1.2.2 空间中的平面与空间向量 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

本讲义聚焦空间中平面与空间向量核心知识点，系统梳理平面法向量的定义、性质及求法，构建用向量证明线面和面面平行垂直的方法体系，衔接三垂线定理及其逆定理应用，形成完整学习支架。 资料通过诊断分析深化概念理解，探究点结合例题与变式培养逻辑推理能力（数学思维），素养小结提炼方法规律（数学语言），三垂线定理应用发展空间观念（数学眼光）。课中辅助教师高效授课，课后练习题助力学生巩固知识，查漏补缺。

1.2.2　空间中的平面与空间向量 【学习目标】 1.理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量; 2.会用平面的法向量证明有关平行与垂直问题; 3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题. ◆ 知识点一　平面的法向量 1.定义:如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个　　　　　　,且表示n的有向线段所在的直线与平面α　　　　,则称n为平面α的一个法向量,此时,也称n与平面α垂直,记作n⊥α.  2.性质:①如果直线l垂直平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量; ②如果n是平面α的一个法向量,则对任意的实数λ≠0,空间向量λn也是平面α的一个法向量,而且平面α的任意两个法向量都平行; ③如果n为平面α的一个法向量,A为平面α上一个已知的点,则对于平面α上任意一点B,向量一定与向量n垂直,即n·=0,从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若向量n1,n2为平面α的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行.(　 ) (2)如果n是平面α的一个法向量,A,B∈平面α,那么一定有n⊥. (　 ) (3)如果向量a,b与平面α共面且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量.(　 ) (4)平面的法向量有无数个,且互相平行. (　 ) ◆ 知识点二　直线与平面平行、垂直的判定 如图,如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则n∥v⇔　　　　;n⊥v⇔　　　　,或　　　　.  ◆ 知识点三　两平面平行、垂直的判定 如图,如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,则n1⊥n2⇔　　　　;n1∥n2⇔　　　　,或　　　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若两个平面的法向量互相平行,则两个平面平行. (　 ) (2)若两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直. (　 ) (3)已知两个不重合平面的一个法向量分别为n1,n2,直线l的一个方向向量为v,若满足n1∥v且n2·v=0,则两个平面垂直. (　 ) ◆ 知识点四　三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的　　　　　　在该平面内的　　　　垂直,则它也和这条　　　　垂直.  (2)三垂线定理的逆定理:如果平面内的　　　　　和这个平面的　　　　　　垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.  ◆ 探究点一　求平面的法向量 例1 (1)已知A(1,2,1),B(0,1,2),C(3,1,1),若平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1),则n=(　 ) A. B. C. D. (2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱DD1的中点,以A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图),则平面ABE的一个法向量为 (　 ) A.(1,0,-2) B.(0,1,2) C.(0,2,-4) D.(-2,1,4) 变式 [2026·辽宁铁岭高二期中] 如图,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD和平面SAB的法向量. [素养小结] 利用待定系数法求平面的法向量的步骤: (1)设向量:设平面的一个法向量为n=(x,y,z). (2)选向量:在平面内选取两个不共线的向量,. (3)列方程组:由列出方程组并解方程组. (4)赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1),得到平面的一个法向量. ◆ 探究点二　利用空间向量证明平行关系 例2 [2025·北京六十六中高二期末] 如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,点P,M,N分别为CC1,B1C,D1D的中点.求证: (1)MN∥平面ABCD; (2)平面PMN∥平面ABCD. 变式 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是棱DD1的中点,设Q是棱CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO? [素养小结] 证明线面平行、面面平行的方法: (1)用向量法证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内. (2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行. ◆ 探究点三　利用空间向量证明垂直关系 例3 如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形,AA1=3,且AA1⊥底面ABCD,点P,Q分别是棱BB1,DD1的中点.在底面ABCD内是否存在点M,满足C1M⊥平面CPQ?若存在,请说明点M的位置;若不存在,请说明理由. 变式 如图①,在边长为4的菱形ABCD中,∠BAD=60°,DE⊥AB于点E,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,形成四棱锥A1-BCDE,使A1D⊥DC,如图②. (1)求证:A1E⊥平面BCDE. (2)在棱EB上是否存在一点P,使平面A1DP⊥平面A1BC?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 1 ② [素养小结] (1)用向量法证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直;②证明直线的方向向量与平面的法向量平行. (2)证明面面垂直的方法:①利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明;②证明两个平面的法向量互相垂直. ◆ 探究点四　三垂线定理及其逆定理的应用 例4 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,E为CC1的中点. 求证:EO⊥平面A1DB. 变式 [2026·江苏扬州大学附中高一月考] 如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD. [素养小结] 利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的基本步骤: (1)确定投影面:平面经过其中一条直线,并且和另一条直线斜交; (2)确定射影:过斜线上一点找(作)一条直线和这个平面垂直,垂足和斜足的连线为斜线在这个平面内的射影; (3)证明:结合图形完成证明. 1.已知n为平面α的一个法向量,a为直线l的一个方向向量,则“a⊥n”是“l∥α”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知平面α的一个法向量为a=(3,1,-2),平面β的一个法向量为b=(-1,1,k),若α⊥β,则k= (　 ) A.-2 B.2 C.1 D.-1 3.[2026·合肥高二月考] 已知平面α的一个法向量为n=(2,-1,1),若直线l⊥平面α,则直线l的一个方向向量m可以是 (　 ) A.(-4,2,-2) B.(1,1,-1) C.(-2,-1,1) D.(1,1,1) 4.已知平面α经过点A(0,1,2),且平面α的一个法向量为(-2,1,-1),P(x,y,z)是平面α内任意一点,则 (　 ) A.x+y-z=0 B.x+y-z=-1 C.2x-y+z=0 D.2x-y+z=1 5.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,=(4,-4,0),=(-1,0,-1),=(2,2,2)给出下列结论: ①AP⊥AB; ②AP⊥AD; ③是平面ABCD的一个法向量. 其中结论正确的是　　　　.(填序号)  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.2　空间中的平面与空间向量 【课前预习】 知识点一 1.非零向量　垂直 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 知识点二 l⊥α　l∥α　l⊂α 知识点三 α1⊥α2　α1∥α2　α1与α2重合 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)两个平面还可能重合. 知识点四 (1)一条斜线　射影　斜线　(2)一条直线　一条斜线 【课中探究】 探究点一 例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)由题得=(-1,-1,1),=(2,-1,0).若平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1),则即解得所以n=.故选C. (2)由题意可得A(0,0,0),E(0,2,1),B(2,0,0),所以=(0,2,1),=(2,0,0).设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z),则即令y=1,得m=(0,1,-2),所以平面ABE的一个法向量为m=(0,1,-2),所以2m=(0,2,-4)是平面ABE的一个法向量.故选C. 变式　解:因为AD,AB,AS两两垂直,所以以A为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示, 则A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),所以=(1,0,0),=(1,2,0),=(-1,0,2). 易知=(1,0,0)是平面SAB的一个法向量. 设平面SCD的法向量为n=(x,y,z),则即令x=2,得n=(2,-1,1), 故平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1). 探究点二 例2　证明:如图所示,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),B1(0,1,2),D1(1,-2,2),C1(2,0,2). 因为M,N分别为B1C,D1D的中点,所以M,N(1,-2,1). (1)易知n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,=,则·n=0,因为直线MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD. (2)因为P为CC1的中点,所以P(2,0,1),则=,=(-1,-2,0). 设平面PMN的法向量为m=(x,y,z),则即则x=y=0,令z=2,所以m=(0,0,2),因为m=2n,所以m∥n,所以平面PMN∥平面ABCD. 变式　解:如图所示,以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则O,P,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1), 设Q(0,1,t)(0≤t≤1),所以=,=,=(-1,-1,1),=(-1,0,t). 设平面PAO的一个法向量为n=(x,y,z), 则令x=1,得n=(1,1,2),所以平面PAO的一个法向量为n=(1,1,2). 因为平面D1BQ∥平面PAO, 所以解得t=. 故当Q为棱CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 探究点三 例3　解:存在满足题意的点M,点M到边AB,AD的距离均为,理由如下: 以A为坐标原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(4,4,0),C1(2,2,3),B(4,0,0),B1(2,0,3),D(0,4,0),D1(0,2,3).因为点P,Q分别是棱BB1,DD1的中点,所以P,Q,所以=,=. 设M(a,b,0)(0≤a≤4,0≤b≤4),则=(a-2,b-2,-3).若C1M⊥平面CPQ,则可得a=b=,故存在点M,即点M到边AB,AD的距离均为,使得C1M⊥平面CPQ. 变式　解:(1)证明:∵DE⊥DC,A1D⊥DC,A1D∩DE=D,A1D,DE⊂平面A1DE,∴DC⊥平面A1DE, 又A1E⊂平面A1DE,∴DC⊥A1E,又A1E⊥DE,DC∩DE=D,DC,DE⊂平面BCDE,∴A1E⊥平面BCDE. (2)以E为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 易知DE=2,则A1(0,0,2),B(2,0,0),C(4,2,0),D(0,2,0),∴=(-2,0,2),=(2,2,0). 设平面A1BC的一个法向量为m=(x,y,z), 则令x=-,则m=(-,1,-).设P(t,0,0)(0≤t≤2),则=(t,0,-2),=(0,2,-2). 设平面A1DP的一个法向量为n=(a,b,c),则令a=2,则n=. 假设平面A1DP⊥平面A1 BC,则n·m=-2+-t=0,解得t=-3,∵0≤t≤2,∴在棱EB上不存在一点P,使平面A1DP⊥平面A1BC. 探究点四 例4　证明:方法一:如图,取F,G分别为DD1,AD的中点,连接EF,FG,GO,AC. 由正方体的性质知FG为EO在平面ADD1A1上的射影,OC为OE在平面ABCD上的射影. ∵A1D⊥FG,∴A1D⊥EO,∵OC⊥BD,∴EO⊥BD. 又A1D∩BD=D,A1D,BD⊂平面A1DB,∴EO⊥平面A1DB. 方法二:如图,连接A1O,A1E,A1C1,AC,设正方体的棱长为2,由正方体的性质知OC为OE在平面ABCD上的射影,∵OC⊥BD,∴BD⊥EO, 又EO2=()2+12=3,A1O2=22+()2=6,A1E2=(2)2+12=9, ∴A1E2=EO2+A1O2,∴A1O⊥EO,又A1O⊂平面A1DB,BD⊂平面A1DB,且A1O∩BD=O,∴EO⊥平面A1DB. 变式　证明:如图,取BC的中点O,连接AO交BD于点E,连接PO. 因为PB=PC,所以PO⊥BC. 又平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO⊂平面PBC,所以PO⊥平面ABCD,所以AP在平面ABCD内的射影为AO. 在直角梯形ABCD中,由AB=BC=2CD,易知Rt△ABO≌Rt△BCD,所以∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°,即AO⊥BD. 由三垂线定理,得PA⊥BD. 【课堂评价】 1.B　[解析] 当a⊥n时,l∥α或l在平面α内,充分性不成立;当l∥α时,a⊥n,必要性成立.故“a⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件.故选B. 2.D　[解析] 因为α⊥β,所以a⊥b,所以3×(-1)+1×1+(-2)×k=0,解得k=-1.故选D. 3.A　[解析] 由题可知m=λn=(2λ,-λ,λ)(λ≠0),当λ=-2时,即为A选项,对于选项B,C,D,找不到满足条件的λ,故B,C,D错误.故选A. 4.D　[解析] 依题意,=(x,y-1,z-2),因为平面α的一个法向量为(-2,1,-1),所以(x,y-1,z-2)·(-2,1,-1)=-2x+y-1-(z-2)=-2x+y-z+1=0,即2x-y+z=1.故选D. 5.①　[解析] ∵·=2×4+2×(-4)+2×0=0,∴⊥,∴AP⊥AB,故①正确;∵·=2×(-1)+2×0+2×(-1)=-4≠0,∴与不垂直,故②不正确;∵与不垂直,∴不是平面ABCD的一个法向量,故③不正确.故填①. 学科网（北京）股份有限公司 $