1.1 第2课时 空间向量的数量积-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本高中数学讲义聚焦空间向量的数量积核心知识点，通过类比平面向量夹角引入空间向量夹角概念，系统梳理数量积的定义、性质及运算律，构建从概念到应用（求长度、夹角、证垂直）的完整学习支架。 资料以问题驱动设计思考与即时练，结合三棱锥、正方体等实例培养数学思维中的推理能力，通过类比迁移发展数学眼光中的空间观念，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、弥补薄弱环节。

第2课时　空间向量的数量积 新课导入 学习目标 　　 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝F·s＝|F||s|cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引进了“数量积”的概念，本节课我们学习空间向量的数量积问题． 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法． 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，会利用向量的数量积求空间两点间的距离． 思考　类比平面向量夹角的相关概念，探究空间向量夹角的概念． [提示]　 只要把两个空间向量平移到同一起点，就可利用平面向量的方法定义空间向量的夹角． [知识梳理] 定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB称为向量a与b的夹角 记法 〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π，当〈a，b〉＝时，a⊥b [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)空间向量与的夹角等于空间向量与的夹角．(　　) (2)对于空间非零向量a，b，若a∥b，则〈a，b〉＝0.(　　) (3)在正四面体ABCD中，与的夹角等于60°.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．已知a，b是空间非零向量，若|a|＝|b|＝|a＋b|，则〈a，b〉＝________． 解析：因为|a|＝|b|＝|a＋b|，所以非零向量a，b不可能共线，设＝a，＝b，利用平行四边形法则得到＝a＋b， 如图，所以＝b，所以△OAC为等边三角形，得∠OAC＝，故∠AOB＝，即〈a，b〉＝. 答案： 3. 如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，若AB＝，AA′＝1，则向量与的夹角为________，与的夹角为________． 解析：易知AA′⊥AB，而AB＝，AA′＝1，所以tan ∠AA′B＝，即∠AA′B＝.因为CC′∥AA′，所以与的夹角为∠AA′B＝；因为B′C′⊥平面ABB′A′，BA′⊂平面ABB′A′，所以BA′⊥B′C′，所以与的夹角为. 答案：　 (1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π⇔a∥b(a，b为非零向量)； (2)〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉． 思考1　回忆平面向量数量积的定义． [提示]　已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 思考2　类比平面向量数量积的性质与运算律，探究空间向量数量积的性质与运算律． [提示]　通过空间向量数量积可以求向量间的位置关系、向量的模、向量的夹角，并且数量积的运算也满足交换律、分配律． [知识梳理] 1．空间向量的数量积 (1)定义：空间内，已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos__〈a，b〉称为a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． (2)规定：零向量与任意向量的数量积为0. 2．投影 (1)一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B，则向量称为a在直线l(或平面α)上的投影． (2)a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积． 3．空间向量数量积的性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0． (2)a·a＝|a|2＝a2. (3)|a·b|≤|a||b|. (4)(λa)·b＝λ(a·b)． (5)a·b＝b·a(交换律). (6)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). [例1] (对接教材例5) 如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b. (1)确定在平面ABC上的投影； (2)求·，·. 【解】　(1)因为PA⊥平面ABC， 所以在平面ABC上的投影为. (2)因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，可得PA⊥AB，所以·＝0. 因为BC⊥AB，所以·＝0， 所以·＝(＋＋)·＝·＋·＋· ＝0＋a2＋0＝a2. 因为PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，可得PA⊥AC，所以·＝0， 又因为BC⊥AB，AB＝BC＝a，〈，〉＝45°，AC＝a， 所以·＝(＋)·＝·＋·＝0＋a×a×＝a2. 母题探究　本例条件不变，则在上的投影为________． 解析：因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB, 又BC⊥AB，所以在上的投影为. 答案： (1)求空间向量数量积的步骤 ①将各个向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； ②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积形式； ③代入a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解． (2)空间向量数量积a·b的几何意义 数量积a·b等于向量a在向量b上的投影c与向量b的数量积，即a·b＝c·b. [跟踪训练1] 如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，点P是C1D1的中点．试确定向量在直线B1C1上的投影，并求·． 解：因为A1B1⊥B1C1，PC1⊥B1C1，所以向量在直线B1C1上的投影为， 故·＝·＝1. 角度1　求长度 [例2] (2026·济南月考)在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝，cos ∠BAA1＝，则AC1＝(　　) A． B．2 C． D． 【解析】　 在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，过点A1向AB作垂线，垂足为点E， 则AE＝AA1cos ∠BAA1＝， 所以||＝－2×＝， ||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·，即||＝＝.所以AC1＝. 【答案】　A 求线段长度的步骤 (1)将线段用向量表示； (2)用已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用公式|a|＝即可求长度． 角度2　求夹角 [例3] 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足＝，则cos 〈，〉＝________． 【解析】　设正方体棱长为3，＝＋＝＋，D1B＝－＝－－，则·＝(＋)·(－－)＝0－9－0＋0－0－3＝－12， ||＝，||＝＝3，故cos 〈，〉＝＝＝－. 【答案】　－ 母题探究　在本例中，异面直线AP与D1B所成的角α的余弦值为________． 解析：因为异面直线AP与直线D1B所成的角α∈(0，]，所以cos α＝|cos 〈，D1B〉|＝. 答案： 利用数量积求夹角或余弦值的步骤 注意　求两向量的夹角，必须特别关注两向量的方向，应用向量夹角定义确定夹角的大小． 角度3　证垂直 [例4] 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，AA1⊥平面ABC，E，F分别是BB1，A1C1的中点．求证：AF⊥CE. 【证明】　设＝a，＝b，＝c，则|a|＝2，|b|＝2，|c|＝2，a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0，＝＋＝＋(－)＝－a＋b＋c，＝＋＝－b＋c. 所以·＝·＝a·b－b2－c·b－a·c＋b·c＋c2＝0， 所以⊥，即AF⊥CE. 用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题． [跟踪训练2] (1)(2026·德州月考)如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的对角线BD1上(不含端点)，＝λ，当∠APC为直角时，λ的值是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由题设有＝＋＋＝－＋＋， 故＝λ＝－λ＋λ＋λ， 而＝1＋＝λ－λ－λ＋－＝(λ－1)＋(1－λ)－λ， 同理，＝(λ－1)＋(1－λ)－λ，因为∠APC为直角，故·＝0，即(λ－1)2－2λ(1－λ)＝0，故3λ2－4λ＋1＝0，解得λ＝1(舍去)或λ＝. (2)已知正四面体OABC的棱长为2，点G是△OBC的重心，点M是线段AG的中点． ①用，，表示，并求出||； ②求证：OM⊥BC. 解：①因为点G是△OBC的重心，所以＝(＋)＝＋.因为点M是线段AG的中点，所以＝＋＝＋(＋)＝＋＋. 因为正四面体OABC的棱长为2， 所以·＝·＝·＝2×2×cos 60°＝2，所以||2＝2＝2＋2＋2＋·＋·＋·＝×4＋×4＋×4＋×2＋×2＋×2＝2， 所以||＝. ②证明：·＝(＋＋)·(－)＝·－·－2＋2＝×2－×2－×4＋×4＝0， 所以OM⊥BC. 1．已知|a|＝4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e上的投影为(　　) A．2e B．－2e C．－e D．e 解析：选B.由题意，|a|＝4，|e|＝1，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e上的投影为|a|cos e＝4×e＝－2e.故选B. 2．(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有(　　) A．＝ B．a2＝|a|2 C.(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 解析：选BD.对于A，向量不能作除法，A错误；对于B，a2＝|a|2，B正确；对于C，(a·b)2＝(|a||b|·cos 〈a，b〉)2＝|a|2·|b|2cos2〈a，b〉≤a2·b2，C错误；对于D，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，D正确． 3．(教材P11T3改编)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，〈，〉＝________． 解析：连接AD1，D1C(图略)，因为该几何体是正方体，所以易得△AD1C为正三角形，＝，所以〈，〉＝. 答案： 4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，E是DD1上一点．若A1D1＝C1D1＝2，DD1＝3，DE＝，利用向量法证明：B1M⊥AE. 证明：设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)，＝＋＝＋＝b－c， 所以·＝·＝－c2＋b2＝－2＋2＝0， 所以⊥，即B1M⊥AE. 1．已学习：空间向量的夹角、投影、空间向量数量积的性质及运算律． 2．须贯通：利用空间向量的数量积求向量的夹角与模，体现了化归转化的思想方法． 3．应注意：(1)当空间向量a，b的夹角θ为锐角时，a·b＞0；但当a·b＞0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0；(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $