2.1 第1课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

**基本信息** 聚焦空间向量方向向量，分层设计从基础计算到几何综合，巩固概念并培养空间观念与逻辑推理。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方向向量概念与基本运算|直接应用定义（如第1题求方向向量）| |中档|向量平行及几何简单应用|结合坐标运算（如第6题多选题判断性质）| |提升|复杂几何模型与存在性探究|融入正方体/四棱柱模型（如第11题存在性问题）|

1．若P(1，0，－2)，Q(3，1，1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 解析：选C.依题意，直线l的一个方向向量为＝(3，1，1)－(1，0，－2)＝(2，1，3). 2．(2026·青岛月考)已知空间两点A(1，－1，－2)，B(3，0，－4)，向量c＝(－2，2m－1，2)满足c∥，则实数m的值为(　　) A.0 B．1 C．0或1 D．不存在 解析：选A.已知A(1，－1，－2)，B(3，0，－4)，则＝(2，1，－2)， 因为c∥，所以＝＝，解得m＝0. 3．一质点从(1，1，1)出发，做匀速直线运动，每秒的速度为v＝(1，2，3)，2秒后质点所处的位置为(　　) A．(3，5，7) B．(2，4，6) C．(3，5，8) D．(5，3，7) 解析：选A.2秒后质点所处的位置为(1，1，1)＋2v＝(1，1，1)＋2(1，2，3)＝(3，5，7).故选A. 4．在空间直角坐标系中，直线l过点A(1，0，－1)且以μ＝(3，2，4)为方向向量，M(x，y，z)为直线l上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是(　　) A．＝＝ B．＝＝ C．＝＝ D．＝＝ 解析：选C.依题意，＝(x－1，y，z＋1)，∥μ，则＝＝，所以点M的坐标满足的关系式是＝＝. 5．已知点A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，若向量∥a，且||＝2|a|，则点B的坐标为(　　) A．(－5，6，24) B．(－5，6，24)或(7，－10，－24) C．(－5，16，－24) D．(－5，16，－24)或(7，－16，24) 解析：选B.设B(x，y，z)，＝(x－1，y＋2，z)，依题意有 解得或即点B的坐标为(－5，6，24)或(7，－10，－24). 6．(多选)下列命题是真命题的为(　　) A．直线l的方向向量有无穷多个 B．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反 C.若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量 D．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直 解析：选AB.由直线的方向向量的定义易知A，B为真命题；C选项，当k＝0时，结论不成立，故C为假命题；D选项，两直线的方向向量平行，则两直线平行或重合，故D为假命题．故选AB. 7．已知点A(3，5，4)，B(3，0，4)，＝2(O为坐标原点)，则点C的坐标为________． 解析：设点C的坐标为(x，y，z)， 因为＝(x－3，y，z－4)，＝(3，5，4)，所以(x－3，y，z－4)＝(6，10，8)， 所以解得 即点C的坐标为(9，10，12). 答案：(9，10，12) 8．已知直线l1的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝__________，y＝____________． 解析：因为直线的方向向量平行， 所以＝＝，解得x＝－20，y＝12. 答案：－20　12 9．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为 ________． 解析：由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以DB1＝(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1). 答案：(1，1，1)(答案不唯一) 10．(13分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求 (1)E的坐标；(6分) (2)直线CE的一个方向向量．(7分) 解：由题知，AB，AD，AP两两垂直，如图所示，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则P(0，0，1)，D(0，，0)，C(1，，0)， (1) 因为E为PD的中点，所以E的坐标为(0，，). (2)＝(－1，－，)即为直线CE的一个方向向量． 11．在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，底面A1B1C1D1是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，E为侧棱BB1上的动点(包括端点)，则(　　) A．对任意的a，b，存在点E，使得B1D⊥EC1 B．当且仅当a＝b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 C．当且仅当a≤b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 D．当且仅当a≥b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 解析：选C. 以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(a，a，0)，D(0，0，b)，C1(0，a，0)，设E(a，a，t)(0≤t≤b)， 所以 ＝(－a，－a，b)，＝(－a，0，－t)，所以 ·1＝a2－bt，令a2－bt＝0，得t＝， 由0≤≤b得a≤b， 所以当且仅当a≤b时，存在点E，使得B1D⊥EC1. 12．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，O是BD1与B1D的交点．以{a，b，c}为空间的一组基底，则直线OA的一个方向向量为________． 解析： 因为＝a，＝b，＝c，如图，＝＋＝＋＝(＋＋) ＋. 因为＝－＝－b， ＝－＝－c， 所以＝(－b－c＋a) －a ＝－a－b－c， 所以直线OA的一个方向向量为－a－b－c. 答案：－a－b－c(答案不唯一) 13．已知直线l1的方向向量a＝(－1，2，m)，直线l2的方向向量b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值为________． 解析：因为l1∥l2，所以a∥b，所以＝＝，所以n＝－4，m＝6，所以m＋3n＝－6. 答案：－6 14．(13分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 证明：如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E(0，0，)，C1(0，1，1)，F(1，1，)，所以＝(－1，0，)，＝(－1，0，)，＝(0，1，)，＝(0，1，)，所以＝，＝， 所以∥，∥，又因为F∉AE，F∉EC1，所以AE∥FC1，EC1∥AF， 所以四边形AEC1F是平行四边形． 15．(13分)已知O为坐标原点，在四面体OABC中，A(0，3，5)，B(1，2，0)，C(0，5，0)，在坐标平面zOx上是否存在点D，使直线AD∥BC，如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由. 解：存在，其坐标为(1，0，5)，理由如下： 假设存在点D∈平面zOx，则设D(x，0，z)，所以＝(x，－3，z－5)，＝(－1，3，0). 因为直线AD∥BC，所以∥，所以存在λ∈R，使得＝λ， 所以(x，－3，z－5)＝λ(－1，3，0)， 所以即 所以点D的坐标为(1，0，5). 学科网（北京）股份有限公司 $