1.3 第1课时 空间向量的坐标及运算-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量的坐标表示、坐标运算及平行垂直的坐标关系，通过“直线数轴、平面向量正交基底”到“空间向量坐标”的问题导入，搭建从二维到三维的认知支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于类比平面向量构建知识体系，以思考引导数学抽象（数学眼光），通过即时练、例题培养逻辑推理（数学思维），规范坐标运算公式表达（数学语言）。如辨析向量坐标的即时练、含参数的平行垂直例题，帮助学生循序渐进掌握，教师可直接用于课堂提升教学效率。

1．1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标及运算 新课导入 学习目标 　　在直线上建立数轴后，就可以用一个数刻画点在直线上的位置；平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标．空间向量是否可以引进类似的坐标呢？ 1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2.掌握空间向量的运算与坐标的关系，能利用坐标运算解决问题． 3.掌握空间向量的坐标与空间向量的平行与垂直的关系，并能利用坐标运算解决平行与垂直的问题． 返回导航 内 容 索 引 新知学习探究 1 1 课堂巩固自测 2 新知学习探究 第一部分 5 [提示]　借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量． 返回导航 [知识梳理] 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是_____向量，而且这三个向量__________，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的_______________，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组 __________为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的__________． 单位 两两垂直 单位正交分解 (x，y，z) 坐标分量 返回导航 [即时练] 1．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是(　　) A．若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2，1，3) B．若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1，2) C．若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1，3，－1) D．若s＝－3e2，则s＝(0，0，－3) C 返回导航 解析：A中，p＝(2，－1，3)； B中，q＝(－1，2，0)； C中，r＝(1，3，－1)； D中，s＝(0，－3，0).只有C正确． 返回导航 2．(对接教材例1)已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标． (1)a＝e1－e2＋3e3；(2)b＝－2e1＋3e2＋4e3； (3)c＝e1－e3；(4)d＝－4e2－6e3. 解：由空间中向量的坐标表示的知识可知， (1)a＝(1，－1，3)；(2)b＝(－2，3，4)； (3)c＝(1，0，－1)；(4)d＝(0，－4，－6). 返回导航 (1)在空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直，若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z). (2)只有在单位正交基底下的分解才是空间向量的坐标，其他基底下的分解不是向量的坐标．空间中任一向量的坐标是唯一的． 感悟提升 返回导航 [提示]　假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么 (1)ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)(其中u，v为实数). (2)a·b＝x1x2＋y1y2. 返回导航 思考2　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求两者的夹角？对于空间向量也有类似结论吗？ 返回导航 [知识梳理] 假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么 (1)a＋b＝________________________． (2)ua＋vb＝______________________________ (其中u，v为实数). (3)a·b＝__________________． (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2) x1x2＋y1y2＋z1z2 返回导航 [例1] (对接教材例2)(1)已知向量a＝(1，0，1)，b＝(2，1，3)，则a－2b＝(　　) A．(－3，2，5) B．(－3，2，－5) C．(－3，－2，5) D．(－3，－2，－5) 【解析】　由题得2b＝(4，2，6)，所以a－2b＝(－3，－2，－5)，故选D. D 返回导航 (2)已知a＝(2，－2，0)，b＝(－3，0，3)，则(a＋b)·(a－b)＝________． 【解析】　由a＝(2，－2，0)，b＝(－3，0，3)可得，a＋b＝(－1，－2，3)，a－b＝(5，－2，－3)， 则(a＋b)·(a－b)＝－5＋4－9＝－10. －10 返回导航 (1)空间向量坐标运算的技巧：①若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则、数量积坐标公式进行运算． ②对已知条件中的向量等式由几何关系转化而得到的向量等式，先将其坐标化，然后利用坐标运算列方程或方程组求解有关未知数． (2)数量积坐标运算的技巧：进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2，(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 感悟提升 返回导航 D 返回导航 返回导航 (2)已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则a－b＋2c＝___________． 解析：由题意得，a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋2(3，1，0)＝(9，3，0). (9，3，0) 返回导航 [提示]　a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.对于空间向量也有类似结论． 返回导航 (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔_____________________． x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 返回导航 角度1　求参数 [例2] 已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2). (1)若a∥b，分别求λ与m的值； 返回导航 返回导航 平行与垂直的应用 (1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程． (2)选择坐标形式，以达到简化运算的目的． 感悟提升 返回导航 [跟踪训练2] (1)已知a＝(m，－2，1)，b＝(1，2，2)，若(a－b)⊥b，则m＝(　　) A．4 B．2 C．11 D．3 解析：因为a－b＝(m－1，－4，－1)，(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝(m－1)×1＋(－4)×2＋(－1)×2＝0，解得m＝11. C 返回导航 －30 返回导航 C 返回导航 D 返回导航 利用数量积求两向量夹角的步骤 感悟提升 返回导航 [跟踪训练3] 已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2).求： (1)|a＋b－2c|； 返回导航 (2)cos 〈a－b，b－c〉． 返回导航 课堂巩固自测 第二部分 33 A 返回导航 2．已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a·(2b－c)＝(　　) A．12 B．－12 C．9 D．－9 解析：由题意，2b－c＝2(2，0，3)－(0，0，2)＝(4，0，4)，则a·(2b－c)＝(2，－3，1)·(4，0，4)＝8＋4＝12. A 返回导航 ACD 返回导航 解析：2a＝(2，0，2)，所以2a－b＝(0，1，2)，故A正确； 因为b⊥c，所以b·c＝2－x＋0＝0， 解得x＝2，故C正确； 返回导航 4．若向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，则|2a＋b|＝________． 返回导航 返回导航 课堂小结 1．已学习：空间中向量的坐标、空间向量的运算与坐标的关系、空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直． 2．须贯通：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示的实质一样，只是在平面向量的基础上增加了一个竖坐标． 3．应注意：空间向量的坐标运算法则与平面向量的坐标运算法则的异同． 返回导航 eq \a\vs4\al(知识点一　空间中向量的坐标) 思考　平面向量中，我们是如何引进平面向量的坐标的？ eq \a\vs4\al(知识点二　空间向量的运算与坐标的关系) 思考1　平面上向量的运算与坐标的关系是什么？ [提示]　先求|a|＝2,1) eq \r(x＋y eq \o\al(2,1) ) ，|b|＝2,2) eq \r(x＋y eq \o\al(2,2) ) ，再利用夹角公式cos 〈a，b〉＝2,1) eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y eq \o\al(2,1) )\r(x eq \o\al(2,2) ＋y eq \o\al(2,2) )) ，最后利用三角函数值求出夹角．对于空间向量也有类似结论． (4)|a|＝ eq \r(a·a) ＝____________． 2,1) eq \r(x＋y eq \o\al(2,1) ＋z eq \o\al(2,1) ) 2,1) eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x＋y eq \o\al(2,1) ＋z eq \o\al(2,1) )\r(x eq \o\al(2,2) ＋y eq \o\al(2,2) ＋z eq \o\al(2,2) )) (5)cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝________________________(其中a≠0且b≠0). [跟踪训练1] (1)已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A． eq \f(5π,6) B． eq \f(2π,3) C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,6) 解析：因为a·b＝x＋0＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)， 则有|a|＝ eq \r(1＋1) ＝ eq \r(2) ， |b|＝ eq \r(1＋1＋4) ＝ eq \r(6) ， 所以cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(3,\r(2)×\r(6)) ＝ eq \f(\r(3),2) ， 因为〈a，b〉∈[0，π]， 所以〈a，b〉＝ eq \f(π,6) .故选D. 知识点三　空间向量平行、垂直的坐标表示 思考　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似结论？ [知识梳理] 假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么 (1)a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝λx1，,y2＝λy1，,z2＝λz1.)) 更进一步，当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔______________(其中a≠0)； eq \f(x2,x1) ＝ eq \f(y2,y1) ＝ eq \f(z2,z1) 【解】　因为a∥b， 所以 eq \f(λ＋1,6) ＝ eq \f(1,2m－1) ＝ eq \f(2λ,2) ， 解得λ＝ eq \f(1,5) ，m＝3. (2)若|a|＝ eq \r(5) ，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. 【解】　|a|＝ eq \r(（λ＋1）2＋12＋（2λ）2) ＝ eq \r(5λ2＋2λ＋2) ＝ eq \r(5) ， 解得λ＝－1或λ＝ eq \f(3,5) .① 又因为a⊥c，所以a·c＝0， 即(λ＋1)×2＋1×(－2λ)＋2λ·(－λ)＝0， 解得λ＝±1.② 由①②得，λ＝－1.故a＝(0，1，－2). (2)已知 eq \o(AP,\s\up17(→)) ＝(－2，a－2，b＋1)(a，b∈R)， eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝(1，－2，2)，点P(－1，a，b)在直线AB上运动，则ab＝________． 解析：因为点P在直线AB上运动，则存在实数λ，使得 eq \o(AP,\s\up17(→)) ＝λ eq \o(AB,\s\up17(→)) ， 即(－2，a－2，b＋1)＝λ(1，－2，2)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＝λ，,a－2＝－2λ，,b＋1＝2λ，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,a＝6，,b＝－5，)) 所以ab＝－30. 角度2　求模与夹角 [例3] (1)已知a，b均为单位向量，它们的夹角为 eq \f(π,3) ，那么|a＋3b|＝(　　) A． eq \r(7) B． eq \r(10) C． eq \r(13) D．4 【解析】　因为a，b均为单位向量，它们的夹角为 eq \f(π,3) ，所以|a＋3b|2＝a2＋9b2＋6a·b＝1＋9＋6×1×1×cos eq \f(π,3) ＝13，所以|a＋3b|＝ eq \r(13) . (2)设向量a＝(－1，－1，1)，b＝(－1，0，1)，则cos 〈a，b〉＝(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(6),3) 【解析】　因为向量a＝(－1，－1，1)，b＝(－1，0，1)，所以a·b＝1＋0＋1＝2，|a|＝ eq \r(1＋1＋1) ＝ eq \r(3) ，|b|＝ eq \r(1＋0＋1) ＝ eq \r(2) ， 所以cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(2,\r(3)×\r(2)) ＝ eq \f(\r(6),3) . 解：a＋b－2c＝(2，－3，1)＋(2，0，3)－2(0，2，2)＝(2，－3，1)＋(2，0，3)－(0，4，4)＝(4，－7，0). 所以|a＋b－2c|＝ eq \r(42＋（－7）2＋02) ＝ eq \r(65) . 解：a－b＝(0，－3，－2)，b－c＝(2，－2，1)， 所以|a－b|＝ eq \r(13) ，|b－c|＝ eq \r(9) ＝3， (a－b)·(b－c)＝0＋(－3)×(－2)＋(－2)×1＝4. 所以cos 〈a－b，b－c〉＝ eq \f(（a－b）·（b－c）,|a－b||b－c|) ＝ eq \f(4,\r(13)×3) ＝ eq \f(4\r(13),39) . 1．(教材P26练习AT1改编)已知{i，j，k}是单位正交基底，且 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝－i＋j－k，则 eq \o(AB,\s\up17(→)) 的坐标为(　　) A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．(1，－1，1) 解析：根据空间向量坐标的定义，知 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝(－1，1，－1).故选A. 3．(多选)已知a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，0)，c＝(1，x，y)，则(　　) A．2a－b＝(0，1，2) B．|a－b|＝3 C．若b⊥c，则x＝2 D．若b∥c，则x＝－ eq \f(1,2) ，y＝0 a－b＝(－1，1，1)，所以|a－b|＝ eq \r(1＋1＋1) ＝ eq \r(3) ，故B错误； 因为b∥c，所以(2，－1，0)＝λ(1，x，y)，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,－1＝λx，,0＝λy，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,x＝－\f(1,2)，,y＝0，)) 故D正确． 故选ACD. 解析：由题意知，2a＋b＝(4，－1，1).故|2a＋b|＝ eq \r(42＋（－1）2＋12) ＝ eq \r(18) ＝3 eq \r(2) . 3 eq \r(2) 5．(教材P26练习BT4改编)已知向量a＝( eq \r(3) ，0，1)，b＝(k，2，0)，若a与b的夹角为 eq \f(2π,3) ，则k的值为________． 解析：|a|＝2，|b|＝ eq \r(k2＋4) ，所以cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(\r(3)k,2·\r(k2＋4)) ＝－ eq \f(1,2) ，可知k＜0，解得k＝－ eq \r(2) . － eq \r(2) $