1.1 第1课时 空间向量及线性运算-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦高中数学空间向量的概念及线性运算，先通过类比平面向量引入空间向量的定义、模、表示法及特殊向量，再系统学习空间向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义和运算律，构建从平面到空间的知识支架。 以滑翔伞运动场景导入，培养用数学眼光观察现实世界的能力，通过类比推理和几何体实例（如平行六面体、空间四边形）发展数学思维，即时练和跟踪训练帮助学生用数学语言表达空间关系，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及线性运算 新课导入 学习目标 如图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向且大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？能对这些力进行力的合成吗？这就是本节我们学习的空间向量及其线性运算． 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． 2.掌握空间向量加减运算及其数乘运算，理解其几何意义． 3.掌握空间向量的线性运算及其应用． 思考1　与平面向量有关的概念有哪些？我们学习了哪几个特殊的平面向量？ [提示]　模、夹角、向量平行、向量相等．零向量、单位向量、相反向量等． 思考2　你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ [提示]　空间向量是平面向量的推广，其表示方法及相关概念与平面向量一致． [知识梳理] 1．定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． 2．长度：空间向量的大小称为空间向量的长度或模． 3．表示法 (1)几何表示法：空间向量用有向线段表示． (2)字母表示法：若向量a的始点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 始点和终点相同的向量 |0|＝0 单位向量 模为1的向量 |e|＝1 相等向量 大小相等且方向 相同的向量 a＝b或＝ 共线向量 或平行向量 两个非零向量的方向相同或相反 a∥b或 ∥ 向量 (不)共面 表示空间向量的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面 无 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．(　　) (2)若a＝－b，则|a|＝|b|.(　　) (3)若两个向量的始点重合，则这两个向量的方向相同．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中： (1)单位向量有___________________________________________； (2)模为的向量有________个； (3)与相等的向量有_________________________________________． 答案：(1)AA1，A1A，BB1，B1B，CC1，C1C，DD1，D1D (2)8 (3)A1B1，，D1C1 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两个向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等． 思考1　平面向量的线性运算是指哪些运算？ [提示]　平面向量的线性运算是指平面向量的加减法及数乘运算． 思考2　空间中的向量能用平面向量的线性运算法则进行运算吗？ [提示]　能．因为空间向量是可以自由移动的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，又因为两条相交直线确定一个平面，所以平移后两个向量是在同一个平面内的，同一平面内的两个向量可以利用平面向量的线性运算法则进行运算． [知识梳理] 1．空间向量的加法运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法运算 ＋ ＝a＋b ＝ 交换律： a＋b＝ b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ＝ ＋＝a＋b 2.空间向量的减法运算 定义 在空间中任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，则向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝ 运算法则 三角形法则 语言叙述 图形表示 共始点，连终点，方向指向被减向量 相反向量 给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a.因此，的相反向量是－，而且－＝.因为零向量的始点与终点相同，所以－0＝0. (1)空间向量的减法也可以看成向量的加法，即a－b＝a＋(－b)．(一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量) (2)向量的三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|在空间中仍然成立． [例1] (对接教材例1)如图，已知平行六面体ABCD ­A′B′C′D′，化简下列各式： (1)＋＋； (2)－＋. 【解】　(1)因为＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝. (2)因为＝，所以－＋＝－＋＝＋＋＝＋＝. (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． [跟踪训练1] 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，点E，F，G分别是BC，CD，BD的中点，请化简： (1)－－； (2)＋＋，并在图中标出化简结果的向量． 解：(1)－－＝＋＋＝. (2)如图所示， 连接GF，因为点E，F，G分别是BC，CD，BD的中点， 所以＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝，如图所示． 思考　平面向量的数乘运算中，实数λ对向量λa(a≠0)起到什么作用？ [提示]　 |λa|＝|λ||a|且当λ＞0时，λa与向量a的方向相同；当λ＜0时，λa与向量a的方向相反． [知识梳理] 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个空间向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ＞0 且a≠0 λa与向量a的方向 相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 且a≠0 λa与向量a的方向 相反 λ＝0 或a＝0 λa＝0 运算 律(λ， μ∈R) 结合律 λ(μ a)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μ__a， λ(a＋b)＝λa＋λb 角度1　利用数乘运算表示向量 [例2] (2026·日照月考)如图，在斜棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，＝a，＝b，1＝c，则1＝(　　) A．a＋b＋c B．－a－b－c C．－a＋b＋c D．－a－b＋c 【解析】　1＝＋1＝＋1＝＋＋1＝a＋b＋c. 【答案】　A 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． [跟踪训练2] 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知＝a，＝b，＝c，＝，则＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．－a－b＋c B．－a－b＋c C．a＋b＋c D．a＋b＋c 解析：选A.因为＝，所以＝－，因为＝＋＝＋＝(－)＋(－)＝2－－，所以＝＋＝2－－－＝－－＝－a－b＋c. 角度2　由空间向量的线性运算求参数 [例3] (2026·德州期中)在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点D满足＝x，E为AD的中点，且＝a＋b＋c，则x＝________． 【解析】　由题意 ＝(＋)＝＋(＋)＝＋(＋x) ＝＋＋(－)＝＋＋ ＝a＋b＋c＝a＋b＋c，解得x＝. 【答案】　 解答此类问题多运用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量的线性表示，再根据对应向量的系数相等求参数． [跟踪训练3] 如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，点M为CC1的中点，AN＝NC，若＝x＋y＋zCC1，则x＝______，y＝________，z＝________． 解析：由题意知，＝＋＝＋CC1＝(＋)＋CC1＝＋＋CC1＝＋＋CC1， 又＝x＋y＋zCC1， 所以x＝，y＝，z＝. 答案：　　 1．(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 解析：选ABC.D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量． 2．(多选)(2026·大连期中)将正方形ABCD沿AC折叠如图所示，其中点E，F分别为AD，DC的中点，点R，T将线段AC三等分，则(　　) A．＝ B．＋＝3 C．＝ D．＝－ 解析：选AD.对于A，由点E，F分别为AD，DC的中点，得EF∥AC，EF＝AC，而＝，因此＝，A正确； 对于B，3＝，＋≠，B错误； 对于C，，长度相等，方向不同，C错误； 对于D，＝＋＝－，D正确． 3．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，点N为B1D1上靠近点D1的三等分点．设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b－c B．a＋b－c C．－a＋b－c D．a－b－c 解析：选C.＝＋＋＝－＋＝(＋)－＋(＋)＝－a＋b－c. 4．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x∶y＝________． 解析：因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋， 又因为＝＋x＋y， 所以x＝，y＝，所以x∶y＝∶＝1. 答案：1 1．已学习：空间向量的有关概念、空间向量的线性运算． 2．须贯通：厘清空间向量的有关概念、空间向量的运算法则，空间向量的加法运算满足三角形法则与平行四边形法则． 3．应注意：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数． 学科网（北京）股份有限公司 $