1.3 第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

第2课时　空间直角坐标系及空间向量坐标的应用

 

 

思考1　我们如何刻画点在直线上、平面内的位置？

[提示]　在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置．

思考2　如何准确表示空间中的点的位置呢？

[提示]　建立空间直角坐标系，利用三个坐标变量来表示空间中的点的位置．

[知识梳理]

1．空间直角坐标系的建立

在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz．

(1)x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，都称为坐标轴．

(2)通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面．

(3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x

轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．如图1，图2所示．

2．空间一点的坐标

在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标).

[即时练]

1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．

(1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(　　)

(2)空间直角坐标系中，在坐标平面zOx内的点的坐标一定是(a，0，0)的形式．(　　)

(3)点P(－2，0，3)位于zOx平面内．(　　)

(4)空间直角坐标系中，点(2，，3)到坐标平面xOy的距离为3.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．点A(1，2，－1)在坐标平面yOz内的射影的坐标是(　　)

A．(1，0，－1) B．(0，2，－1)

C．(1，2，0) D．(－1，2，0)

解析：选B.点A(1，2，－1)在坐标平面yOz内的射影即由A作平面yOz的垂线，垂足的坐标为(0，2，－1).

3．(对接教材例5)已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝4，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标．

解：由于D为坐标原点，所以D(0，0，0)，

因为AB＝BC＝2，D1D＝4，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，C1(0，2，4)，

因为点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，所以N(2，1，0)，M(1，2，4).

确定点的坐标的常用方法

(1)垂线法：向坐标轴或坐标平面作垂线，注意坐标符号．

(2)公式法：利用中点坐标公式、重心坐标公式等求出坐标．

(3)方程(组)法：利用向量平行或共线相等关系，设出所求点的坐标，建立方程(组)求解．

思考　在平面直角坐标系中，设P(x，y)，则P关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是什么？

[提示]　分别为(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y).

[例1] 在空间直角坐标系中，已知点P(2，3，－1)，

求：(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标；

(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标；

(3)点P关于坐标原点对称的点的坐标．

【解】　(1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′，则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同，而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数．所以，点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2，3，1).