1.3 第1课时 空间向量的坐标及运算-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

1．1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系

第1课时　空间向量的坐标及运算

 

 

 

思考　平面向量中，我们是如何引进平面向量的坐标的？

[提示]　借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量．

[知识梳理]

一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组 (x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量．

[即时练]

1．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是(　　)

A．若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2，1，3)

B．若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1，2)

C．若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1，3，－1)

D．若s＝－3e2，则s＝(0，0，－3)

解析：选C.A中，p＝(2，－1，3)；B中，q＝(－1，2，0)；C中，r＝(1，3，－1)；D中，s＝(0，－3，0).只有C正确．

2．(对接教材例1)已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标．

(1)a＝e1－e2＋3e3；(2)b＝－2e1＋3e2＋4e3；

(3)c＝e1－e3；(4)d＝－4e2－6e3.

解：由空间中向量的坐标表示的知识可知，

(1)a＝(1，－1，3)；(2)b＝(－2，3，4)；

(3)c＝(1，0，－1)；(4)d＝(0，－4，－6).

(1)在空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直，若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z).

(2)只有在单位正交基底下的分解才是空间向量的坐标，其他基底下的分解不是向量的坐标．空间中任一向量的坐标是唯一的．

思考1　平面上向量的运算与坐标的关系是什么？

[提示]　假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么

(1)ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)(其中u，v为实数).

(2)a·b＝x1x2＋y1y2.

思考2　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求两者的夹角？对于空间向量也有类似结论吗？

[提示]　先求|a|＝，|b|＝，再利用夹角公式cos 〈a，b〉＝，最后利用三角函数值求出夹角．对于空间向量也有类似结论．

[知识梳理]

假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么

(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)．

(2)ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)(其中u，v为实数).

(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．

(4)|a|＝＝__．

(5)cos 〈a，b〉＝＝

(其中a≠0且b≠0).

[例1] (对接教材例2)(1)已知向量a＝(1，0，1)，b＝(2，1，3)，则a－2b＝(　　)

A．(－3，2，5)     B．(－3，2，－5)

C．(－3，－2，5)     D．(－3，－2，－5)

(2)已知a＝(2，－2，0)，b＝(－3，0，3)，则(a＋b)·(a－b)＝________．

【解析】　(1)由题得2b＝(4，2，6)，所以a－2b＝(－3，－2，－5)，故选D.

(2)由a＝(2，－2，0)，b＝(－3，0，3)可得，a＋b＝(－1，－2，3)，a－b＝(5，－2，－3)，

则(a＋b)·(a－b)＝－5＋4－9＝－10.

【答案】　(1)D　(2)－10

(1)空间向量坐标运算的技巧：①若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则、数量积坐标公式进行运算．

②对已知条件中的向量等式由几何关系转化而得到的向量等式，先将其坐标化，然后利用坐标运算列方程或方程组求解有关未知数．

(2)数量积坐标运算的技巧：进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2，(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.

[跟踪训练1] (1)已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)