA＝AB，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为________． 解析：设AB＝m，则·＝(＋)·＝·＋·＝m2cos ＝m2，所以|cos 〈，〉|＝＝＝. 答案： 4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面正方形ABCD的中心，N是A1B1上靠近A1的三等分点，线段DD1上是否存在点M，使直线ON与AM垂直？ 解：线段DD1上存在点M，恰为DD1的中点，使直线ON与AM垂直，证明如下： 如图建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O(1，1，0)， N(2，，2)， 假设M(0，0，a)，a∈[0，2]， 则＝(－2，0，a)，＝(1，－，2)， 因为ON⊥AM，所以·＝－2＋2a＝0，解得a＝1∈[0，2]. 所以线段DD1上存在点M，恰为DD1的中点，使直线ON与AM垂直． 1．已学习：空间中两条直线所成角、异面直线所成角及距离． 2．须贯通：利用空间向量求角与距离，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：混淆两个向量的夹角和异面直线所成角的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $