1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 聚焦空间直角坐标系及向量坐标应用，以基础概念→综合运算→创新应用为路径，分层设计梯度清晰，适配新授课知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|空间点坐标（对称、中点、平行四边形）|直接应用坐标公式，如第1题对称点、第4题中点距离，强化空间观念| |中档|距离计算、向量垂直与投影|综合2-3个知识点，如第5题三角形形状判断、第7题向量投影，提升运算能力| |提升|立体几何综合、斜坐标系创新|结合空间模型（正方体、四棱锥）与新定义，如第14题垂直证明、第15题斜坐标系，发展推理能力与创新意识|

第2课时　空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 1.在空间直角坐标系Oxyz中,设点B是点A(2,3,4)关于xOy平面的对称点,则||=(　 ) A.8 B.2 C.29 D. 2.[2025·长沙高二期末] 在平行四边形ABCD中,A(1,-2,3),B(-4,5,6),C(0,1,2),则点D的坐标为 (　 ) A.(5,-6,-1) B.(-5,8,5) C.(-5,6,1) D.(5,-8,-5) 3.如图,圆锥的底面直径AB=4,高OC=2,D为底面圆周上的一点,且∠AOD=,则点D的坐标为 (　 ) A.(-,1,0) B.(,1,0) C.(,-1,0) D.(-,-1,0) 4.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,1,0),B(2,-1,1),则线段AB的中点到点O的距离为(　 ) A. B. C. D. 5.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是 (　 ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 6.已知空间中三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,2,1),在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为 (　 ) A.(-1,1,0) B.(-1,0,0) C.(-1,-1,1) D.(1,1,0) 7.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,E,F分别为PB,PD的中点,则 (　 ) A.在上的投影为 B.在上的投影为 C.在上的投影为- D.在上的投影为- 8.光源P(3,2,1)经过yOz平面反射后经过Q(1,6,5),则反射点R的坐标为　　　　.  9.如图,在棱长为2的正方体OBCD-O1B1C1D1中,以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则向量与的夹角为　　　　.  10.(13分)[2026·安徽阜阳高二期中] 如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E1是棱A1B1上靠近点A1的四等分点,F1在棱C1D1上,且D1F1=3F1C1. (1)求向量,的坐标; (2)求在上的投影的坐标. 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, M,N分别是面对角线AC,C1D上的点,且⊥,⊥,则MN的长为 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)在菱形纸片ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,O是菱形ABCD的中心,AB=2,∠ABC=,将菱形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使平面ACD⊥平面ABC,以O为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则 (　 ) A.E B.F C.= D.cos∠EOF=- 13.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2,E为PB的中点,CD⊥BC,则CE的长度为　　　　.  14.(15分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,△PBC为等腰直角三角形,且∠CPB=90°,四边形ABCD为直角梯形,满足AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2AD=4,PD=2. (1)求证:CD⊥PB; (2)若点E为PB的中点,点F为CD的中点,点M为棱AB上一点,当⊥时,求的值. 15.(17分)[2026·湖北宜荆高二期中] 空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系,定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标:i,j,k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴,y轴,z轴)正方向上的单位向量,若向量n=xi+yj+zk,则n与有序实数组[x,y,z]一一对应,称向量n的斜60°坐标为[x,y,z],记作n=[x,y,z]. (1)若a=[1,2,3],b=[-1,1,2],求a+b的斜60°坐标. (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,建立“空间斜60°坐标系”如图所示. ①若=,求向量的斜60°坐标; ②若=[3,t,0],且⊥,求||. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 1.A　[解析] 因为点B是点A(2,3,4)关于xOy平面的对称点,所以点B(2,3,-4),所以=(0,0,-8),所以||=8.故选A. 2.A　[解析] 设D(x,y,z),则=(-5,7,3),=(-x,1-y,2-z).因为=,所以解得即D(5,-6,-1).故选A. 3.B　[解析] 易知点D在xOy平面上,设D(x,y,0).因为∠AOD=,所以∠BOD=,则x=OD·sin 60°=,y=OD·cos 60°=1,所以点D的坐标为(,1,0),故选B. 4.A　[解析] 易知线段AB的中点为M,则点M到点O的距离为=.故选A. 5.C　 [解析] 根据题意得=(3,4,-8),=(5,1,-7),=(2,-3,1),所以||==,||==,||==.因为||2+||2=75+14=89=||2,所以△ABC为直角三角形.故选C. 6.A　[解析] 由已知得=(-1,1,0),∵点H在直线OA上,∴可设H(-λ,λ,0),则=(-λ,λ-2,-1),又BH⊥OA,∴·=0,即(-λ,λ-2,-1)·(-1,1,0)=0,即λ+λ-2=0,解得λ=1,∴点H的坐标为(-1,1,0).故选A. 7.ACD　[解析] 因为PA⊥平面ABCD,AD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥AB,又底面ABCD为矩形,所以AD⊥AB,故以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=a,AD=b,AP=c,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,b,0),E,F.因为=,=(0,b,0),所以在上的投影为||cos<,>·=·=·=,故A正确;因为=,所以在上的投影为||cos<,>·=·=·=,故B不正确;因为=,=(a,0,0),所以在上的投影为||cos<,>·=·=·=-,故C正确;因为=,所以在上的投影为||cos<,>·=·=·=-,故D正确.故选ACD. 8.(0,5,4)　[解析] 设点P(3,2,1)关于yOz平面的对称点为P',则P'(-3,2,1),则点R为P'Q与yOz平面的交点.设R(0,m,n),则=λ,又=(3,m-2,n-1),=(4,4,4),所以解得所以R(0,5,4). 9.　[解析] 因为正方体的棱长为2,所以O(0,0,0),B(0,2,0),C1(2,2,2),所以=(0,2,0), =(2,0,2),所以·=0×2+2×0+0×2=0,则⊥,所以向量与的夹角为. 10.解:(1)由题意可得B(1,1,0),E1,D(0,0,0),F1,所以=,=. (2)由(1)可知=,=, 所以||==,·=0×0+×+1×1=, 所以在上的投影的坐标为·===. 11.C　[解析] 以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),∴=(1,1,0),=(-1,0,-1).设M(a,a,0),N(b,1,b),则=(b-a,1-a,b),∵⊥,⊥,∴解得∴=,∴||==.故选C. 12.ACD　[解析] 由题意可知,AC=2,OB=OD=1,所以O(0,0,0),A(0,-,0),C(0,,0),B(1,0,0),D(0,0,1),E,F,所以=,=,=,所以cos∠EOF=cos<,>==-,故A,C,D正确,B错误.故选ACD. 13.　 [解析] 连接AC,因为PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PA⊥AC,又PA=AD=CD=2,PC=2,所以AC===2,所以AC2=AD2+CD2,即AD⊥DC,又CD⊥BC,所以BC∥AD,过点C作直线l∥AP,则l⊥平面ABCD,故以C为坐标原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),P(-2,-2,2),B(0,-3,0),又E为PB的中点,所以E,所以CE==. 14.解:(1)证明:因为△PBC为等腰直角三角形,∠CPB=90°,BC=CD=4,所以PC=PB=2,又PD2=(2)2=24,PC2+CD2=(2)2+42=24,所以DC⊥PC, 因为CD⊥AD,AD∥BC,所以CD⊥BC, 因为PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,所以CD⊥平面PBC,又PB⊂平面PBC,所以CD⊥PB. (2)如图,以点C为坐标原点建立空间直角坐标系, 则A(,,4),B(2,2,0),E(2,,0),F(0,0,2),所以=(,,-4),=(-2,-2,2). 设=t(0≤t≤1),则=(t,t,-4t),所以M(+t,+t,4-4t), 所以=(t-,t,4-4t), 因为⊥,所以·=0,所以-2×(t-)-2×t+8-8t=0,解得t=,所以=. 15.解:(1)∵a=[1,2,3],b=[-1,1,2], ∴a+b=(i+2j+3k)+(-i+j+2k)=3j+5k=[0,3,5],∴a+b的斜60°坐标为[0,3,5]. (2)设i,j,k分别为与,,同方向的单位向量, 则=2i,=2j,=3k. ①=-=(+)-=-++=-2i+2j+k=. ②由题得=++=2i+2j+3k. 由=[3,t,0],知=3i+tj. ∵⊥,∴·=(2i+2j+3k)·(3i+tj)=0, ∴6i2+2tj2+(6+2t)i·j+9k·i+3tk·j=0, ∴6+2t+(6+2t)×++=0,解得t=-3, 则||=|3i-3j|==3. 学科网（北京）股份有限公司 $