2.1 第1课时 空间中的点、直线与空间向量-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本高中数学讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用，核心知识点为空间中点的位置向量、直线的方向向量及线线位置关系判断。从点的位置向量（指定原点确定点的位置）到直线的方向向量（非零向量平行或重合于直线），再到利用方向向量的平行与垂直判断线线关系，构建从概念到应用的学习支架。 资料以“油纸伞舞蹈伞柄位置关系”情境导入，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过思考问题引导概念形成，结合例题（如正方体中证明线线平行垂直）和跟踪训练，发展数学思维的推理能力，用坐标语言精确表达向量关系体现数学语言。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后学生可通过例题与训练查漏补缺，巩固知识。

1．2　空间向量在立体几何中的应用 1．2.1　空间中的点、直线与空间向量 第1课时　空间中的点、直线与空间向量 新课导入 学习目标 油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶．油纸伞舞蹈表演，更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂．当舞蹈演员们向同一个方向举起油纸伞时，伞柄所在的直线是什么位置关系？本节课我们一起探究这个问题． 1.理解空间中点的位置向量与直线的方向向量的概念． 2.会利用直线的方向向量判断空间中两直线的位置关系． 思考　怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？ [提示]　空间中点的位置由它的位置向量唯一确定． [知识梳理] 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量． [例1] 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5). (1)若＝ (－)，求点P的坐标； (2)若P是线段AB上一点，且AP∶PB＝1∶2，求点P的坐标． 【解】　(1)因为＝(－1，1，5)， ＝(－3，－1，5). 所以＝(－)＝(2，2，0)＝(1，1，0).所以点P的坐标为(1，1，0). (2)由P是线段AB上一点， 且AP∶PB＝1∶2知，＝， 设点P的坐标为(x，y，z)， 则＝(x－3，y－4，z)， ＝(2－x，5－y，5－z)， 故(x－3，y－4，z)＝(2－x，5－y，5－z)， 即解得 因此点P的坐标为(，，). 空间中确定点的位置常转化为向量共线、向量相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得出关于要求点坐标的方程或方程组求解即可. [跟踪训练1] 在空间直角坐标系中，已知点A(4，2，0)，B(1，3，3)，点E是线段AB上的一点，且AE＝AB，则点E的坐标为________. 解析：设点E的坐标为(x，y，z).由题意可知＝(－3，1，3)， ＝(x－4，y－2，z)，且＝， 所以(x－4，y－2，z)＝(－3，1，3). 即解得 所以点E的坐标为(，，). 答案：(，，) 思考　在空间中，如何确定一条直线？ [提示]　两点确定一条直线；直线上一点及这条直线的方向向量也可以确定一条直线． [知识梳理] 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l． [例2] 如图，已知长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，BB1＝5，建立空间直角坐标系，分别求直线DA1与AC的方向向量． 【解】　以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0，0，0)，A1(4，0，5)，A(4，0，0)，C(0，3，0)，故＝(4，0，5)，＝(－4，3，0)， 所以直线DA1与AC的一个方向向量分别为＝(4，0，5)，＝(－4，3，0). (1)直线的方向向量为非零向量． (2)直线的方向向量有无数个，如果a是直线的方向向量，则λa(λ≠0)必是直线的方向向量．求一条直线的方向向量，可以在直线上取两点A，B，则即为直线的一个方向向量． [跟踪训练2] (1)若A(0，2，1)，B(3，2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(－3，0，－6) B．(9，0，－6) C．(－2，0，2) D．(－2，1，3) 解析：选B.依题意，直线l的一个方向向量为＝(3，2，－1)－(0，2，1)＝(3，0，－2)＝(9，0，－6)，故选B. (2)(2026·漯河月考)已知直线l经过A(－1，2，5)，B(1，－1，n)两点，向量a＝(－2，m，m)是直线l的一个方向向量，则n＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：选C.由点A(－1，2，5)，B(1，－1，n)，可得＝(2，－3，n－5). 因为a＝(－2，m，m)是直线l的一个方向向量，所以存在实数λ，使得＝λa， 则解得 知识点三　用直线的方向向量处理直线的平行、垂直问题 思考1　由直线与直线的平行关系，可以得到平行直线的方向向量具有什么关系？ [提示]　平行． 思考2　 如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ [提示]　垂直． [知识梳理] 1．设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． 2．设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． [例3] 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的中点． 证明：(1)BF∥D1E； (2)BE不与D1M平行； (3)BE⊥C1M. 【证明】　 如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系． 则B(1，0，0)，D1(0，1，1)， E，F， M，C1(1，1，1). (1)因为＝， ＝， 所以＝－，所以∥， 所以BF∥D1E. (2)＝， ＝， 因为≠，所以不与平行， 所以直线BE不与直线D1M平行． (3)＝， ＝. 所以·＝(－1)×＋0×0＋×(－1)＝－＝0， 所以⊥，所以BE⊥C1M. (1)证明直线平行的两种思路 (2)证明线线垂直的方法：用向量证明空间中两条直线l1，l2互相垂直的主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法有以下两种： ①坐标法：用坐标表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量积为0. ②基向量法：将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，计算出两向量的数量积为0. [跟踪训练3] 已知三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝2PA＝2AC＝4，N为AB上一点且满足3＝，M，S分别为PB，BC的中点．求证：CM⊥SN. 证明：因为PA⊥平面ABC，AB⊥AC， 如图，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，M(2，0，1)，S(2，1，0)，N(1，0，0)， 所以＝(2，－2，1)，＝(－1，－1，0)， 因为·＝2×(－1)＋(－2)×(－1)＋1×0＝0，所以⊥，即CM⊥SN. 1．在空间直角坐标系Oxyz中，点A(－3，1，5)，B(4，3，1)，点P为线段AB的中点，则点P的位置向量的坐标为(　　) A．(，1，－2) B．(，2，3) C．(－12，3，5) D．(，，－2) 解析：选B.由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得，点P的坐标为(，2，3)，则点P的位置向量的坐标为(，2，3).故选B. 2．(多选)(教材P37练习A T1改编)已知A(－1，0，4)，B(3，2，－1)，则直线AB的方向向量可以表示为(　　) A．(－4，－2，5) B．(8，4，－10) C．(6，3，－7) D．(－3，5，4) 解析：选AB.由题意知，＝(4，2，－5)， 对于选项A，(－4，－2，5)＝－，满足题意； 对于选项B，(8，4，－10)＝2，满足题意； 对于选项C，(6，3，－7)与＝(4，2，－5)不共线，不满足题意； 对于选项D，(－3，5，4)与＝(4，2，－5)不共线，不满足题意．故选AB. 3．若向量a＝(x，－2，1)，b＝(－1，y，2)都是直线l的方向向量，则x＋y＝________． 解析：因为a，b都是直线l的方向向量，所以a∥b.因此＝＝(y≠0)，解得x＝－，y＝－4，所以x＋y＝－. 答案：－ 4. 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1. 证明：如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A(a，0，0)，C1(0，b，c)，D1(0，0，c)，B1(a，b，c)，B(a，b，0)，A1(a，0，c). 由D1E＝2EB1，即＝2，可得E， 由BF＝2FA1，即＝2，可得F. 因为＝，＝(－a，b，c)，所以＝． 又EF与AC1不共线，所以EF∥AC1. 1．已学习：空间中点、直线的向量表示以及利用直线的方向向量研究平行问题． 2．须贯通：利用空间向量表示点、直线，体现了数形结合的思想方法． 3．应注意：理解直线的方向向量的不唯一性． 学科网（北京）股份有限公司 $