1.2.4 二面角（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练以“二面角”为核心，通过A/B/C三层设计实现从基础巩固到思维拔高的递进，覆盖向量求法、已知角求量等知识点，培养空间观念与推理能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|二面角向量求法、已知角求量|基础证明与计算（如三棱柱、四棱锥模型），夯实概念应用| |B组|折叠问题、存在性探究|结合翻折与动点问题（如线段上找点使二面角为定值），发展推理能力| |C组|多面体综合应用|复杂几何体夹角计算（如五面体、阳马模型），提升数学建模与空间想象|

分层作业 1.2.4　二面角 目 录 A组 巩固过关 题型01   面面角的向量求法 题型02   已知面面角求其他量 B组 能力进阶 C组 思维拔高     线面角的向量求法题型01 1．（25-26高二下·云南楚雄·期末）如图， ，平面，平面，平面平面. (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，求二面角的余弦值. 2．（25-26高二下·重庆渝中·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形， ,是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 3．（23-24高二下·四川成都·期末）如图．三棱柱中，为正三角形，，，为的中点，． (1)证明：平面； (2)求锐二面角的余弦值． 已知线面角求其他量题型02 4．（25-26高一下·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 5．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在三棱锥中，，，O为的中点. (1)证明：平面； (2)若点M在棱上，，，且二面角的大小为，求的值. 6．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图甲所示，已知在长方形中，且E为BC的中点，将图甲中沿折起，使得如图乙. (1)求证：平面平面； (2)若点是线段上的动点，且满足. ①若求平面与平面夹角的余弦值； ②若平面与平面的夹角为求λ的值. 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．（25-26高二上·湖北孝感·期末）在平行六面体中中，，为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）在三棱锥中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川达州·期末）在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津·期末）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（16-17高二上·河北衡水·期末）已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖南常德·期中）是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·北京·期末）如图，在长方体中，，，那么直线与平面所成的角的余弦值是（　　）    A． B． C． D． 9．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 10．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·山西·期中）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知二面角的平面角为，在平面内有一条射线与棱所成的锐角为，与平面所成的角为，则必有（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·湖北·阶段检测）在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·湖北宜昌·期末）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，. (1)证明：四棱锥是一个“阳马”； (2)已知点E在线段上，且，若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值. 2．（25-26高二下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，    (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 3．（25-26高二下·江苏泰州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，，． （i）求直线与平面所成的角的大小； （ii）求二面角的正弦值． 4．（25-26高二下·云南红河·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别为的中点，. (1)求证：； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值. 5．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，平面平面． (1)求证：平面； (2)若，，点在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值. 6．（25-26高二下·广东深圳·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，平面平面，，，分别为，的中点，且． (1)证明：平面； (2)若，且，求平面与平面夹角的余弦值． 7．（25-26高二下·广西柳州·期末）如图，和都垂直于平面，且，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若，点到平面的距离为，为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值． 8．（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.    (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围. 9．（25-26高二下·广东·期末）在三棱锥中，，．点，分别为棱，的中点，连接，，，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 10．（25-26高二下·浙江金华·期末）如图，在四棱锥中，，，已知，四棱锥的体积为，平面与平面的夹角为，且在底面上的投影在四边形内（包括边界）． (1)求证：； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第10页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2.4　二面角     线面角的向量求法题型01 1．(1)因平面，平面，平面平面,则； (2)因平面，平面,则, 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又因平面，故； (3) 【分析】（1）利用线面平行的性质易证； （2）利用线面垂直的判定定理与性质定理，以及面面垂直的性质定理即可得证； （3）根据条件建系，求出相关点和向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）可得两两垂直，故可以点为坐标原点， 分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因，，则， 故得， 设平面的一个法向量为， 则，故可取； 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 则， 由图知是钝二面角，故二面角的余弦值为. 2．(1)证明：取中点，连接， 因为是中点，则，且，又，且， 所以，且，则四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，故平面. (2) 【分析】（1）取中点，连接，利用几何关系得，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再由面面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为平面，底面是直角梯形， 故可以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，可得， 所以， 设平面的一个法向量为， 由，故可取， 设平面的一个法向量为， 由，故可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 3．(1)连接，，，因为为正三角形且， 为的中点，所以，，又，， 所以，则， 又，，， 所以，所以，所以， 又，，平面，所以平面 (2)． 【分析】（1）连接，，，利用勾股定理逆定理证明，再证明，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）略； （2）由（1）可知平面，，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， 设锐二面角的平面角为，则， 所以锐二面角的余弦值为． 已知线面角求其他量题型02 4．(1)等边的边长为3，，. ，. 由余弦定理得，解得； ，，； 为直角三角形，即. . 平面平面，平面平面，平面 平面； 平面，. (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求出，根据三角形三边满足勾股定理，证得，由面面垂直得到线面垂直，再由线面垂直证得线线垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，从而确定线面的夹角，根据直角三角形的边的关系，求得线面夹角的正弦值； （3）以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据异面夹角的计算公式即可求得. 【详解】（1）略 （2）由（1），得. 由折叠得，. 平面平面，平面平面，平面 平面. 为直线与平面所成的角. ，，，，，. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为 （3）线段上存在一点，使得二面角的大小为，且线段的长度为，理由如下： 平面，平面，平面，，. 平面，平面，. 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，. . 点在线段上，设，得. ，. 平面，平面的法向量可取. 设平面的法向量为，则，即； 令，则，. 平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ，解得或. ，. ，则. 即线段的长度为. 5．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题可得，利用勾股定理证明，根据线面垂直的判定定理证明； （2）以O为原点，所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用向量法列式求解. 【详解】（1）连接，，O为的中点， 且. ， ， ，且，又， ，， 又，平面， 平面. （2）如图，以O为原点，所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. ，点M在棱上， ，，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 易知平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ， 平方化简得， 解得或（舍去），故. 6．(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面平面； （2）①以为原点建立空间直角坐标系，求得平面和的法向量，再利用面面角的向量法求解；②由求得出，进而求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法列出求解. 【详解】（1）在矩形中，由，且为的中点，得， 则，，即，而， 且平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. （2）①由（1）知，过点作直线平面，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的法向量，设平面与平面所成夹角为， 则，所以平面与平面所成夹角的余弦值为. ②由，得，， 则，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的法向量，平面与平面的夹角， 则，解得， 所以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C A D A B A A B 11．(1)（i）由题意得，， ， 在中，因为，所以， 又因为，，， 在中，因为，所以， 因为，、平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.    （ii）. (2) 【分析】（1）（i）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立； （ii）以为原点，以、所在直线分别为、轴，以平面内过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小； （2）设，根据题意得出，结合图形不妨取，所以，并设，，，利用空间向量法结合函数的单调性可求得与平面所成角的正弦值的范围. 【详解】（1）（i）略； （ii）以为原点，以、所在直线分别为、轴， 以平面内过点垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 则， 结合图形可知，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的大小为. （2）设，因为，， 即，所以， 结合图形不妨取，所以， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设与平面所成角为， 所以， 设，， 由，不妨取，则，所以， 所以 ， 令，所以， 因为函数、在上为减函数， 故函数在上为减函数， 故当时，，所以， 所以与平面所成角的正弦值的范围是. 12．(1)连接，与交于点O，连接，取中点F，连接. 由四边形为菱形，， 得为等边三角形，为中点，. 因为为中点，所以. 又由，得为的中点，所以，故. 因为平面，平面，所以. 又因为四边形为菱形，所以. 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，故. 因为，平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）连接，与交于点O，连接，取中点F，逐一求证平面，平面即可. （2）以为原点建系，利用法向量计算即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面AEC，平面PBD，平面平面，所以. 又因为O为BD中点，所以E为BP中点. 以D为坐标原点，为轴，垂直于所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 故，，，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得. 则， 由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 1．(1)证明：因为四边形是正方形，所以， 又因，，平面，所以平面， 且平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 且平面，因此. 因为，平面，所以平面， 因此四棱锥是一个“阳马”. (2) 【分析】（1）根据线面垂直判定定理结合“阳马”定义即可证明； （2）先建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据面面角的余弦值求出参数，即可求出点E的坐标，再找到直线与平面的角最后进行求解. 【详解】（1）略 （2）由(1)得⊥平面，故， ， 以点D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得， ，，， 设，，， ，， ，， 设平面的法向量是，则，， 令，则， ， 设平面的法向量是， 则，， 令，则，， ， 或.或， ，又因平面，则即为所求角， 所以直线与底面所成角的正切值为. 2．(1)连接交于点，连接． 因为为正方形，所以为中点， 又因为为的中点， 所以为的中位线，． 又因为平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）通过正方形对角线互相平分得出的中位线，进而由线面平行的判定即可求解， （2）通过方法一向量法，以为原点空间建系，由两个平面的法向量求夹角即可求解，或通过方法二几何法，作两个平面的交线结合垂直关系直接找到二面角的平面角即可求解. 【详解】（1）略 （2）方法一 因为平面，，平面，所以，， 在正方形中，，    所以以为正交基底建立空间直角坐标系， 因为， 所以，，， 所以，． 设平面的一个法向量为， 所以即 解得，取，得，所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 方法二 因为平面，平面，平面， 所以，． 因为底面为正方形，所以． 又因为平面，平面，， 所以平面． 在平面内过作， 因为，且平面，平面，所以平面平面， 有平面，   平面，平面，所以，，为平面与平面夹角或其补角， 因为底面为正方形，所以，又，，故即为所求的角， 又，所以平面与平面夹角的余弦值为． 3．(1)证明：因底面为正方形，，分别为，的中点, 则,又因，则,因平面， 故平面. (2)（i）（ii） 【分析】（1）先证，，再由线面垂直的判定定理即得证； （2）（i）依题建系，求出相关点的坐标，计算出平面的法向量，利用向量夹角的坐标公式即可求得线面角；（ii）接着求出平面的法向量，利用向量夹角的坐标公式即可求得二面角. 【详解】（1）略 （2）（i）在平面中，过点作于点， 由（1）得平面，因平面，则， 又因平面，故平面. 过点作的平行线，交于点，则， 故可以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 因，，， 则， 则， 故， 设平面的法向量为， 则，故可取； 设与平面所成的角为，则， 因，则，即直线与平面所成的角为. （ii）设平面的法向量为， 则，故可取. 设二面角的平面角为，因， 则， 即二面角的正弦值为. 4．(1)连接， 因为分别为的中点，所以， 因为底面是正方形，所以， 所以， 因为底面，底面， 所以， 又平面，且， 所以平面， 又平面， 所以； (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再利用线面垂直的性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，由面面角空间向量法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）以为原点，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 因为平面， 所以是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为． 5．(1)证明：过点作，垂足为，因为平面平面， 平面平面，平面，所以平面，又平面，所以， 又因为底面，底面，所以，又， 所以平面. (2) 【分析】（1）先根据面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用两个平面夹角的余弦值即等于两个平面法向量夹角余弦的绝对值求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，平面，所以， 又四边形为平行四边形，则，所以， 以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 又，则，所以，， 设平面法向量为，则，所以，即， 取，则，所以， 因为底面，所以为平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 6．(1)证明：∵四边形为矩形，且为的中点             取中点，连接，，因 则,且, 又因是的中点， 且， ，             ∴四边形为平行四边形，                      ∴，                              又∵平面，平面 ∴平面. (2) 【分析】(1)中没有现成的线线平行，构造平行四边形从而得到想要的线线平行 (2)向量法各自求两个面的法向量，然后用计算二面角的公式得到；几何法需要证明面面平行后找到空间中面面角的平面角，从而通过三角函数计算得到 【详解】（1）略 （2）在矩形中，， 又∵面平面，平面平面，平面 ∴平面 ∵，  ，，平面 ∴平面 ∵ ∴平面 又∵平面   ∴ 方法一：以为原点建立空间直角坐标系如图所示， ∵， ∴ ∴，， ，， ∴， 设平面的法向量为 故可取 依题意，可取 为平面的一个法向量， ∴设平面与平面夹角为， 则 ∴平面与平面夹角的余弦值为. 方法二：∵且，平面，平面， ∴平面， 又由(1)得,因平面，平面， 则平面，又，平面，∴平面平面， ∴平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角， ∵平面，平面，∴， 又∵平面平面，， ∴平面与平面夹角为， 在 中，， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 7．(1)取的中点，连接，，    因为是的中点，则，， 又因为和都垂直于平面，则 且，可得，， 可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）作辅助线，根据平行性质可得，进而可证线面平行； （2）分析可知平面，平面，，，建立空间直角坐标系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求面面夹角余弦值. 【详解】（1）略 （2）因为为正三角形，为中点，则. 又因为平面，平面，则， 且，，平面，可知平面， 由题意可知：，，则， 由（1）可知：，平面，所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 由题意可知：平面的法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 8．(1)由已知，得； 又因为底面，底面，故； 因为，，，平面， 所以平面，平面，故. (2) (3)或不存在 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的定义可得； （2）建立空间直角坐标系，通过解三角形得，再分别求两个平面的法向量，并用向量法求两个平面的夹角可得； （3）先设，再由向量法求得线面角，若时，，，此时的值不存在；若时，由同角三角函数关系得，再分和两种情况讨论，并结合函数，的单调性可得的取值范围. 【详解】（1）略 （2）因为底面，底面，所以， 又因为，所以，因此两两垂直. 因此以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：    则. 在中，，，所以为等边三角形，所以. 又因为，，所以. 在中，，，， 所以，. 因此，因为是中点，故. 设平面的法向量为，，， 则，，令，得， 所以平面的法向量. 设平面的法向量为，，， 则，，令，则， 所以平面的法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设在上，设，且， 得，， 设平面的法向量为，，， 则，， 令，则，所以. 因为，平面的法向量为， 所以， 因为，所以，所以，因此， 若，则，得，，解得. 当时，，此时，所以的值不存在； 当时，，此时，所以， 所以， 得， ①时，， 因为函数在单调递减，且，，    所以，因此得； ②时，， 因为函数在单调递增，且，，    所以，因此得. 综上所述，当时，的值不存在；当时，. 因此的取值范围是或不存在. 9．(1)由于，为的中点， 则， 由于，为的中点， 则， 由于，平面， 则平面， 又平面，则平面平面． (2) 【分析】（1）根据面面垂直的判定即可证明； （2）方法一：根据线面夹角的定义即可求解直线与平面所成角的正弦值；方法二：建立空间直角坐标系，根据线面夹角的向量公式即可求解． 【详解】（1）略． （2）解法一：如图，连接，由，． 则，则， 同理，，且，平面， 则平面，且平面， 则， 如图，过点作交于点， 由（1）知平面，平面，则， 且，平面， 则平面， 于是即为直线与平面所成角， 在中，由于，，则， 于是， 即直线与平面所成角的正弦值为． 解法二：由，， 则，则， 同理，，， 则，，两两垂直， 以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为， 由于，， 则，，令， 于是平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 10．(1)证明：连接，则面，过作交于点，连接和． 因为平面，所以． 因为，，平面，，所以平面. 又平面，所以. 则即为平面与平面的夹角，即． 又，所以，所以， 而，则，所以． 所以四边形为平行四边形，故 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面平行的判定定理，结合面面角的定义得到，进而求得，结合得到四边形为平行四边形，即可证得. （2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出平面与平面的法向量，根据题意求出点坐标，结合线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）以为原点，以为轴，为轴，过且垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，. 设，根据题（1）可得， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设平面法向量为， 则，即，令，则，所以. 又平面与平面所成角的余弦值为， 所以，整理得，解得. 此时，. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2.4　二面角 目 录 A组 巩固过关 题型01   面面角的向量求法 题型02   已知面面角求其他量 B组 能力进阶 C组 思维拔高     线面角的向量求法题型01 1．（25-26高二下·云南楚雄·期末）如图， ，平面，平面，平面平面. (1)求证：； (2)求证：； (3)当时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)因平面，平面，平面平面,则； (2)因平面，平面,则, 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又因平面，故； (3) 【分析】（1）利用线面平行的性质易证； （2）利用线面垂直的判定定理与性质定理，以及面面垂直的性质定理即可得证； （3）根据条件建系，求出相关点和向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）可得两两垂直，故可以点为坐标原点， 分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因，，则， 故得， 设平面的一个法向量为， 则，故可取； 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 则， 由图知是钝二面角，故二面角的余弦值为. 2．（25-26高二下·重庆渝中·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形， ,是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明：取中点，连接， 因为是中点，则，且，又，且， 所以，且，则四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，故平面. (2) 【分析】（1）取中点，连接，利用几何关系得，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再由面面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为平面，底面是直角梯形， 故可以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，可得， 所以， 设平面的一个法向量为， 由，故可取， 设平面的一个法向量为， 由，故可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 3．（23-24高二下·四川成都·期末）如图．三棱柱中，为正三角形，，，为的中点，． (1)证明：平面； (2)求锐二面角的余弦值． 【答案】(1)连接，，，因为为正三角形且， 为的中点，所以，，又，， 所以，则， 又，，， 所以，所以，所以， 又，，平面，所以平面 (2)． 【分析】（1）连接，，，利用勾股定理逆定理证明，再证明，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）略； （2）由（1）可知平面，，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， 设锐二面角的平面角为，则， 所以锐二面角的余弦值为． 已知线面角求其他量题型02 4．（25-26高一下·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边的边长为3，，. ，. 由余弦定理得，解得； ，，； 为直角三角形，即. . 平面平面，平面平面，平面 平面； 平面，. (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求出，根据三角形三边满足勾股定理，证得，由面面垂直得到线面垂直，再由线面垂直证得线线垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，从而确定线面的夹角，根据直角三角形的边的关系，求得线面夹角的正弦值； （3）以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据异面夹角的计算公式即可求得. 【详解】（1）略 （2）由（1），得. 由折叠得，. 平面平面，平面平面，平面 平面. 为直线与平面所成的角. ，，，，，. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为 （3）线段上存在一点，使得二面角的大小为，且线段的长度为，理由如下： 平面，平面，平面，，. 平面，平面，. 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，. . 点在线段上，设，得. ，. 平面，平面的法向量可取. 设平面的法向量为，则，即； 令，则，. 平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ，解得或. ，. ，则. 即线段的长度为. 5．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在三棱锥中，，，O为的中点. (1)证明：平面； (2)若点M在棱上，，，且二面角的大小为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题可得，利用勾股定理证明，根据线面垂直的判定定理证明； （2）以O为原点，所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用向量法列式求解. 【详解】（1）连接，，O为的中点， 且. ， ， ，且，又， ，， 又，平面， 平面. （2）如图，以O为原点，所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. ，点M在棱上， ，，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 易知平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ， 平方化简得， 解得或（舍去），故. 6．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图甲所示，已知在长方形中，且E为BC的中点，将图甲中沿折起，使得如图乙. (1)求证：平面平面； (2)若点是线段上的动点，且满足. ①若求平面与平面夹角的余弦值； ②若平面与平面的夹角为求λ的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面平面； （2）①以为原点建立空间直角坐标系，求得平面和的法向量，再利用面面角的向量法求解；②由求得出，进而求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法列出求解. 【详解】（1）在矩形中，由，且为的中点，得， 则，，即，而， 且平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. （2）①由（1）知，过点作直线平面，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的法向量，设平面与平面所成夹角为， 则，所以平面与平面所成夹角的余弦值为. ②由，得，， 则，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的法向量，平面与平面的夹角， 则，解得， 所以. 1．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，则这个二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设二面角的大小为，则，又，根据向量数量积的运算律可求得，进而可求得. 【详解】如图，设二面角的大小为，因线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则， 根据题意可得， 所以， 因为，，， 所以， 解得，又因为，所以， 所以这个二面角的度数为. 故选：B. 2．（25-26高二上·云南楚雄·期末）在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得异面直线与的夹角为，即与的夹角为，由空间向量的运算法则可得，则，结合条件即可计算. 【详解】由题意得： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图： 因为二面角为，则异面直线与的夹角为， 即与的夹角为，易得， 因为，且， 则， 即，解得， 故选：D. 3．（25-26高二上·浙江宁波·期末）如图，已知二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，结合数量积运算可得，即可得面面夹角. 【详解】由题意可知：，， 因为， 则， 即，解得， 且，则， 所以平面与平面的夹角为. 故选：C. 4．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先判断二面角的平面角为，然后根据向量的模的公式以及向量数量积的定义进行计算即可. 【详解】因为正方形和正方形，所以， 因为平面平面，二面角的大小是， 所以，因为， 所以， 因为正方形和正方形的边长都是2，所以， 因为，所以， 而， 所以. 故选：A. 5．（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在直三棱柱中，已知，，，分别在棱上，且满足平面. 给出下列三个结论： ① 平面平面， ② 面积的最大值为， ③ 平面与平面所成角的最大值为， 其中所有正确结论的序号为（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】对于①，由线面垂直得到面面垂直；对于②，建立空间直角坐标系，设，其中，根据垂直关系得到方程，求出，故，求出的面积为，求出最大值；对于③，求平面的法向量，求出得到平面与平面所成角的最大值. 【详解】对于①，因为平面，而平面，所以平面平面，①正确； 对于②，因为直三棱柱中，已知，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 其中， 则，， 因为，，， 所以， ， 解得， 因为，所以，故， 故， ， ， 所以， 故， 故当时，面积取得最大值，最大值为，②正确； 对于③，平面的一个法向量为，， 平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角的大小为，， 则， 由于在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为，③正确.    故选：D 6．（广东省汕头市金砂中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷）锐二面角两平面的法向量分别为，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二面角的向量求法，代入计算即可求得答案. 【详解】因为二面角的法向量分别为，， 设所求二面角的大小为， 则， 因为二面角是锐角，所以该二面角的余弦值， 故选：A 7．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）如图，是圆锥的轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 如图，连接，是半圆弧的中点，， 又平面，两两垂直， 则以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设，，， 则，，，， 则， 设异面直线与所成的角为， 则. 故选：B. 8．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的最大值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可. 【详解】 设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角. 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 又底面的一个法向量为， 所以，因为， 则， 当时，， 当时，，当，， 则，，则， 则当时，分母取到最小值，此时，则A选项正确. 故选：A. 9．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 【点睛】 10．（24-25高二上·北京·阶段检测）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可． 【详解】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 故选：B． 11．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 【答案】(1)（i）由题意得，， ， 在中，因为，所以， 又因为，，， 在中，因为，所以， 因为，、平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.    （ii）. (2) 【分析】（1）（i）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立； （ii）以为原点，以、所在直线分别为、轴，以平面内过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小； （2）设，根据题意得出，结合图形不妨取，所以，并设，，，利用空间向量法结合函数的单调性可求得与平面所成角的正弦值的范围. 【详解】（1）（i）略； （ii）以为原点，以、所在直线分别为、轴， 以平面内过点垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 则， 结合图形可知，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的大小为. （2）设，因为，， 即，所以， 结合图形不妨取，所以， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设与平面所成角为， 所以， 设，， 由，不妨取，则，所以， 所以 ， 令，所以， 因为函数、在上为减函数， 故函数在上为减函数， 故当时，，所以， 所以与平面所成角的正弦值的范围是. 12．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E是棱PB上一点. (1)若，求证：平面AEC； (2)若平面，求二面角的余弦值. 【答案】(1)连接，与交于点O，连接，取中点F，连接. 由四边形为菱形，， 得为等边三角形，为中点，. 因为为中点，所以. 又由，得为的中点，所以，故. 因为平面，平面，所以. 又因为四边形为菱形，所以. 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，故. 因为，平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）连接，与交于点O，连接，取中点F，逐一求证平面，平面即可. （2）以为原点建系，利用法向量计算即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面AEC，平面PBD，平面平面，所以. 又因为O为BD中点，所以E为BP中点. 以D为坐标原点，为轴，垂直于所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 故，，，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得. 则， 由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 1．（25-26高二下·湖北宜昌·期末）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，. (1)证明：四棱锥是一个“阳马”； (2)已知点E在线段上，且，若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值. 【答案】(1)证明：因为四边形是正方形，所以， 又因，，平面，所以平面， 且平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 且平面，因此. 因为，平面，所以平面， 因此四棱锥是一个“阳马”. (2) 【分析】（1）根据线面垂直判定定理结合“阳马”定义即可证明； （2）先建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据面面角的余弦值求出参数，即可求出点E的坐标，再找到直线与平面的角最后进行求解. 【详解】（1）略 （2）由(1)得⊥平面，故， ， 以点D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得， ，，， 设，，， ，， ，， 设平面的法向量是，则，， 令，则， ， 设平面的法向量是， 则，， 令，则，， ， 或.或， ，又因平面，则即为所求角， 所以直线与底面所成角的正切值为. 2．（25-26高二下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，    (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)连接交于点，连接． 因为为正方形，所以为中点， 又因为为的中点， 所以为的中位线，． 又因为平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）通过正方形对角线互相平分得出的中位线，进而由线面平行的判定即可求解， （2）通过方法一向量法，以为原点空间建系，由两个平面的法向量求夹角即可求解，或通过方法二几何法，作两个平面的交线结合垂直关系直接找到二面角的平面角即可求解. 【详解】（1）略 （2）方法一 因为平面，，平面，所以，， 在正方形中，，    所以以为正交基底建立空间直角坐标系， 因为， 所以，，， 所以，． 设平面的一个法向量为， 所以即 解得，取，得，所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 方法二 因为平面，平面，平面， 所以，． 因为底面为正方形，所以． 又因为平面，平面，， 所以平面． 在平面内过作， 因为，且平面，平面，所以平面平面， 有平面，   平面，平面，所以，，为平面与平面夹角或其补角， 因为底面为正方形，所以，又，，故即为所求的角， 又，所以平面与平面夹角的余弦值为． 3．（25-26高二下·江苏泰州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，，． （i）求直线与平面所成的角的大小； （ii）求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明：因底面为正方形，，分别为，的中点, 则,又因，则,因平面， 故平面. (2)（i）（ii） 【分析】（1）先证，，再由线面垂直的判定定理即得证； （2）（i）依题建系，求出相关点的坐标，计算出平面的法向量，利用向量夹角的坐标公式即可求得线面角；（ii）接着求出平面的法向量，利用向量夹角的坐标公式即可求得二面角. 【详解】（1）略 （2）（i）在平面中，过点作于点， 由（1）得平面，因平面，则， 又因平面，故平面. 过点作的平行线，交于点，则， 故可以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 因，，， 则， 则， 故， 设平面的法向量为， 则，故可取； 设与平面所成的角为，则， 因，则，即直线与平面所成的角为. （ii）设平面的法向量为， 则，故可取. 设二面角的平面角为，因， 则， 即二面角的正弦值为. 4．（25-26高二下·云南红河·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别为的中点，. (1)求证：； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值. 【答案】(1)连接， 因为分别为的中点，所以， 因为底面是正方形，所以， 所以， 因为底面，底面， 所以， 又平面，且， 所以平面， 又平面， 所以； (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再利用线面垂直的性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，由面面角空间向量法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）以为原点，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 因为平面， 所以是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为． 5．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，平面平面． (1)求证：平面； (2)若，，点在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：过点作，垂足为，因为平面平面， 平面平面，平面，所以平面，又平面，所以， 又因为底面，底面，所以，又， 所以平面. (2) 【分析】（1）先根据面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用两个平面夹角的余弦值即等于两个平面法向量夹角余弦的绝对值求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，平面，所以， 又四边形为平行四边形，则，所以， 以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 又，则，所以，， 设平面法向量为，则，所以，即， 取，则，所以， 因为底面，所以为平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 6．（25-26高二下·广东深圳·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，平面平面，，，分别为，的中点，且． (1)证明：平面； (2)若，且，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形，且为的中点             取中点，连接，，因 则,且, 又因是的中点， 且， ，             ∴四边形为平行四边形，                      ∴，                              又∵平面，平面 ∴平面. (2) 【分析】(1)中没有现成的线线平行，构造平行四边形从而得到想要的线线平行 (2)向量法各自求两个面的法向量，然后用计算二面角的公式得到；几何法需要证明面面平行后找到空间中面面角的平面角，从而通过三角函数计算得到 【详解】（1）略 （2）在矩形中，， 又∵面平面，平面平面，平面 ∴平面 ∵，  ，，平面 ∴平面 ∵ ∴平面 又∵平面   ∴ 方法一：以为原点建立空间直角坐标系如图所示， ∵， ∴ ∴，， ，， ∴， 设平面的法向量为 故可取 依题意，可取 为平面的一个法向量， ∴设平面与平面夹角为， 则 ∴平面与平面夹角的余弦值为. 方法二：∵且，平面，平面， ∴平面， 又由(1)得,因平面，平面， 则平面，又，平面，∴平面平面， ∴平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角， ∵平面，平面，∴， 又∵平面平面，， ∴平面与平面夹角为， 在 中，， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 7．（25-26高二下·广西柳州·期末）如图，和都垂直于平面，且，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若，点到平面的距离为，为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)取的中点，连接，，    因为是的中点，则，， 又因为和都垂直于平面，则 且，可得，， 可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）作辅助线，根据平行性质可得，进而可证线面平行； （2）分析可知平面，平面，，，建立空间直角坐标系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求面面夹角余弦值. 【详解】（1）略 （2）因为为正三角形，为中点，则. 又因为平面，平面，则， 且，，平面，可知平面， 由题意可知：，，则， 由（1）可知：，平面，所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 由题意可知：平面的法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 8．（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.    (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】(1)由已知，得； 又因为底面，底面，故； 因为，，，平面， 所以平面，平面，故. (2) (3)或不存在 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的定义可得； （2）建立空间直角坐标系，通过解三角形得，再分别求两个平面的法向量，并用向量法求两个平面的夹角可得； （3）先设，再由向量法求得线面角，若时，，，此时的值不存在；若时，由同角三角函数关系得，再分和两种情况讨论，并结合函数，的单调性可得的取值范围. 【详解】（1）略 （2）因为底面，底面，所以， 又因为，所以，因此两两垂直. 因此以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：    则. 在中，，，所以为等边三角形，所以. 又因为，，所以. 在中，，，， 所以，. 因此，因为是中点，故. 设平面的法向量为，，， 则，，令，得， 所以平面的法向量. 设平面的法向量为，，， 则，，令，则， 所以平面的法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设在上，设，且， 得，， 设平面的法向量为，，， 则，， 令，则，所以. 因为，平面的法向量为， 所以， 因为，所以，所以，因此， 若，则，得，，解得. 当时，，此时，所以的值不存在； 当时，，此时，所以， 所以， 得， ①时，， 因为函数在单调递减，且，，    所以，因此得； ②时，， 因为函数在单调递增，且，，    所以，因此得. 综上所述，当时，的值不存在；当时，. 因此的取值范围是或不存在. 9．（25-26高二下·广东·期末）在三棱锥中，，．点，分别为棱，的中点，连接，，，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)由于，为的中点， 则， 由于，为的中点， 则， 由于，平面， 则平面， 又平面，则平面平面． (2) 【分析】（1）根据面面垂直的判定即可证明； （2）方法一：根据线面夹角的定义即可求解直线与平面所成角的正弦值；方法二：建立空间直角坐标系，根据线面夹角的向量公式即可求解． 【详解】（1）略． （2）解法一：如图，连接，由，． 则，则， 同理，，且，平面， 则平面，且平面， 则， 如图，过点作交于点， 由（1）知平面，平面，则， 且，平面， 则平面， 于是即为直线与平面所成角， 在中，由于，，则， 于是， 即直线与平面所成角的正弦值为． 解法二：由，， 则，则， 同理，，， 则，，两两垂直， 以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为， 由于，， 则，，令， 于是平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 10．（25-26高二下·浙江金华·期末）如图，在四棱锥中，，，已知，四棱锥的体积为，平面与平面的夹角为，且在底面上的投影在四边形内（包括边界）． (1)求证：； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：连接，则面，过作交于点，连接和． 因为平面，所以． 因为，，平面，，所以平面. 又平面，所以. 则即为平面与平面的夹角，即． 又，所以，所以， 而，则，所以． 所以四边形为平行四边形，故 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面平行的判定定理，结合面面角的定义得到，进而求得，结合得到四边形为平行四边形，即可证得. （2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出平面与平面的法向量，根据题意求出点坐标，结合线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）以为原点，以为轴，为轴，过且垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，. 设，根据题（1）可得， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设平面法向量为， 则，即，令，则，所以. 又平面与平面所成角的余弦值为， 所以，整理得，解得. 此时，. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 10 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $