1.3 第1课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

**基本信息** 本同步练聚焦空间向量，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，实现从概念理解到运算能力再到创新思维的递进，适配新授课知识内化与能力培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|坐标定义、线性运算、数量积|直接考查单位向量坐标（第1题）、向量加减数乘（第2题），夯实概念理解| |中档层|夹角、共面、投影、模长|通过多选（第6题）综合考查垂直/平行判定，结合参数方程（第4题）提升推理能力| |拔高层|综合运算、新定义应用|解答题（第10、14题）融合模长与夹角计算，新定义向量函数（第15题）培养创新意识|

1．已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　　) A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．(－1，－1，－1) 解析：选A.由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1). 2．(2026·西安月考)已知向量a＝(－2，1，0)，b＝(0，1，2)，则2a－b＝(　　) A．(－4，1，－2) B．(4，－1，2) C．(－2，0，－2) D．(－2，2，2) 解析：选A.向量a＝(－2，1，0)，b＝(0，1，2)，则2a－b＝2(－2，1，0)－(0，1，2)＝(－4，1，－2). 3．已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为(　　) A．0 B． C． D．π 解析：选C.由题意知，a·b＝0×(－1)＋2×1＋1×(－2)＝0，所以a⊥b，所以a与b的夹角为.故选C. 4．在空间中，若向量a＝(1，－1，－2)，b＝(1，2，3)，c＝(3，3，m)共面，则m＝(　　) A．4 B．2 C．－3 D．－6 解析：选A.由向量a，b，c共面，有c＝xa＋yb，即(3，3，m)＝x(1，－1，－2)＋y(1，2，3)， 故解得 5．若空间向量a＝(－2，1，1)，b＝(1，0，1)，则向量a在向量b上的投影的坐标是(　　) A．(，0，) B．(－，0，－) C．(－，0，－) D．(，0，) 解析：选C.由于空间向量a＝(－2，1，1)，b＝(1，0，1)，则向量a在向量b上的投影为＝＝－(1，0，1)＝(－，0，－). 6．(多选)已知空间向量m＝(2，－1，3)，n＝(－4，2，x)，则下列选项中正确的是(　　) A．当m⊥n时，x＝2 B．当m∥n时，x＝－6 C．当x＝－4时，|m＋n|＝ D．当x＝1时，cos 〈m，n〉＝ 解析：选BC.对于A，由m⊥n，得2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得x＝，A错误； 对于B，由m∥n得，存在实数λ，使得n＝λm， 则(－4，2，x)＝(2λ，－λ，3λ)， 即解得B正确； 对于C，当x＝－4时，n＝(－4，2，－4)，m＋n＝(－2，1，－1)，|m＋n|＝＝，C正确； 对于D，当x＝1时，n＝(－4，2，1)，m＝(2，－1，3)，cos 〈m，n〉＝＝＝－，D错误． 7．若a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则(2a－3b)·(a＋2b)＝________． 解析：由题意知，2a－3b＝(－10，5，－14)，a＋2b＝(16，－8，0)，所以(2a－3b)·(a＋2b)＝(－10)×16＋5×(－8)＋(－14)×0＝－200. 答案：－200 8．已知空间向量a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2).若a＋b与b垂直，则|a|＝________． 解析：由题意知，a＋b＝(－1，n＋1，4). 因为a＋b与b垂直，所以(a＋b)·b＝0， 所以2＋n＋1＋8＝0，解得n＝－11， 所以a＝(1，－11，2)， 所以|a|＝＝3. 答案：3 9．已知空间向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，c＝(1，，2)且ka＋b与c互相平行，则实数k的值为________． 解析：由条件可知ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)， 因为ka＋b与c互相平行，所以存在λ∈R，使得ka＋b＝λc， 所以解得 答案：2 10．(13分)已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b. (1)求|a＋b|；(6分) (2)求a与a＋b夹角的余弦值．(7分) 解：(1)根据题意可得a·b＝0， 即2×(－4)＋(－1)×2＋2x＝0， 解得x＝5， 所以a＋b＝(2，－1，2)＋(－4，2，5)＝(－2，1，7)， 因此|a＋b|＝＝＝3. (2)由题意及(1)知a·(a＋b)＝－4－1＋14＝9，且|a|＝3， 所以cos 〈a，a＋b〉＝＝＝， 即a与a＋b夹角的余弦值为. 11．(2026·成都期中)已知向量a＝(－2，2，1)，b＝(1，1，0)，则b－a在a上的投影为(　　) A．a B．3a C．－a D．－3a 解析：选C.b－a＝(3，－1，－1)， (b－a)·a＝3×(－2)＋(－1)×2＋(－1)×1＝－6－2－1＝－9， |a|＝＝3， 所以b－a在a上的投影为＝×＝－a. 12．已知a＝(1，－2，－1)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(0，3) C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞) 解析：选D.因为a＝(1，－2，－1)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，则a·b＜0且a与b不反向共线，因为a·b＜0，则－1×1－2(x－1)－1×1＜0，解得x＞0，若a与b反向共线，设b＝ta(t＜0)，则解得 综上可得x的取值范围是(0，3)∪(3，＋∞). 13．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________． 解析：a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3).所以(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5. 答案：－2　5 14．(13分)已知空间向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，c＝. (1)若ka＋b与a－2b互相垂直，求实数k的值；(6分) (2)若|ka＋b|＝3，且ka＋b与c互相平行，求实数k的值．(7分) 解：(1)由题意知，ka＋b＝(k－1，k，2)， a－2b＝(3，1，－4)， 因为ka＋b与a－2b互相垂直， 所以(ka＋b)·(a－2b)＝0， 所以3(k－1)＋k－8＝0，解得k＝. (2)由题意及(1)知， ＝3， 解得k＝2或k＝－1， 因为ka＋b与c互相平行， 所以存在实数λ，使得ka＋b＝λc， 即解得 综上所述，实数k的值为2. 15．(13分)设全体空间向量组成的集合为V，a＝(a1，a2，a3)为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“因变量”也是向量的“向量函数”f(x)，f(x)＝x＋2(－x·a)a(x∈V). (1)设u＝(－1，0，0)，v＝(0，0，－1)，若f(u)＝v，求向量a；(6分) (2)对于V中的任意单位向量x，求|f(x)＋2x|的最大值．(7分) 解：(1)依题意得，f(u)＝u＋2(－u·a)a＝v，a＝(a1，a2，a3)， 则－u·a＝a1，解得a＝或a＝. (2)设x与a的夹角为α，则x·a＝|x||a|·cos α＝cos α， 则|f(x)＋2x|＝|3x－2(x·a)a|＝＝≤3， 故|f(x)＋2x|的最大值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $