1.1 第2课时 空间向量的数量积-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

第2课时　空间向量的数量积

 

 

思考　类比平面向量夹角的相关概念，探究空间向量夹角的概念．

[提示]　 只要把两个空间向量平移到同一起点，就可利用平面向量的方法定义空间向量的夹角．

[知识梳理]

 

[即时练]

1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．

(1)空间向量与的夹角等于空间向量与的夹角．(　　)

(2)对于空间非零向量a，b，若a∥b，则〈a，b〉＝0.(　　)

(3)在正四面体ABCD中，与的夹角等于60°.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

2．已知a，b是空间非零向量，若|a|＝|b|＝|a＋b|，则〈a，b〉＝________．

解析：因为|a|＝|b|＝|a＋b|，所以非零向量a，b不可能共线，设＝a，＝b，利用平行四边形法则得到＝a＋b，

如图，所以＝b，所以△OAC为等边三角形，得∠OAC＝，故∠AOB＝，即〈a，b〉＝.

答案：

3.

如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，若AB＝，AA′＝1，则向量与的夹角为________，与的夹角为________．

解析：易知AA′⊥AB，而AB＝，AA′＝1，所以tan ∠AA′B＝，即∠AA′B＝.因为CC′∥AA′，所以与的夹角为∠AA′B＝；因为B′C′⊥平面ABB′A′，BA′⊂平面ABB′A′，所以BA′⊥B′C′，所以与的夹角为.

答案：　

(1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π⇔a∥b(a，b为非零向量)；

(2)〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉．

思考1　回忆平面向量数量积的定义．

[提示]　已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.

思考2　类比平面向量数量积的性质与运算律，探究空间向量数量积的性质与运算律．

[提示]　通过空间向量数量积可以求向量间的位置关系、向量的模、向量的夹角，并且数量积的运算也满足交换律、分配律．

[知识梳理]

1．空间向量的数量积

(1)定义：空间内，已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos__〈a，b〉称为a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．

(2)规定：零向量与任意向量的数量积为0.

2．投影

(1)一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B，则向量称为a在直线l(或平面α)上的投影．