1.3 第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦空间直角坐标系建立、空间点坐标表示、两点间距离公式及空间向量坐标运算应用，通过类比直线、平面点的刻画，搭建从平面到空间的认知支架，系统梳理坐标确定、对称点求解及平行垂直问题的解决方法。 资料以吴文俊名言导入培养数学眼光，通过思考问题引导从平面到空间的数学思维迁移，结合长方体实例强化几何直观，即时练与跟踪训练分层巩固，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达空间关系的能力。

第2课时　空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 新课导入 学习目标 　　我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法．”我们应如何理解吴文俊先生的这段话？ 1.会建立适当的空间直角坐标系，并求点的坐标． 2.掌握空间中两点间的距离公式和中点坐标公式，会利用空间向量的坐标运算解决相关的问题． 思考1　我们如何刻画点在直线上、平面内的位置？ [提示]　在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置． 思考2　如何准确表示空间中的点的位置呢？ [提示]　建立空间直角坐标系，利用三个坐标变量来表示空间中的点的位置． [知识梳理] 1．空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz． (1)x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，都称为坐标轴． (2)通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面． (3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．如图1，图2所示． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标). [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(　　) (2)空间直角坐标系中，在坐标平面zOx内的点的坐标一定是(a，0，0)的形式．(　　) (3)点P(－2，0，3)位于zOx平面内．(　　) (4)空间直角坐标系中，点(2，，3)到坐标平面xOy的距离为3.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．点A(1，2，－1)在坐标平面yOz内的射影的坐标是(　　) A．(1，0，－1) B．(0，2，－1) C．(1，2，0) D．(－1，2，0) 解析：选B.点A(1，2，－1)在坐标平面yOz内的射影即由A作平面yOz的垂线，垂足的坐标为(0，2，－1). 3．(对接教材例5)已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝4，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标． 解：由于D为坐标原点，所以D(0，0，0)， 因为AB＝BC＝2，D1D＝4，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，C1(0，2，4)， 因为点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，所以N(2，1，0)，M(1，2，4). 确定点的坐标的常用方法 (1)垂线法：向坐标轴或坐标平面作垂线，注意坐标符号． (2)公式法：利用中点坐标公式、重心坐标公式等求出坐标． (3)方程(组)法：利用向量平行或共线相等关系，设出所求点的坐标，建立方程(组)求解． 思考　在平面直角坐标系中，设P(x，y)，则P关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是什么？ [提示]　分别为(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y). [例1] 在空间直角坐标系中，已知点P(2，3，－1)， 求：(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点P关于坐标原点对称的点的坐标． 【解】　(1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′，则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同，而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数．所以，点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2，3，1). 同理，点P关于yOz，zOx坐标平面的对称点的坐标分别为(－2，3，－1)，(2，－3，－1). (2)设点P关于x轴的对称点为Q，则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同，而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数．所以，点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，－3，1). 同理，点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为(－2，3，1)，(－2，－3，－1). (3)点P(2，3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3，1). 空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． [跟踪训练1] (1)在空间直角坐标系中，点A(9，8，5)关于y轴对称的点的坐标为(　　) A．(9，8，－5) B．(9，－8，5) C．(－9，8，5) D．(－9，8，－5) 解析：选D.点A(9，8，5)关于y轴对称的点的坐标为(－9，8，－5).故选D. 　(2)在空间直角坐标系Oxyz中，点A(2，－2，2)关于zOx平面的对称点的坐标为________________________________________________． 解析：A(2，－2，2)关于zOx平面的对称点的特征为x，z坐标不变，y取相反数，故所求坐标为(2，2，2). 答案：(2，2，2) 思考　在平面直角坐标系中，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你知道的坐标如何表示吗？类比平面向量，你能推出空间直角坐标系中，已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，的坐标吗？ [提示]　平面直角坐标系中＝(x2－x1，y2－y1)，空间直角坐标系中＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1). [知识梳理] 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)，所以＝－＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，因此，AB＝||＝　__ 这就是空间直角坐标系中两点之间的距离公式．上面的推导过程也说明，空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标． 设线段AB的中点为M(x，y，z)，则＝(x，y，z)，又因为＝(＋)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)＝，所以M的坐标为(，，)．这就是空间直角坐标系中的中点坐标公式． 角度1　解决平行与垂直问题 [例2] (1)(对接教材例6)若＝(1，－1，2)，＝(a－1，－2，b＋3)，A，B，C三点共线，那么a＋b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知点A(1，2，1)，B(3，3，2)，C(1，4，3)，若点D在线段AB上，且满足CD⊥AB，则点D的坐标为________． 【解析】　(1)由于A，B，C三点共线，所以＝(1，－1，2)与＝(a－1，－2，b＋3)共线， 所以＝＝，解得 所以a＋b＝4，故选D. (2)设点D的坐标为(x，y，z)， 则＝(x－1，y－4，z－3)， ＝(2，1，1)，＝(x－1，y－2，z－1)， 因为点D在线段AB上，且满足CD⊥AB， 所以 即 解得 所以点D的坐标为. 【答案】　(1)D　(2) 母题探究　本例(2)中的“若点D在线段AB上，且满足CD⊥AB”变为“点D使四边形ABCD为平行四边形”，则顶点D的坐标为_____________________________________． 解析：设顶点D的坐标为(x，y，z)，因为四边形ABCD为平行四边形， 故＝， 即(x－1，y－2，z－1)＝(－2，1，1)， 则所以 即顶点D的坐标为(－1，3，2). 答案：(－1，3，2) 角度2　求空间两点间的距离 [例3] 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点M是AC与BD的交点．若D1A1＝2，D1C1＝2，D1D＝3，则B1M的长为________. 【解析】　以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，0)，B1(2，2，0)，D(0，0，3)， B(2，2，3)，M(1，1，3)， 所以B1M＝(－1，－1，3)， 所以|B1M|＝＝， 即B1M的长为. 【答案】　 利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算； (4)转化：转化为夹角与距离问题． [跟踪训练2] (1)在空间直角坐标系中，已知点A(2，3，0)，B(－1，2，3)，C(8，x，y)，若A，B，C三点共线，则BC的长为________． 解析：由题意可知，＝(－3，－1，3)，＝(9，x－2，y－3)， 若A，B，C三点共线，则∥， 可得＝＝，解得x＝5，y＝－6， 则＝(9，3，－9)，可得||＝＝3， 所以BC的长为3. 答案：3 (2)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，点H为C1G的中点． ①证明：⊥； ②求||. 解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点， 则有D(0，0，0)，E， F， C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)， G，H. ①证明：＝， ＝(－1，0，－1)， 所以·＝－＋0＋＝0， 所以⊥． ②＝， 所以||＝＝. 1．(多选)(教材P29T12改编)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(－4，3，－6)，则(　　) A．在x轴上的投影向量的坐标为(－4，0，0) B.在y轴上的投影向量的坐标为(0，3，0) C．在z轴上的投影向量的坐标为(0，0，6) D．点A在坐标平面xOy内的射影的坐标为(－4，3，0) 解析：选ABD.在x轴上的投影向量的坐标为(－4，0，0)，在y轴上的投影向量的坐标为(0，3，0)，在z轴上的投影向量的坐标为(0，0，－6)，点A在坐标平面xOy内的射影的坐标为(－4，3，0).故选ABD. 2．(2026·北京期中)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(0，2，－1)，B(1，0，1)，C(－1，4，－3)，则·＝________． 解析：因为点A(0，2，－1)，B(1，0，1)，C(－1，4，－3)， 所以＝(1，－2，2)，＝(－1，2，－2)， 则·＝1×(－1)＋(－2)×2＋2×(－2)＝－9. 答案：－9 3．在空间直角坐标系中，A(1，－2，a)，B(0，3，1)，C(b，－1，2)，若A，B，C三点共线，则ab＝________． 解析：由题得＝(－1，5，1－a)，＝(b，－4，1)，因为A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ， 即(－1，5，1－a)＝λ(b，－4，1)， 所以解得 所以ab＝. 答案： 4．(教材P29 T10改编)已知空间中三点A(2，－1，1)，B(1，1，0)，C(4，－3，3).设a＝，b＝. (1)求|2a－b|； (2)若2ka－b与a＋kb互相垂直，求实数k的值． 解：(1)由题意知，a＝(－1，2，－1)， b＝(2，－2，2)， 于是2a－b＝(－2，4，－2)－(2，－2，2)＝(－4，6，－4)， 所以|2a－b|＝＝2. (2)因为2ka－b＝(－2k，4k，－2k)－(2，－2，2)＝(－2k－2，4k＋2，－2k－2)， a＋kb＝(－1，2，－1)＋(2k，－2k，2k)＝(2k－1，2－2k，2k－1)， 又2ka－b与a＋kb互相垂直， 所以(2ka－b)·(a＋kb)＝0， 即(－2k－2)(2k－1)＋(4k＋2)(2－2k)＋(－2k－2)(2k－1)＝0， 所以k2＝，解得k＝±. 1．已学习：空间直角坐标系的概念、空间点的坐标及空间向量的坐标． 2．须贯通：求空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标，要观察该点在坐标轴的正方向或负方向上距离原点的距离． 3．应注意：混淆空间点的坐标和向量的坐标的概念，只有始点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同． 学科网（北京）股份有限公司 $