1.2.3 直线与平面的夹角 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“直线与平面的夹角”核心知识点，先通过定义明确斜线与射影所成角的概念，梳理范围（0°≤θ≤90°）及最小角定理等性质，再衔接空间向量法（方向向量与法向量关系），构建从几何直观到代数运算的学习支架。 该资料设计亮点突出，诊断分析通过判断正误强化概念辨析，培养数学思维的推理意识，探究点结合三棱柱、正方体等实例对比几何法与向量法，发展数学眼光的空间观念，素养小结提炼方法步骤助力数学语言表达，课中辅助教师分层教学，课后便于学生查漏补缺巩固知识。

1.2.3　直线与平面的夹角 【课前预习】 知识点一 (1)斜足　射影　∠ABA' (3)cos θ=cos θ1cos θ2　最小的角 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　(4)× 知识点二 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)× 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)证明:连接AB1,在△ABB1中,∠ABB1=,AB=BB1=1,所以AB1=, 在△BCB1中,∠B1BC=,BC=BB1=1,所以B1C=1, 因为A=AC2+B1C2,所以AC⊥B1C, 又AC∥A1C1,所以A1C1⊥B1C. (2)方法一:连接A1B与AB1交于点O,连接BC1,CO. 在边长都为1的正方形A1ABB1中,O是AB1的中点, 因为B1C=AC=1,所以CO⊥AB1. 因为四边形B1BCC1的边长都为1,所以B1C⊥BC1. 由(1)知B1C⊥A1C1,又A1C1∩BC1=C1,A1C1,BC1⊂平面A1BC1,所以B1C⊥平面A1BC1, 又A1B⊂平面A1BC1,所以B1C⊥A1B, 又A1B⊥AB1,AB1∩B1C=B1,AB1,B1C⊂平面AB1C, 所以A1B⊥平面AB1C.因为CO⊂平面AB1C,所以CO⊥A1B,又A1B∩AB1=O,A1B,AB1⊂平面A1ABB1,所以CO⊥平面A1ABB1,所以∠CBO即为直线BC与平面ABB1A1所成的角. 因为BO=,BC=1,所以cos∠CBO=,所以∠CBO=,所以直线BC与平面ABB1A1所成角的大小为. 方法二:取AB1的中点O,连接BO,CO. 在△ACB1中,AC=B1C=1,所以CO⊥AB1,在边长都为1的正方形A1ABB1中,BO=,AB1=,因为AC2+B1C2=A,所以△ACB1为直角三角形,所以CO=. 在△OBC中,CO2+BO2=BC2,所以CO⊥BO, 又AB1∩BO=O,AB1,BO⊂平面A1ABB1,所以CO⊥平面A1ABB1, 所以∠CBO即为直线BC与平面ABB1A1所成的角. 因为BC=1,所以cos∠CBO=,所以∠CBO=, 所以直线BC与平面ABB1A1所成角的大小为. 变式　解:(1)证明:因为AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,所以BB1⊥平面ABC,又因为AE⊂平面ABC,所以BB1⊥AE.因为AB=AC=2,E为BC的中点,所以BC⊥AE, 又因为BC,BB1⊂平面BCB1,且BC∩BB1=B, 所以AE⊥平面BCB1,又因为AE⊂平面AEA1,所以平面AEA1⊥平面BCB1. (2)取CB1的中点F,连接EF,A1F,如图所示, 因为E为BC的中点,所以EF∥BB1,且EF=BB1,又AA1∥BB1,且AA1=BB1, 所以AA1∥EF,且AA1=EF,所以四边形AA1FE为平行四边形,所以A1F∥AE, 由(1)可知AE⊥平面BCB1,所以A1F⊥平面BCB1,又B1F⊂平面BCB1,所以B1F⊥A1F, 所以∠A1B1F即为直线A1B1与平面BCB1所成的角. 因为AB=AC=2,BC=2,所以△ABC为等腰直角三角形,所以AE=BC=,所以A1F=AE=. 在Rt△BB1C中,B1C===2,所以B1F=B1C=. 在Rt△A1B1F中,tan∠A1B1F===,又因为∠A1B1F∈,所以∠A1B1F=, 即直线A1B1与平面BCB1所成的角为. 探究点二 例2　B　[解析] 如图所示,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,设底面正方形ABCD的边长为a,则A1(a,0,1),C(0,a,0),D1(0,0,1),C1(0,a,1),所以=(-a,a,0),=(a,0,0),=(0,a,-1).设平面A1BCD1的一个法向量为n=(x,y,z),则即可取n=(0,1,a),所以n·=a,|n|=,||=a.因为直线A1C1与平面A1BCD1所成角的余弦值为,所以直线A1C1与平面A1BCD1所成角的正弦值为,所以|cos<n,>|===,可得a2=,故正四棱柱的体积为a2×1=.故选B. 变式　C　[解析] 如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系.不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则M,N,C(0,1,0),B1(1,1,1),D(0,0,0),D1(0,0,1),所以=λ=(-λ,0,-λ),则E(1-λ,1,1-λ),则=,=.设平面MNE的一个法向量为m=(x,y,z),则令x=1,则m=.=(0,0,1),设直线DD1与平面MNE所成的角为α,则sin α=|cos<m,>|===,所以当λ=时,sin α取到最大值,又α∈,所以当λ=时,直线DD1与平面MNE所成的角最大.故选C. 拓展　A　[解析] 取A1C1的中点F1,连接FF1.以F为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图.设所有棱长均为2,则x∈(0,2),B(,0,0),D(0,1,1),E(0,-1,x),F(0,0,0),所以=(,-1,-1),=(0,2,1-x),=(,0,0).设平面BDE的法向量为n=(a,b,c),则令a=1,得b=,c=,则n=.设直线BF与平面BDE所成角为θ,θ∈,则sin θ=|cos<n,>|===,令t=,可知t=在x∈(0,2)内单调递减,且t∈,则sin θ=,可知y=在t∈内单调递减,可得sin θ在x∈(0,2)内单调递增,所以θ随着x的增大而增大.故选A. 【课堂评价】 1.B　[解析] ∵<a,n>=,∴l与α的法向量所在直线所成锐角为,∴l与α所成的角为-=.故选B. 2.D　[解析] 由最小角定理知直线l与直线a所成角的最小值为,又直线l,a为异面直线,所以直线l与直线a所成角的最大值为.故选D. 3.C　[解析] 以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,3,0),所以=(2,0,0),=(2,0,-1),=(0,3,-1).设平面ABC的一个法向量为m=(x,y,z),则即令z=6,则x=3,y=2,所以平面ABC的一个法向量为m=(3,2,6).设直线OB与平面ABC所成的角为θ,则sin θ===,即直线OB与平面ABC所成角的正弦值为.故选C. 4.ABC　[解析] 设正方体的棱长为1,以点D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),F.设=λ(0≤λ≤1),∵=(1,-1,0),∴=(λ,-λ,0),又=(0,1,1),∴=+=(λ,1-λ,1),∴E(λ,1-λ,1),∴=.对于A,易知平面ABB1A1的一个法向量为=(1,0,0),令·=-λ=0,解得λ=,此时⊥,又EF⊄平面ABB1A1,∴EF∥平面ABB1A1,故A正确;对于B,=(1,1,1),∵·=-λ+λ-=0,∴对任意点E,EF⊥DB1,故B正确;对于C,∵=(-1,-1,0),∴·=λ--λ=-,令|cos<,>|===,化简得2λ2-λ=0,解得λ=或λ=0,故存在点E,使得EF与BD所成的角是60°,故C正确;对于D,易知AC⊥BD,∵AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴AA1⊥BD,又AA1∩AC=A,AA1⊂平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,∴BD⊥平面AA1C1C,∴是平面AA1C1C的一个法向量,由C知,存在点E,使得EF与BD所成的角是60°,∴存在点E,使得EF与平面AA1C1C所成的角是30°,故D错误.故选ABC. 5.　[解析] 由题得A(0,0,0),A1(0,0,2),因为P(x,y,z)是正三棱柱ABC-A1B1C1的底面A1B1C1内一动点,所以z=2,所以=(-x,-y,-2),又AA1⊥平面ABC,所以=(0,0,2)是平面ABC的一个法向量,因为直线PA和底面ABC所成的角为,所以|cos<,>|====,整理得x2+y2=.故满足条件的点P组成的集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.3　直线与平面的夹角 【学习目标】 1.理解斜线与平面所成的角的定义; 2.会利用空间向量求直线与平面的夹角. ◆ 知识点一　直线与平面所成的角 (1)定义:如图,如果直线AB是平面α的一条斜线,B为　　　　,A'B是直线AB在平面α内的　　　　,则　　　　　就是直线AB与平面α所成的角.  (2)范围:直线与平面α所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°. 当θ=0°时,AB∥α或AB⊂α;当θ=90°时,AB⊥α. (3)性质:最小角定理. 如图,设AO是平面α的一条斜线段,O为斜足,A'为A在平面α内的射影,而OM是平面α内的一条射线,A'M⊥OM.记∠AOA'=θ1,∠A'OM=θ2,∠AOM=θ,则θ,θ1,θ2之间的关系是　　　　　　　　　.  平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中　　　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. (　 ) (2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角. (　 ) (3)斜线与平面的夹角的范围是. (　 ) (4)若一条直线与一个平面α的夹角为0°,则这条直线在平面α内. (　 ) ◆ 知识点二　利用空间向量求直线与平面的夹角 如图所示,v为直线l的一个方向向量,n为平面α的一个法向量,θ为直线l与平面α所成的角,则θ=-<v,n>或θ=<v,n>-,特别地,cos θ=sin<v,n>,sin θ=|cos<v,n>|. 【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值即为所求线面角的余弦值.(　 ) (2)若直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值为负值,则所求线面角为钝角.(　 ) (3)已知向量m,n分别是直线l的一个方向向量和平面α的一个法向量,且cos<m,n>=-,则直线l与平面α所成的角为60°. (　 ) ◆ 探究点一　几何法求直线与平面所成的角 例1 如图,在所有棱长都等于1的三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABB1=,∠B1BC=. (1)证明:A1C1⊥B1C; (2)求直线BC与平面ABB1A1所成角的大小. 变式 如图所示,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=2,BC=2,AA1=BB1=2,E为BC的中点. (1)求证:平面AEA1⊥平面BCB1; (2)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小. [素养小结] 几何法求线面角的两种方法: (1)利用线面角定义,求线面角即求斜线与它在平面内的射影所成的角,所以找该斜线在平面内的射影是关键,而找射影的关键是找垂线,所以求线面角的关键是找平面的垂线. (2)利用三余弦公式(最小角定理). ◆ 探究点二　用向量法求线面角 例2 [2025·广东广州高二期末] 如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1=1,直线A1C1与平面A1BCD1所成角的余弦值为,则该正四棱柱的体积等于(　 ) A. B. C. D. 变式 [2026·福建南平高一期末] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=, =,=λ,当直线DD1与平面MNE所成的角最大时,λ= (　 ) A. B. C. D. [素养小结] 向量法求线面角的步骤: ①分析图中线、面关系,建立空间直角坐标系; ②求出直线的一个方向向量s和平面的一个法向量n; ③求出夹角<s,n>; ④判断直线和平面所成的角θ和<s,n>的关系,求出角θ. 拓展 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都相等,D是棱CC1的中点,E是棱AA1上的动点(不含端点),F是棱AC的中点.设AE=x,随着x的增大,直线BF与平面BDE所成角 (　 ) A.增大 B.减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 1.[2026·郑州高二期中] 已知直线l与平面α相交,且直线l的一个方向向量为a,平面α的一个法向量为n,若<a,n>=,则l与α所成的角为 (　 ) A. B. C. D. 2.若直线l与平面α所成的角为,直线a在平面α内,且与直线l异面,则直线l与直线a所成角的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 3.如图,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=1,OB=2,OC=3,则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为 (　 ) A. B. C. D. 4.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为面对角线BC1的中点,E为面对角线A1C1上的动点,下列结论中正确的是 (　 ) A.存在点E,使得EF∥平面ABB1A1 B.对任意点E,EF⊥DB1 C.存在点E,使得EF与BD所成的角是60° D.不存在点E,使得EF与平面AA1C1C所成的角是30° 5.[2026·广西玉林高二期末] 如图,在以A为原点的空间直角坐标系中,P(x,y,z)是正三棱柱ABC-A1B1C1的底面A1B1C1内一动点,A1A=AB=2,直线PA和底面ABC所成的角为,则满足条件的点P组成的集合为　.  学科网（北京）股份有限公司 $