1.2 空间向量基本定理-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

1．1.2　空间向量基本定理

 

 

思考　两个平面向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？

[提示]　对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量．

[知识梳理]

共线向量基本定理

如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.

[例1] 如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．

【证明】　连接AO，AC1，A1C1(图略)，因为＝，

所以＝＋＝＋A1C

＝＋(＋)

＝＋.

因为＝2，所以＝1＋

＝AC1－＝1－2，

所以＝(AC1－2)＋

＝1＋，

所以(－1)＝(－)，

所以＝2，所以，与共线，又因为的终点与的起点重合，所以C1，O，M三点共线．

(1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．

(2)若已知A，B，C三点共线，则＝λ(λ∈R)，然后利用指定向量表示出与，根据对应的指定向量的系数相等列出方程组，从而求出参数．

[跟踪训练1] (1)设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝－a＋2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________．

解析：因为＝＋，已知＝－2a－b，＝－a＋2b，所以＝(－2a－b)＋(－a＋2b)＝－3a＋b. 因为A，B，D三点共线，所以与共线，即存在实数λ，使得＝λ.已知＝9a＋mb，＝－3a＋b，则9a＋mb＝λ(－3a＋b).根据向量相等的性质，可得解得

答案：－3

(2)如图，

四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，点M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？

解：方法一：由题意得，＝＋＋＝＋＋.

又＝＋＋＋

＝－＋－－，

所以＋＋

＝－＋－－，

所以＝＋2＋

＝2(＋＋)＝2，

所以与共线．