1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册练习手册（人教B版）

第一章空间向量与立体几何。 1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 6.向量a=(1,2,x),b=(-2,y,4), 效果评价 若a∥b,则x-y=(） 1.已知点A(2,3,4),B(1,2,1), A.4 B.2C.1 BC=3OA,且0为坐标原点，则C点的坐标 7.已知向量a=(1,0,-1),b=(1,1, 为() 0),则lal= ；向量a与b的夹角是 A.(6,8,9) B.(6,9,12) C.(7,11,13)D.(-7,-11,-13) 8.长方体ABCD-ABCD1的底面是边长 2.已知线段AB的两端点坐标为A(9, 为1的正方形，高为2，M,N分别是四边 -3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平 形BBCC和正方形ABCD1的中心，则向 面() 量BM与DN夹角的余弦值是 A.x0y平行 B.x0z平行 C.yOz平行 9.如图所示，在正方体ABCD-ABCD D,yOz相交 中，M,N分别是CC,BC1的中点.求证： 3.设向量a2,20,左coa分，1小， MN∥平面ABD. (0°<a<180°)，若a⊥b,则角a=() A.30° B.60° C.120° D.150° 4.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD, 第9题图 中，O是底面ABCD的中心，E,F分别是 CC1,AD的中点，那么异面直线OE和FD1 所成角的余弦值等于（) A.V15 B.V10 5 5 c专 D号 5.(多选题)已知空间向量a,b,a1 b,=(1,3,5),则b的坐标可以是（) A.(5,0,-1) B-2,3,-} C.(5,-3,-1)D.(8,-1,-1)》 练(9 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 10.如图，在直三棱柱ABC-ABC1的底 提升练习 面△ABC中，CA=CB=1,∠BCA=90°，棱 AA=2,M是AB,的中点. 11.设向量=(1,2，入)，b=(2,2,-1), (1)求cos(BA,CB,)的值； 若cosa,b-号，则实数A的值为 (2)求证：AB⊥CM 12.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是一直角梯形，PA⊥底面ABCD,∠BAD= 90°，AD∥BC,AB=BC=1,AD=AP=2,E为 PD的中点.以A为坐标原点，分别以AB, 第10题图 AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如 图所示的空间直角坐标系O-xyz (1)求BE的模； (2)求〈AE,DC),异面直线AE与 CD所成的角； (3)设n=(L,p,q),满足n⊥平面PCD, 求n的坐标. o 第12题图 (10)练BC=(2,-3,1),.lAB=V32+4+(-8=V89,ACE V5+1+(-7y=V75,BC=V22+(-3)+1平=V14,.MCP +BC75+14=89=ABP,.△ABC为直角三角形.故选C 4c保标1hwa.b品-v六万号 解得A=-2或A务故选C 5.B【解析】4B1=V(2a-1)+(-7-a)+(-2+5)月 =V5am2+10a+59=/5(a+1)2+54, 当a=-1时，AB1m=V54=3V6.故选B. 6.4【解析】a∥b,b=Aa, A=-2,A=-2, x入=4，x=-2,x-y=4. 3A=y,y=-6, 7.2牙【解析】(2a+b)c=2a:c+b-c=-10,又ac 4,bc=-l8.又c=3,b1=2,cos,c=8i6= -分6，ce0,小，6，e=2 8.-2或号【解析】a=AB店=(1,1,0)，b=AC= (-1,0,2), ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4). (ka-b)⊥(ka+2b),.(ka-b)(ka+2b)=0,即(k+1, k,-2)·(k-2,k,4)=(k+1)(k-2)+k2-8=0,解得k=-2 或k=多故所求k的值为-2或多 9.解：0A=(1,0,0),0B=(0,-1,1),.0A+ A0B=(1,-A,A),.(0A+A0B)0B=A+A=2A. 又.10A+A0B1=V1+2+2=VI+2X2,I0B=V2, c0120°=(0+A0B).0B.2A I0A'+AOBHOB V2.V122 a6V2 豆<0，即A<0,A=-V6 6 10.解：(1)a∥b,.存在实数入，使a=b, 2 2=3入， ∴.(2,4,5)=(3，x,y）,4=入x,x=6, (2)向量(-3，-4,5)的模为V(-3)24(-4)2+5= 5V2,.与向量(-3，-4,5)共线的单位向量为 参考答案。 ±234,5±语345，即 5V2 2Y2,-2和-3y2,-2Y2,2 5 2 10 5 2 提升练习 1.-号学，号，多)【解标】设00-A0亦=A, 入，2A),故Q(A,A,2A),.QA=(1-A,2-A,3- 2A),QB=(2-入，1-A,2-2A),.QA·QB=6A2-16A+10= 6以号子，QQ店的最小值为-号，此时=专， Q点的坐标为告，号，号 2高意·品意 a-AB=O, 【解析】设a=(x,y,z),由题意有aAC=0, lal=1, 3 代入坐标可解得=音或加总 4 12 号 。"1.2空间向量在立体几何中的应用 1.21空间中的点、直线与空间向量 效果评价 1.C【解析】设C(x,y,z),则BC=(x-1,y-2,2 1),0A=(2,3,4),.30A=(6,9,12).由BC=30A, x-1=6,x=7, 得y-2=9,.y=11,.C(7,11,13.故选C. z-1=12, z=13, 2.C【解析】AB=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5, -3),AB∥平面yOz.故选C. 3B【解析】向量a=(2,2,0,b=coa,,1, (0°<a<180°)，a⊥b,.ab= 2c0a-1=0,coa=70a< D A 180°，.a=60°.故选B. D 4.A【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA,DC,DD的 A 方向为x轴、y轴、2轴的正方 第4题答图 67 高中数学选择性必修第一册人教B版 向建立空间直角坐标系，则F(1,0,0),D(0,0,2), 0(1,1,0),E(0,2,1),则0E=(-1,1,1),FD= (-1,0,2),10E=V3,ID=V5,0E.FD=3, a.m震v59 5 选A. 5.ABD【解析】a=(1,3,5),a⊥b,.ab=0,即 a·b=(1,3,5)·(5,0,-1)=1×5+3×0+5×(-1)=0,故A 正确：ab=(1,3,5)-2,3,号=1x(-2)+33+5x (30,故B正确：a-b=(1,3,5)(5,-3,-1)x 5+3x(-3)+5×(-1)=-9≠0，故C错误；ab=(1,3,5)· (8,-1,-1)=1×8+3×(-1)+5×(-1)=0,故D正确.故选 ABD. 6.B【解析】向量a=(1,2,x),b=(-2,y,4),若 a,则马子香解得2 ∴x-y=-2-(-4)=2.故 x=-2, 选B. 7.V260°【解析】向量a=(1,0,-1),b= (1,1,0),则lal=V1+02+(-1)=V2；cos(a,b)= 的V2万分向量a与6的夹箱是60 a…b1 8.7Y0【解析】如图，以 30 D为原点，DA所在直线为x轴， A DC所在直线为y轴，DD1所在直 线为z轴，建立空间直角坐标系， DL- B4,1,0),M3,11, D00.0,N分，方，2， 第8题答图 7-(分，0，，示-分号，2设向量Bm与 7 DN的夹角为0，则cos0= BM·DN IBM IIDNI VV 70.故向量B与DN夹角的余弦值为70 30 30 9.证明：如图，以D为原 点，DA,DC,DD所在直线分 D 别为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系，设正方体的棱 长为1，可求得M0,1,, 第9题答图 68 n N分1,1，D0,0,0, A,(1,0,10,于是-3,0，，Dm=(1,0,10 得DA=2M,.DA∥MN,.DA1∥MN.而MN丈平面 ABD,DA,C平面ABD,.MN∥平面ABD. 10.(1)解：如图，以C为原 点，CA,CB,CC所在直线分别为 B M x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐 标系，A1(1,0,2),B(0,1,0), C(0,0,0),B(0,1,2),BA1= A (1,-1,2),CB=(0,1,2), 第10题答图 cos(BA,CB)=BM·CB-3 =V30 IBA:IICB I V6.V5 10 (2)证明：A1(1,0,2),B(0,1,0),C1(0,0, 2),M3,3,2,AE-1,1,2,c- (3,7,0,又ABc-0,A,B1CM 提升练习 11.-122或2【解析】向量a=(1,2,),b= 7 (2,2,-1),:ab=2+4-A=6-入，lal=V1+4+2=V5+2, V44I=3.若cosa,b=号，则b=A ab1V5+2×3 专，化简得7A+108A-240,解得A=-1学或A-2,则 实数入的值为-122或2. 7 12.解：(1)由已知可得A(0,0,0),B(1,0,0), C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E为PD的中 点，∴E(0,1,1),∴BE=V(0-1)+(1-0+(1-0=V3. (2)AE=(0,1,1),DC=(1,-1,0), .cos(AE,DC)=AE.DC EiV2xV号 1 E,)e0.m,2.元)= 即异面直线AE与CD所成的角为贺 (3)n⊥平面PCD,n⊥PD,n⊥CD 又=(1，p,9),PD=(0,2,-2),CD=(-1,1,0), nPD=2p-2q=0,nCD=-1+p=0, 解得p=1,q=1,即n=(1,1,1.