2.1 第1课时 空间中的点、直线与空间向量-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

1．2　空间向量在立体几何中的应用

1．2.1　空间中的点、直线与空间向量

第1课时　空间中的点、直线与空间向量

 

 

思考　怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？

[提示]　空间中点的位置由它的位置向量唯一确定．

[知识梳理]

一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量．

[例1] 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5).

(1)若＝ (－)，求点P的坐标；

(2)若P是线段AB上一点，且AP∶PB＝1∶2，求点P的坐标．

【解】　(1)因为＝(－1，1，5)，

＝(－3，－1，5).

所以＝(－)＝(2，2，0)＝(1，1，0).所以点P的坐标为(1，1，0).

(2)由P是线段AB上一点，

且AP∶PB＝1∶2知，＝，

设点P的坐标为(x，y，z)，

则＝(x－3，y－4，z)，

＝(2－x，5－y，5－z)，

故(x－3，y－4，z)＝(2－x，5－y，5－z)，

即解得

因此点P的坐标为(，，).

空间中确定点的位置常转化为向量共线、向量相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得出关于要求点坐标的方程或方程组求解即可. 

[跟踪训练1] 在空间直角坐标系中，已知点A(4，2，0)，B(1，3，3)，点E是线段AB上的一点，且AE＝AB，则点E的坐标为________.

解析：设点E的坐标为(x，y，z).由题意可知＝(－3，1，3)，

＝(x－4，y－2，z)，且＝，

所以(x－4，y－2，z)＝(－3，1，3).

即解得

所以点E的坐标为(，，).

答案：(，，)

思考　在空间中，如何确定一条直线？

[提示]　两点确定一条直线；直线上一点及这条直线的方向向量也可以确定一条直线．

[知识梳理]

一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l．

[例2] 如图，已知长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，BB1＝5，建立空间直角坐标系，分别求直线DA1与AC的方向向量．

【解】　以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0，0，0)，A1(4，0，5)，A(4，0，0)，C(0，3，0)，故＝(4，0，5)，＝(－4，3，