1.3 第1课时 空间向量的坐标及运算-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“空间向量的坐标及运算”核心知识点，通过类比直线、平面向量的坐标表示，引导学生从单位正交基底切入，系统学习空间向量的坐标表示、坐标运算（加减、数乘、数量积）及平行与垂直的坐标关系，构建从低维到高维的知识迁移支架。 该资料以问题链驱动学习，新课导入通过“平面向量坐标如何建立”引导学生用数学眼光发现空间与平面的联系，例题与跟踪训练结合参数求解、模与夹角计算，培养学生逻辑推理的数学思维，规范的坐标运算表达助力数学语言应用。课中辅助教师搭建知识脉络，课后通过即时练和综合题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

1．1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标及运算 新课导入 学习目标 　　在直线上建立数轴后，就可以用一个数刻画点在直线上的位置；平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标．空间向量是否可以引进类似的坐标呢？ 1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2.掌握空间向量的运算与坐标的关系，能利用坐标运算解决问题． 3.掌握空间向量的坐标与空间向量的平行与垂直的关系，并能利用坐标运算解决平行与垂直的问题． 思考　平面向量中，我们是如何引进平面向量的坐标的？ [提示]　借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量． [知识梳理] 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组 (x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量． [即时练] 1．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是(　　) A．若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2，1，3) B．若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1，2) C．若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1，3，－1) D．若s＝－3e2，则s＝(0，0，－3) 解析：选C.A中，p＝(2，－1，3)；B中，q＝(－1，2，0)；C中，r＝(1，3，－1)；D中，s＝(0，－3，0).只有C正确． 2．(对接教材例1)已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标． (1)a＝e1－e2＋3e3；(2)b＝－2e1＋3e2＋4e3； (3)c＝e1－e3；(4)d＝－4e2－6e3. 解：由空间中向量的坐标表示的知识可知， (1)a＝(1，－1，3)；(2)b＝(－2，3，4)； (3)c＝(1，0，－1)；(4)d＝(0，－4，－6). (1)在空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直，若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z). (2)只有在单位正交基底下的分解才是空间向量的坐标，其他基底下的分解不是向量的坐标．空间中任一向量的坐标是唯一的． 思考1　平面上向量的运算与坐标的关系是什么？ [提示]　假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么 (1)ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)(其中u，v为实数). (2)a·b＝x1x2＋y1y2. 思考2　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求两者的夹角？对于空间向量也有类似结论吗？ [提示]　先求|a|＝，|b|＝，再利用夹角公式cos 〈a，b〉＝，最后利用三角函数值求出夹角．对于空间向量也有类似结论． [知识梳理] 假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么 (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)． (2)ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)(其中u，v为实数). (3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2． (4)|a|＝＝__． (5)cos 〈a，b〉＝＝ (其中a≠0且b≠0). [例1] (对接教材例2)(1)已知向量a＝(1，0，1)，b＝(2，1，3)，则a－2b＝(　　) A．(－3，2，5) B．(－3，2，－5) C．(－3，－2，5) D．(－3，－2，－5) (2)已知a＝(2，－2，0)，b＝(－3，0，3)，则(a＋b)·(a－b)＝________． 【解析】　(1)由题得2b＝(4，2，6)，所以a－2b＝(－3，－2，－5)，故选D. (2)由a＝(2，－2，0)，b＝(－3，0，3)可得，a＋b＝(－1，－2，3)，a－b＝(5，－2，－3)， 则(a＋b)·(a－b)＝－5＋4－9＝－10. 【答案】　(1)D　(2)－10 (1)空间向量坐标运算的技巧：①若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则、数量积坐标公式进行运算． ②对已知条件中的向量等式由几何关系转化而得到的向量等式，先将其坐标化，然后利用坐标运算列方程或方程组求解有关未知数． (2)数量积坐标运算的技巧：进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2，(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. [跟踪训练1] (1)已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为a·b＝x＋0＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)， 则有|a|＝＝， |b|＝＝， 所以cos 〈a，b〉＝＝＝， 因为〈a，b〉∈[0，π]， 所以〈a，b〉＝.故选D. 　(2)已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则a－b＋2c＝________． 解析：由题意得，a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋2(3，1，0)＝(9，3，0). 答案：(9，3，0) 知识点三　空间向量平行、垂直的坐标表示 思考　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似结论？ [提示]　a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.对于空间向量也有类似结论． [知识梳理] 假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么 (1)a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔更进一步，当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔＝＝(其中a≠0)； (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 角度1　求参数 [例2] 已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2). (1)若a∥b，分别求λ与m的值； (2)若|a|＝，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. 【解】　(1)因为a∥b， 所以＝＝， 解得λ＝，m＝3. (2)|a|＝＝ ＝， 解得λ＝－1或λ＝.① 又因为a⊥c，所以a·c＝0， 即(λ＋1)×2＋1×(－2λ)＋2λ·(－λ)＝0， 解得λ＝±1.② 由①②得，λ＝－1.故a＝(0，1，－2). 平行与垂直的应用 (1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程． (2)选择坐标形式，以达到简化运算的目的． [跟踪训练2] (1)已知a＝(m，－2，1)，b＝(1，2，2)，若(a－b)⊥b，则m＝(　　) A．4 B．2 C．11 D．3 解析：选C.因为a－b＝(m－1，－4，－1)，(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝(m－1)×1＋(－4)×2＋(－1)×2＝0，解得m＝11. (2)已知＝(－2，a－2，b＋1)(a，b∈R)，＝(1，－2，2)，点P(－1，a，b)在直线AB上运动，则ab＝________． 解析：因为点P在直线AB上运动，则存在实数λ，使得＝λ， 即(－2，a－2，b＋1)＝λ(1，－2，2)， 则解得 所以ab＝－30. 答案：－30 角度2　求模与夹角 [例3] (1)已知a，b均为单位向量，它们的夹角为，那么|a＋3b|＝(　　) A． B． C． D．4 (2)设向量a＝(－1，－1，1)，b＝(－1，0，1)，则cos 〈a，b〉＝(　　) A． B． C． D． 【解析】　(1)因为a，b均为单位向量，它们的夹角为，所以|a＋3b|2＝a2＋9b2＋6a·b＝1＋9＋6×1×1×cos ＝13，所以|a＋3b|＝. (2)因为向量a＝(－1，－1，1)，b＝(－1，0，1)，所以a·b＝1＋0＋1＝2，|a|＝＝，|b|＝＝， 所以cos 〈a，b〉＝＝＝. 【答案】　(1)C (2)D 利用数量积求两向量夹角的步骤 [跟踪训练3] 已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2).求： (1)|a＋b－2c|； (2)cos 〈a－b，b－c〉． 解：(1)a＋b－2c＝(2，－3，1)＋(2，0，3)－2(0，2，2)＝(2，－3，1)＋(2，0，3)－(0，4，4)＝(4，－7，0). 所以|a＋b－2c|＝＝. (2)a－b＝(0，－3，－2)，b－c＝(2，－2，1)， 所以|a－b|＝，|b－c|＝＝3， (a－b)·(b－c)＝0＋(－3)×(－2)＋(－2)×1＝4. 所以cos 〈a－b，b－c〉＝ ＝＝. 1．(教材P26练习AT1改编)已知{i，j，k}是单位正交基底，且＝－i＋j－k，则的坐标为(　　) A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．(1，－1，1) 解析：选A.根据空间向量坐标的定义，知＝(－1，1，－1).故选A. 2．已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a·(2b－c)＝(　　) A．12 B．－12 C．9 D．－9 解析：选A.由题意，2b－c＝2(2，0，3)－(0，0，2)＝(4，0，4)，则a·(2b－c)＝(2，－3，1)·(4，0，4)＝8＋4＝12. 3．(多选)已知a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，0)，c＝(1，x，y)，则(　　) A．2a－b＝(0，1，2) B．|a－b|＝3 C．若b⊥c，则x＝2 D．若b∥c，则x＝－，y＝0 解析：选ACD.2a＝(2，0，2)，所以2a－b＝(0，1，2)，故A正确； a－b＝(－1，1，1)，所以|a－b|＝＝，故B错误； 因为b⊥c，所以b·c＝2－x＋0＝0， 解得x＝2，故C正确； 因为b∥c，所以(2，－1，0)＝λ(1，x，y)，即解得故D正确． 故选ACD. 4．若向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，则|2a＋b|＝________． 解析：由题意知，2a＋b＝(4，－1，1).故|2a＋b|＝＝＝3. 答案：3 5．(教材P26练习BT4改编)已知向量a＝(，0，1)，b＝(k，2，0)，若a与b的夹角为，则k的值为________． 解析：|a|＝2，|b|＝，所以cos 〈a，b〉＝＝＝－，可知k＜0，解得k＝－. 答案：－ 1．已学习：空间中向量的坐标、空间向量的运算与坐标的关系、空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直． 2．须贯通：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示的实质一样，只是在平面向量的基础上增加了一个竖坐标． 3．应注意：空间向量的坐标运算法则与平面向量的坐标运算法则的异同． 学科网（北京）股份有限公司 $