1.3 第2课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

**基本信息** 本同步练习聚焦空间直角坐标系，通过基础、中档、拔高三层设计，实现从单一概念到复杂应用的知识进阶，适配新授课“基础巩固+能力提升”需求，培养空间观念、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|点的对称、中点坐标、向量坐标等单一概念|单选/填空直接应用（如第1题点关于y轴对称）| |中档|对称判断、垂直共线、体积计算等知识综合|多选/中档解答综合考查（如第6题多对称点判断）| |拔高|面积体积、动态距离、线性相关等复杂应用|解答题与动态问题深化思维（如第15题距离最小值）|

1．在空间直角坐标系中，点(1，2，－3)关于y轴对称的点的坐标为(　　) A．(－1，2，3) B．(－1，－2，－3) C．(－1，2，－3) D．(1，－2，－3) 解析：选A.在空间直角坐标系中，点(1，2，－3)关于y轴对称的点的坐标为(－1，2，3).故选A. 2．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则DC1的中点坐标为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由题意得，C1(1，1，1)，D(0，1，0)，则根据中点坐标公式得DC1的中点坐标为.故选D. 3．在空间直角坐标系中，已知点A(0，1，2)，B(1，－2，－1)，＝2，则点P的坐标是(　　) A．(2，－6，－6) B．(2，－5，－4) C．(2，－7，－8) D．(3，－8，－7) 解析：选B.设P(x，y，z)， 因为＝2， 所以(x，y－1，z－2)＝2(1，－3，－3)，得 所以P(2，－5，－4). 4．(2026·北京月考)在空间直角坐标系中，已知点A(2，3，5)，B(1，1，2)，C(0，a，－1)，若AB⊥BC，则a的值为(　　) A．－4 B．－1 C．5 D．6 解析：选D.因为点A(2，3，5)，B(1，1，2)，C(0，a，－1)，则＝(1，2，3)，＝(－1，a－1，－3)， 若AB⊥BC，则·＝－1＋2(a－1)－9＝2a－12＝0，解得a＝6. 5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由题意知，B(1，1，0)，E，则＝. 6．(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则下列结论正确的是(　　) A．点A关于直线DD1对称的点为(－4，0，0) B．点C1关于点B对称的点为(8，5，－3) C．点B1的坐标为(3，5，4) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 解析：选ABD.由题图可得A(4，0，0)，则点A关于直线DD1对称的点为(－4，0，0)，故A正确；由于C1(0，5，3)，B(4，5，0)，所以点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，故B正确；点B1的坐标为(4，5，3)，故C不正确；由于点C(0，5，0)，则点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，故D正确．故选ABD. 7．(2026·孝感月考)在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上一点M到点P(－1，2，3)和Q(4，3，－)的距离相等，则点M的坐标为________． 解析：设M(0，a，0)，因为MP＝MQ，所以＝， 解得a＝，故点M的坐标为. 答案： 8．已知点P是点M(5，4，3)在坐标平面yOz内的射影，则||＝________． 解析：由题意得，P(0，4，3)，故||＝＝5. 答案：5 9．已知空间三点O(0，0，0)，A(1，－1，0)，B(0，－1，1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为________． 解析：设H(x，y，z)，则＝(1，－1，0)，＝(x，y，z)，＝(x，y＋1，z－1). 由BH⊥OA可得·＝0，即x－y－1＝0， 因为O，A，H共线，故存在实数λ使得＝λ，即(x，y，z)＝λ(1，－1，0)， 所以解得 所以点H的坐标为(，－，0). 答案：(，－，0) 10．(13分)已知空间三点A(－1，1，2)，B(－3，0，5)，C(0，－2，4). (1)求△ABC的面积；(6分) (2)若向量∥，且||＝2，求点D的坐标．(7分) 解：(1)设向量，的夹角为θ，由空间三点A(－1，1，2)，B(－3，0，5)，C(0，－2，4)， 可得＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，||＝＝， ||＝＝， 可得cos θ＝＝ ＝， 因为0≤θ≤π，所以θ＝， 所以S△ABC＝||·||·sin θ＝×××＝. (2)因为∥， 所以＝λ，其中λ∈R， 因为＝(－2，－1，3)，||＝，||＝2，可得|λ|＝2， 所以＝±2， 于是＝(－4，－2，6)或＝(4，2，－6)， 即点D的坐标为(－4，－4，10)或(4，0，－2)． 11．(多选)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知△ABC的边长为2，三棱柱的高为1，BC，B1C1的中点分别为D，D1，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是(　　) A．A1(0，，1) B．C1(1，0，1) C．＝(0，－，1) D．＝(，，－1) 解析：选ABC.在等边三角形ABC中，AB＝2，BD＝DC＝1，所以AD＝，则A(0，，0)，A1(0，，1)，C1(1，0，1)，D1(0，0，1)，B1(－1，0，1)，则＝(0，－，1)，＝(1，，－1).故选ABC. 12．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2，2，0)，B(2，1，－3)，C(0，2，0)，则三棱锥O­ABC的体积为________． 解析：由题意得＝(0，2，0)，＝(－2，0，0)，所以·＝0，即OC⊥AC， 所以△OCA的面积为||||＝2， 点O，A，C都在平面xOy上，点B(2，1，－3)到平面xOy的距离为3， 所以三棱锥O­ABC的体积为×2×3＝2. 答案：2 13．(15分)在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于点N，BC1与B1C交于点M，且AM⊥BN. (1)用向量方法求AA1的长；(5分) (2)对于n个向量a1，a2，…，an，如果存在不全为零的n个实数λ1，λ2，…，λn，使得λ1a1＋λ2a2＋…＋λnan＝0，则称n个向量a1，a2，…，an线性相关，否则称为线性无关．试判断，，是否线性相关．(10分) 解： (1)设AA1长为t，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(4，0，0)，B(4，4，0)，M(2，4，t)，N(2，2，t)，＝(－2，4，t)，＝(－2，－2，t)， 由⊥，故·＝－2×(－2)＋4×(－2)＋t2＝0， 解得t＝2(负值已舍去)，即AA1的长为2. (2)由t＝2，故＝(－2，4，)，＝(－2，－2，2)，＝(0，－4，0)， 假设存在实数λ1，λ2，λ3，使得λ1＋λ2＋λ3＝0成立，则有解得即当且仅当λ1＝λ2＝λ3＝0时，λ1＋λ2＋λ3＝0， 所以，，线性无关． 14．(15分)棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF；(4分) (2)求〈，〉的余弦值；(5分) (3)求CE的长．(6分) 解： 建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(0，0，1)，F(1，1，0)，G(2，2，1)，C(0，2，0). (1)证明：＝(1，1，－1)，＝(1，－1，0)，则·＝1×1＋1×(－1)＋(－1)×0＝0， 因此⊥，所以EF⊥CF. (2)＝(2，0，1)，而＝(1，1，－1)， 则cos 〈，〉＝＝＝. (3)＝(0，－2，1)，则||＝＝，所以CE的长为. 15．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，点P满足||＝1，点Q满足＝λ＋(1－λ)·AA1，则|－|的最小值为________． 解析： 如图建立空间直角坐标系，则由题意可得A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，4，0)，A1(0，0，4)， 则＝λ＋(1－λ)AA1＝λ(4，4，0)＋(1－λ)(0，0，4)＝(4λ，4λ，4－4λ)， 则Q(4λ，4λ，4－4λ).由||＝1可知，动点P的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 因为|－|＝||，所以|－|的最小值为Q到球心B的最小距离减去半径1， 而||＝＝＝， 则当λ＝时，||取到最小值，最小值为，故|－|的最小值为－1. 答案：－1 学科网（北京）股份有限公司 $